高中数学第二章数列2.4等比数列第1课时等比数列的概念及通项公式巩固提升人教A版必修5

第1课时 等比数列的概念及通项公式

[学生用书P105(单独成册)]

[A 基础达标]

1．在数列{a n }中，若a n ＋1＝3a n ，a 1＝2，则a 4为( ) A ．108 B.54 C ．36

D ．18

解析：选B.因为a n ＋1＝3a n ，所以数列{a n }是公比为3的等比数列，则a 4＝33

a 1＝54. 2．在等比数列{a n }中，a 1＝1

8，q ＝2，则a 4与a 8的等比中项为( )

A ．±4 B.4 C ．±14

D ．14

解析：选A.由题意得(±a 6)2

＝a 4a 8，因为a 1＝18，q ＝2，所以a 4与a 8的等比中项为±a 6

＝±4.

3．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( ) A ．b ＝3，ac ＝9 B.b ＝－3，ac ＝9 C ．b ＝3，ac ＝－9

D ．b ＝－3，ac ＝－9

解析：选B.因为b 是－1，－9的等比中项，所以b 2

＝9，b ＝±3. 又等比数列奇数项符号相同，得b <0，故b ＝－3， 而b 又是a ，c 的等比中项， 故b 2

＝ac ，即ac ＝9.

4．(2019·丰台高二检测)数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }的连续三项，则数列{b n }的公比为( )

A. 2

B.4 C ．2

D ．12

解析：选C.因为a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }中的连续三项，所以a 2

3＝a 1a 7，设{a n }的公差

为d ，则d ≠0，所以(a 1＋2d )2

＝a 1(a 1＋6d )，所以a 1＝2d ，所以公比q ＝a 3a 1＝4d 2d

＝2.

5．若正项数列{a n }满足a 1＝2，a 2

n ＋1－3a n ＋1a n －4a 2

n ＝0，则{a n }的通项公式a n ＝( ) A ．22n －1

B.2n

C ．2

2n ＋1

D ．2

2n －3

解析：选A.由a 2

n ＋1－3a n ＋1a n －4a 2

n ＝0，得(a n ＋1－4a n )·(a n ＋1＋a n )＝0.又{a n }是正项数列，

所以a n ＋1－4a n ＝0，

a n ＋1

a n

＝4.由等比数列的定义知数列{a n }是以2为首项，4为公比的等比数列．由等比数列的通项公式，得a n ＝2×4

n －1

＝2

2n －1

.故选A.

6．下面四个数列：

①1，1，2，4，8，16，32，64；

②在数列{a n }中，已知a 2a 1＝2，a 3a 2

＝2； ③常数列a ，a ，…，a ，…； ④在数列{a n }中，

a n ＋1a n

＝q (q ≠0)，其中n ∈N *

. 其中一定是等比数列的有________．

解析：①不符合“每一项与它的前一项的比等于同一常数”，故不是等比数列． ②不一定是等比数列．当{a n }只有3项时，{a n }是等比数列；当{a n }的项数超过3时，不一定符合．

③不一定．若常数列是各项都为0的数列，它就不是等比数列；当常数列各项不为0时，是等比数列．

④等比数列的定义用式子的形式表示：在数列{a n }中，对任意n ∈N *

，有a n ＋1

a n

＝q (q ≠0)，那么{a n }是等比数列．

答案：④

7．若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2

＝________． 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .因为a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4

＝8，

所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3d ＝8，－1·q 3

＝8，所以⎩

⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝－2. 所以a 2＝2，b 2＝2.所以a 2b 2＝2

2

＝1.

答案：1

8．等比数列{a n }中，若a 2a 5＝2a 3，a 4与a 6的等差中项为5

4，则a 1＝________．

解析：设等比数列{a n }的公比为q ， 因为a 2a 5＝2a 3，

所以a 21q 5

＝2a 1q 2

，化简得a 1q 3

＝2＝a 4. 因为a 4与a 6的等差中项为5

4

，

所以a 4＋a 6＝2×5

4，

所以a 4(1＋q 2

)＝52.

所以q 2

＝14，解得q ＝±12

.

则a 1×⎝ ⎛⎭

⎪⎫±18＝2，解得a 1＝±16. 答案：±16

9．在等比数列{a n }中，a 3＝32，a 5＝8. (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)若a n ＝1

2

，求n .

解：(1)因为a 5＝a 1q 4

＝a 3q 2

，

所以q 2

＝a 5a 3＝14

.

所以q ＝±1

2

.

当q ＝12时，a n ＝a 1q n －1＝a 1q 2·q n －3＝a 3q n －3

＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＝28－n ；

当q ＝－12时，a n ＝a 1q n －1＝a 1q 2·q n －3＝a 3q n －3

＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －3.

所以a n ＝2

8－n

或a n ＝32×⎝ ⎛⎭

⎪

⎫－12n －3

.

(2)当a n ＝12时，即28－n

＝12或32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －3＝12，

解得n ＝9.

10．已知等比数列{a n }为递增数列，且a 2

5＝a 10，2(a n ＋a n －2)＝5a n －1，求数列{a n }的通项公式．

解：设数列{a n }的公比为q . 因为a 2

5＝a 10，2(a n ＋a n －2)＝5a n －1，

所以⎩

⎪⎨⎪⎧a 2

1·q 8

＝a 1·q 9

①

2（q 2

＋1）＝5q ②， 由①，得a 1＝q ， 由②，得q ＝2或q ＝12，

又数列{a n }为递增数列，