新函数连续性1-8函数的连续性教学讲义

设 xx0 x, 则 xx0(x0),
lx i0 m y lx i0 [m f(x 0 x ) f(x 0 )]lx ix0m [f(x)f(x0)]
例1 试证函 f(x数 )xsin1x, x0, 在x0 0, x0,
处连. 续
证 limxsin10,
x0
x
又f(0)0, lim f(x)f(0), x 0
若其中有一个为 , 称 x 0 为无穷间断点 .
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例5 讨论函数
f
(x)
2 1,
x,
0 x 1, x1
1 x , x 1,
在 x 1处的连续性 .
解 f(1 ) 1 ,
y y1x
2
y12 x
o1
x
f(10)2, f(10)2,
lim f(x)2 f(1), x 1
x 0为函数的可去间.断点
即 函y 数 six 对 n x 任 (,意 )都 是 . 连
由2可 例得 f(x函 )x在 数 区(,0 间 )内 连 . 续
3.函数的间断点及其分类
函数 f(x)在点 x0处连续必须满条 足件 :的三 (1)f(x)在x 点 0处有;定义
(2)limf(x)存在 ; (3)xx l ixx00m f(x)f(x0).
二、连续函数的运算及初等函数的连续性
定理1 若函f(数 x),g(x)在点 x0处连, 续
则f(x)g(x),
f(x)g(x),
f(x) g(x)
(g(x0)0)
在点 x0处也.连续
例如, six,n co x 在 s(, )内 ,连续
""定义 : 0 , 0 ,使 x 当 x 0 时 , 恒f有 (x)f(x0).
可见, 函数 f (x) 在点 x 0 连续必须具备下列条件:
(1) f (x) 在点 x 0 有定义, 即 f (x0) 存在; (2) 极限 lim f (x)存在 ;
xx0
(3) xl ix0 m f(x)f(x0).
定义2 设函数 f (x)在U (x0)内有定义, 如果当自变量的
增量 x趋向于零时, 对应的函数的增量 y也趋向于零,
即
limy
x0
0,
那么就称 f(x函 )在数 点 x0连续 x0称， 为
函数f (x)的连续点 .
lim y0
x0
lx ixm 0 f(x)f(x0)
yf(x0 x)f(x0)
由定义1知
函f数 (x)在 x0处连 . 续
例2 试证 f(x) 函 x在 x 数 x 0 处连 ,x 0 0 .续
单侧连续
定义3 若f( 函 x )在 (a ,x 数 0 ] 内有 ,且 f(x 0 定 0 ) f(x 义 0 ) 则 f(x ) 称 在 x 0 处 点左 ; 连续 若f(函 x )在 [x 0 ,b 数 ) 内有 ,且 f(x 0 定 0 ) f(x 义 0 ) 则 f(x )称 在 x 0 处 点右 . 连续
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点.
例6
讨论f(函 x) 1 数 x x ,,
x0,在 x0处的.连 x0,
解 f(00)0, f(00)1,
y
f ( 0 0 ) f ( 0 0 ),
x0为函数的跳跃间.断点 o
x
例7 讨论f函 (x) 数 1 x, x0,在 x0处的连 . 续
2. 函数在区间上的连续性
在区间(a ,b)内每一点都连续的函数, 叫做在该区
间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续. 如果函数在(a开 ,b)内 区连 间 , 续 并且在左端 xa处右连 , 在 续右端 x点 b处左连 , 则 续称 函数 f(x)在闭区 [a,间 b]上连. 续
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 例如, 有理整函数 (在 , 区 )内间 是连.续的
定理
例3
讨论f函 (x)数 x x 2 2,,
x0, x0,
在 x0处的
连续 . 性
解 lifm (x ) li(x m 2 )2f(0),
x 0
x 0
lifm (x ) li(x m 2 )2 f(0),
x 0
x 0
右连续但不左连续 ,
故函 f(x)数 在x点 0处不 . 连续
设 f ( x) 在点 x 0 的某去心邻域内有定义, 则满足下列 情形之一的函数 f (x)在点 x 0 不连续 :
(1)函数 f ( x) 在 x 0 无定义 ;
(2)函数 f ( x) 在 x 0
(3)函数 f ( x)在 x 0
虽有定义, 虽有定义,
但 lim
且xlimx0
f (x) 不存在;
f (x)存在 ,但
limf(x)f(x0) xx0
xx0
这样的点 x 0 称为函数的间断点 .
间断点分类:
第一类间断点:
f (x0 ) 及 f (x0 ) 均存在 ,
若 f(x0)f(x0), 称 x 0 为可去间断点 . 若 f(x0)f(x0),称 x 0 为跳跃间断点 .
第二类间断点:
f (x0 ) 及 f (x0 ) 中至少一个不存在 ,
第八节
第一章
函数的连续性
一、 连续函数的概念 二、 连续函数的运算及初等函数的连续性 三、 闭区间上连续函数的性质
y
yf(x)
•
0
x0
x
y
y
••
yg(x)
0
x0
x0
yh(x)
•
x0
x
一、连续函数的概念
1.函数在一点处的连续性
定义1 设函数 yf(x)在 x 0 的某邻域内有定义 ,且 xl ix0m f(x)f(x0),则称函数 f(x)在x0连续 .
例4 证 函 明 y s 数 x i在 n ( 区 , ) 内 间 .连
证 任x 取 (, ) ,
y six n x )( sx i n 2si nxcoxs(x)
2
2
cosx(x)1, 则y2sinx.
2
2
对任,意 当 的 0时 , 有sin,
故y2sin xx, 当 x 0 时 , y 0 . 2
x, x0,
y
解 f(00)0, f(00),
x1为函数的第二类间. 断点 o x
且为无穷间 断点.
例8 讨论f(函 x)s数 i1 n在 x0处的连 . 续 x
解 在 x0处没有 , 定义
且limsin1不存.在 x0 x
y sin 1 x
x0为第二类间. 断点
这种情况称为振荡间 断点.
例9 研究函数 f (x)nl im 11xx22nn 的连续性，如有 间断点，说明间断点的类型.