偏导数在几何中的应用

偏

导

数

在

几

何

中

的

应

用

姓名：徐恩义

班级：电子商务1132

学号：201121102221

偏导数在几何中的应用

一、失量函数的微分法

1、失量函数的概念

我们知道，质点运动时，它的轨道是情况并不多，一般情况下是一条曲线，而

且往往是一条空间曲线，设在空间中取定了一个直角坐标oxyz,动点P在点时刻t坐

标为（x,y,z),它的运动方程为

x=x(t),y=y(t),z=z(t) (1)

这里 x(t),y(t),z(t)是时间的三个连续函数。如果把动点p 与原点o连结起来（如

图8-21）就得到以原点为起点，动点为终点的矢量：（矢径）, 其坐标为

, 而动点的运动方程为

（2）

当t变动时，r的摸与方向一般都随着变动，即对每一个，按（2）式都有唯

一的矢量r与之对应，这个对应规律称为矢值函数，记为r=r(t)的动点p(x,y,z)画

出的曲线，叫做矢值函数r=r(t)的矢端曲线，一般情况下t

并不一定代表时间，而

是在某一变化范围内的取值.

2、矢值函数的导数

设矢值函数，若给t以增量，矢量r 相应的增量为

.

定义若极限都存在则极限

称为矢值函数r=r(t)在r处的导数（称矢量导数）记作或，

即.

物理意义：设表示质点p的运动方程，其运动轨迹是一

条曲线（图8-22）

在时间间隔[内，质点p的位移为;

平均速度; 平均速度的极限

.

即质点在时刻t时瞬时速度v(t)为

.

速度v(t)是一个矢量，它们的方向是质点p在时刻时运动方向，其大小为

进一步可得就是质点运动的加速度.

几何意义：若，由

若曲线在曲线上点p处的切线存在，则割线当时的极限位置的直线就是切

线PT，从而

是位于切线上的矢量，即就是切线的方向向量，我们称为曲线在p点的切矢量.

二、偏导数的几何意义

前面已经说明，二元函数z=f(x，y)的图形一般是一张曲面，它在点(x0，y0)处对x的偏导数相当于一元函数z=f(x，y0)在点x0处的导数，在几何上，函数z=f(x，y0)的图形可看成在平面y=y0上的曲线，即曲面z=f(x，y)和平面y=y0的交线

。因此，根据一元函数导数的几何意义可

知，偏导数f x(x0，y0)表示曲线在点M(x0，y0,(x0，y0))处的切线关于x轴的斜率（图8-2）；

图8-2

同样，偏导数f x(x0，y0)表示曲线在点M0(x0，y0,(x0，y0))处的切线关于y轴的斜率（图8-3）。

图8-3.

三、偏导数在几何中解题方法及例题：

1.空间曲线的切线和法平面 设空间曲线L 的参数方程为

()()()x x t y y t z z t =⎧⎪

=⎨⎪=⎩

假定(),(),()x t y t z t 均可导,'

''

00(),(),()

x t

y t z t 不同时为零,曲线上对应

于0

t t =及0

t t

t =+∆的点分别为0000(,,)M x y z 和000(,,)

M x x y y z z +∆+∆+∆.

割线0

M

M

的方程为

000x x y y z z x

y

z

---==∆∆∆

当M 沿着曲线L 趋于0

M 时,割线的极限位置0

M

T

是L 在0

M

处的切线.上式分母同除以t ∆得

000x x y y z z x y z t

t

t

---==∆∆∆∆∆∆

当0t ∆→(即0M M →)时,对上式取极限,即得曲线在0

M 点的

切线方程

000'

'

'

000()

()

()

x x y y z z x t y t z t ---=

=

向量'

''

00{(),(),()}

x t

y t z t =T 是切线0

M

T

的方向向量,称为切线向

量.切线向量的方向余弦即为切线的方向余弦.

通过点0

M 与切线垂直的平面称为曲线在0

M 点的法平面.

它是通过点0

000(,,)M

x y z ,以切线向量T 为法向量的平面.因此,

法平面方程为

'''

000000()()()()()()0

x t x x y t y y z t z z -+-+-=

【例1】求螺旋线cos ,sin ,x t y t z t ===在点(1,0,0)的切线及法平面方程.

解 点(1,0,0)对应的参数0t =.因为'

'

'

()s in ,()c o s ,()

1

x t t y

t t z t =-==,所以切线向量'

'

'

{(0),(0),(0)}{0,1,1}x y z ==T ,因此,曲线在点(1,0,0)处的切线方程为

1000

1

1

x y z ---==

在点(1,0,0)处的法平面方程为

0(1)1(0)1(0)0

x y z ⨯-+⨯-+⨯-=

即 0y z += 【例2】 求曲线s i n ,,

2

x y x z ==上点0,2π⎛⎫

⎪⎝

⎭

处的切线和法平面

方程.

解 把x 看作参数,此时曲线方程为

sin 2

x x y x x z ⎧=⎪⎪

=⎨⎪⎪=⎩

'''11,cos 1,2

x x x x x

y

x

z

π

π

π

π

=======-=

在点,0,2ππ⎛⎫

⎪⎝

⎭

处的切线方程为

02

11

1

2

z x y π

π---=

=

-

法平面方程为