立体几何中空间角的求法

立体几何中空间角的求法

立体几何是高中数学的核心内容之一，在高考中占有很大的比重。考查的知识点、题型等相对稳定，但对学生的空间概念、逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力要求较高，而且在2010年高考立体几何试题对转化与化归思想、数形结合思想、割补思想等数学思想的考查也体现的淋漓尽致，而高考对立体几何中空间角的考查一直是热点内容，更成为必考内容，空间角是立体几何中一个重要概念，它是空间图形的一个突出的量化指标，是空间图形位置关系的具体体现，故在历届高考试题中频繁出现，求解方法也多种多样，本文就是空间角常用的方法--传统法与空间向量法。

一、异面直线所成的角θ∈[ 0°，90°]

（1）传统方法：平移转化法或补形法，使之成为两相交直线所成的角，放入三角形中利用余弦定理计算，若求得的角为钝角，则这个角的补角才为所求。

（2）空间向量法：设异面直线ab与cd所成的角为θ，则cos θ = cos〈，〉

参考例题：例1，如图在四棱锥o-abcd中，底面abcd是边长为1的菱形，∠abc= ，oa⊥面abcd，oa=2，m为oa的中点，则异面直线ab与md所成角的大小为（）

a. b. c. d. π

解析：（法1）∵cd∥ab ∴∠mdc为异面直线ab与md所成的角（或其补角）在△abc中，ab=1，∠abc= ，bc=1 ，∴ac2=2-

又oa⊥面abcd ∴rt△amc中，am2=1，∴mc2=3-

又cd=1 md=

∴在△mdc中，cos∠mdc= = ∴∠mdc=

（法2）作ap⊥cd于p，分别以ab、ap、ao所在直线为x、y、z 轴建立空间直角坐标系。则a（0，0，0）， b（1，0，0）， d（- ，，0），o（0，0，2）， m（0，0，1）

设ab与md所成的角为θ，又 =（1，0，0） =（ - ，，-1）∴cosθ= = ∴θ=

二、直线与平面所成的角θ∈[ 0°，90°]

（1）传统方法：先找到（或作出）过斜线上一点垂直于平面的直线，斜足与垂足的连线就是斜线在平面内的射影，该斜线与射影的夹角就是所求的角，然后放入直角三角形中求解。

（2）空间向量：设直线ab与面所成的角为，平面的法向量，则有sinθ=cos〈，〉

参考例题2.如图，在正三棱柱abc-a1b1c1中，ab= aa1，点d是a1b1的中点，点e在a1c1上，且de⊥ae

（1）证明：平面ade⊥平面acc1a1

（2）求直线ad与平面abc1所成角的正弦值

解：（1）略

（2）（法1）取ab中点f，连结df，c1f，dc1

过d点作dh⊥c1f于h，则dh⊥面abc1 ，连结ah，则∠had是直线ad与面abc1所成的角。设aa1= 则ab=2 ，df= ，dc1= ，c1f= ，

ad= =

dh= = =

∴sin∠had= =

∴直线ad和平面abc1所成的角的正弦值为

（法2）设o为ac的中点，以o为原点建立空间直角坐标系，设aa1= 则ab=2 此时 a（0，-1，0），b（，0，0）， c（ 0 ，1，），d（，，）

则 =（，1，0）， =（0，2，）， =（，，）

设平面abc1的一个法向量n =（x，y，z），则

取 =（1，- ，）

设直线ad与面abc1所成的角为θ，则

sinθ=cos〈，〉= = =

三、二面角θ∈[0°，180°]

（1）传统方法：定义法、垂面法、射影面积法和三垂线法，定义法与垂面法最后放入三角形中用余弦定理计算；三垂线法最后是在直角三角形中计算；射影法是用射影面积与原面积的比值等于所成角的余弦值来计算的。这几种方法中常用的是定义法和三垂线法。

（2）空间向量：设二面角α-l-β的平面角为θ：①若pa ？奂α，pb？奂β，p∈l，有pa⊥l，pb⊥l，那么cosθ= ，②平面α与平面β的法向量分别是，

则cos= ，θ与〈，〉是相等还是互补，根据具体图形判断。

参考例题：例3：如图，直三棱柱abc-a1b1c1中，ac

=bc，aa1=ab，d为bb1上的中点，e为ab1上

的一点，ae=3eb1

（1）证明：de为异面直线ab1与cd的公垂线。

（2）设异面直线ab1与cd的夹角为45°，求二面角a1 -ac1-b1的大小。

解：（法1）（1）连结a1b与ab1交于f，因为面aa1 b1b为正方形，故a1b⊥ab1，且af=fb1，又ae=3eb1，所以fe=eb1，又d为bb1的中点，故de∥bf，de⊥ab1，作cg⊥ab，g为垂足，由ac=bc 知，g为ab中点，又由底面abc⊥面aa1 b1b，得cg⊥面aa1 b1b，连结dg，则dg∥ab1，故de⊥dg，由三垂线定理得de⊥cd，所以de为异面直线ab1与cd的公垂线。

（2）因为dg∥ab1，故∠cdg为异面直线ab1与cd的夹角，∠cdg=45°，设ab=2，则ab1=2 ，dg= ，cg= ，ac= ，作b1 h⊥a1c1于h，又因底面a1 b1c1⊥面aa1c1c，故b1h⊥面aa1c1c 又作hk ⊥ac1，连结b1k，由三垂线定理知，b1k⊥ac1，因此，∠b1kh为二面角a1-ac1-b1的平面角。

b1h= = ，

hc1= =

ac1= = ，hk= =

∴tan∠b1kh= =

∴二面角a1-ac1-b1的大小为arctan

（法二）（1）以b为坐标原点，射线ba为x轴正半轴，设ab=2，则a（2，0，0），

b1（0，1，0），d（0，1，0），e（，，0），又设c（1，0，c），则 =（，，0）

=（2，-2，0）， =（1，-1，c）于是· =0，· =0 ，故de⊥b1a ，de⊥dc；

∴de为异面直线ab1与cd的公垂线

（2）由（1）知，· = ··cos45°即2 · =4 得c =

故 =（-1，0，），又 = （0，2，0）∴ 1=（-1，2，）

设面aa1c1的法向量为 =（x，y，z）

由

同理得面ab1c1的法向量为 =（，，-1）

∴ cos〈，〉= = =

由于〈，〉等于二面角a1-ac1-b1的平面角，

∴二面角a 1-ac 1-b 1的大小为arccos

解决立体几何中空间角问题时，传统方法往往需要繁琐的分析，复杂的计算，而向量法解题思路清晰，过程简洁，大大简化运算，可以起到化繁为简、化难为易的效果。在实际运用中，二者也可同时采用，具体问题具体对待，从而达到快速解题的目地。