测量平差基础课件——平差数学模型
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第四章 平差数学模型与最小二乘平差原理 (1)
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
三、最小二乘原理 例：作匀速运动的质点在时刻 下： 在不同时刻
的位置是
y ，函数如
y
测定质点位置，得一组观测值
y1 , y2 .... yn
1 , 2 .... n
由运动方程可得： v y i i i 或 用图解表示如图： V B X Y
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
必要观测数：确定某个模型所必需的最少的 观测值的个数，称为必要观测数。 必要观测数用符号t表示。
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
什么是测量平差？
观测值中包含有“误差”
对某“量”进行多次观测，多次观测结果并不相等 问：如果对该“量”只作一次观测，该观测值是否 不含误差？ 此时观测值所含误差不能被发现，结果是不可靠 的。为了保证观测结果的正确性必须对该“量” 进行两次或两次以上的观测，使得误差通过观测 值之间的差异表现出来，平差的一个主要任务就 是“消除差异”，求出被观测量的最可靠结果。
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
平差问题存在的条件
总观测数用n表示： 当n<t时： 模型不能确定 当n=t时： 模型能唯一确定 当n>t时 可以确定多个模型 平差问题存在的条件是：n>t
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
必要观测可以唯一确定模型，其相互独立。可见若有多余观测必然可用这t 个元素表示，即形成r个条件。
必要元素数的概念
确定某个模型所必需的最少的元素个数， 称为必要元素数。 记必要元素数的符号为t。
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
必要元素数的性质
现代测量平差原理及其模型误差分析
权的误差△P造成了函数模型参数的过渡化。
• 当 ∆F < Fα − F < 0 时
F < Fα < F
• 用统计 F 检验，参数Y不显著，实际上 F > Fα 参数Y显著，使函数模型少选了参数Y。 • 因此，在实际平差系统中，虽然存在随机模型 误差 △P，但往往并不知道，上述的检验统计 量采用了 F 致使所选函数模型产生了模型误 差，影响了平差函数的最优无偏估计性质。
T T
E (∆T PQVV P∆) = tr ( PQVV PD∆ ) = σ 0 tr ( PQVV ) = σ 0 (n − t )
2 2
Y G PQVV PGY = V PV − σ 0 ( n − t )
T T T 2
7、模型误差的识别
ky =
Y G PQVV PGY
T
T
tσ 0
2
检验Y=0 KY 可取4-6
P ′= 1 P
P2 + ∆P
V1 A1 l1 = X − l 2 + ∆L V2 A2
P1 P=
P2
V2′ = V2 + ∆L
V1′ = V1
定权如果不正确，相当于该观测值存在模型误差是综合函 数模型和随机模型误差的。平差系统模型误差的识别和补偿应 综合考虑。
ˆ ˆ ˆ vt = xt −1ϕ1 + xt − 2ϕ 2 + ⋯ xt − pϕ p − xt
其中时间序列数据为： {x1 } = (x1 , x 2, ⋯ , x n ), t = p + 1, ⋯ , n -1 1 -1 1 T = , R = T TT N −1, N N N ⋯ − 1 1
测量平差 平差数学模型与最小二乘原理PPT课件
间接平差法：
L~ F ( X~)
n1
t1
ntr
第21页/共33页
• 附有参数的条件平差法：
• 附有条件的间接c平F1(差L~法, X：~) 0 n t r c r u 0 u t
nsL~11(uX~1F)
( X~) u1
0
n t r u t s, u t
第22页/共33页
• 若平差的函数是非线性的，平差之前就要进行线性化。 • 线性化的方法是应用台劳级数展开，保留一次项
•
必要元素之间函数独立
• 问题 ：
仅有必要观测能否完成测量工作？观测结果是否可靠？
• 多余观测： r=n-t
n>t
• 条件方程：
•
观测误差存在使得测量平差有必要，多余观测使得测
量平差得以实现
第11页/共33页
几何量符号表 示
•1、必要观测次数 t（个数和类型）
•2 、 实 际 观 测 次 数 n
•3、多余观测次数 r
D(ˆ1 ) D(ˆ2 ) D(ˆ ) min
第29页/共33页
• 一、参数估计及最优性质
•
数理统计理论证明，具有无偏性、最优性的估计量必然是一致性估计量，
所以测量平差中参数的最佳估值要求是最优无偏估计量。由于平差模型是线性的，
最佳估计也称为最优线性无偏估计。
第30页/共33页
•二 、 最 小 二 乘 原 理
• 三、必要观测
• 必要观测/必要元素：唯一确定一个确定几何、物理模型 • 的形状、大小所必须进行的观测称为必要观测，其符号 • 用符号t表示。
• 必要元素的特点： • （1）元素的个数仅与几何模型有关而与实际观测量无关 • （2）必要元素之间函数独立
误差理论与测量平差基础第五章条件平差ppt课件.pptx
5-2 条件方程的列立
故有：
dA
1 ha
(dSa
cos CdS b
cos BdSc
)
将微分换成改正数，并将弧度换
成角度，得：
vA
ha (vSa
cos CvSb
cos BvSc
)
上式称为角度改正数方程。它具有明显的规律：
任意角度的改正数，等于其对边的改正数分别减去两邻 边的改正数乘以其邻角的余弦，然后再除以该角至其对边的
3、几种非线性条件方程的线性形式
极条件： 在图5-4中，极条件为 线性化得：
sin aˆ1 sin aˆ2 sin aˆ3 sin bˆ1 sin bˆ2 sinbˆ3
1
sin(a1 va1 )sin(a2 sin(b1 vb1 )sin(b2
va2 )sin(a3 va3 ) vb2 )sin(b3 vb3 )
dV
dV
dV
VTP VTP
2V T P
5-1 条件平差原理
2.2 求偏导
2.3 法方程 改正数方程
d 2V T P 2K T A 0 dV
AP1 AT K W 0
V P1 AT K
举例
水准网如右图：观测值及其权阵如下：
L 0.023 1.114 1.142 0.078 0.099 1.216 T m
m1
yA yˆi yB 0 i 1
5-2 条件方程的列立
➢GIS数字化数据采集中，折角均为90度的N边形的条件 方程
1、观测值
观测值为N个顶点的坐标，其个数为n=2 N。
2、必要观测个数
t=N+1
h
3、多余观测个数
r=n-t=2N-N-1=N-1 4、条件方程的类型
测量平差基础课件——平差数学模型
则上式可写为：
B X~ l
n1 nu u1 n1
其函数模型的一般形式为：
C X~W 0
su u1 s1
这就是附有条件的间接平差的函数模型。
其中第二式称为限制条件方程。
第二节 测量平差的数学模型
一、函数模型
5. 附有条件的条件平差法（综合平差 模型）
A L~ B X~
cn n1 cu u1
第二章 平差数字模型
第一节 概 述
1.几何模型
在测量工作中，为了确定待定点的高程，需要建立水准网，为了确定待定点 的平面坐标，需要建立平面控制网（包括测角网、测边网、边角网），我们 常把这些网称为几何模型。
2.几何量
每种几何模型都包含有不同的几何元素，如水准网中包括点的高程、点间的 高差，平面网中包含角度、边长、边的坐标方位角以及点的二维或三维坐标 等元素。这些元素都被称为几何量。
一般而言，如果某一平差问题中,观测值
个数为n，必要观测个数为t，多余
观 测 个 数 为 r=n-t ， 再 增 选 u 个 独 立
参 数 ， u=t ， 则 总 共 应 列 出
c=r+u=n 个 函 数 关 系 式 ， 其 一 般 形
式为
L~ F ( X~)
n1
或：
L~ B X~ d
n1 nt t1 n1
cn n1 cu u1 c1
C X~W 0
这u个参数中存在着s个函数关系式，
su u1 s1
则应列出s个形如（2-2-20）的限 这就是附有条件的条件平差的函数模型
制条件方程，除此之外再列出
c=r+u-s
一般条件方程，形成如下的函数模型：
第二节 测量平差的数学模型
误差理论与平差基础课件 第3、4章
求函数向量 x = [ x1
x 2 ]T 的方差。
-5-
第三章 协方差传播律 三、两个函数 y ,
r ,1
r ,t
t ,1
z 的互协方差阵
⎡ 4 0 0⎤ ⎢0 2 0⎥ 例3设有观测向量L，已知其协方差阵为，D = ⎢ ⎥ 3, 3 ⎢ 0 0 3⎥ ⎣ ⎦ 求下列函数的协方差。
DYZ = FDXX K T
T DYY = FDXX F T = DYY r ×r
-4-
第三章 协方差传播律
例1已知 L1 ...L3
⎤ ⎡3 DL = ⎢ 2 ⎥ ⎥ ⎢ 3, 3 ⎢ 4⎥ ⎦ ⎣
求函数 x = 5L1 − L2 + 2 L3 − 7 的方差。
例2已知 L1 ...L3
⎡ 3 − 1 1⎤ DL = ⎢− 1 2 0⎥ ⎥ ⎢ 3, 3 ⎢ 1 0 4⎥ ⎦ ⎣ x 2 = − L2 + 3L3 − 2 函数 x1 = 2 L1 − L2 + 5,
单位权中误差 比例因子 权为1的观测值对应的中误差
3
测量中常用的方法
（1）水准测量的权 （2）同精度观测值的算术平均值的权 （3）距离丈量的权 （4）三角高程测量的权
-15-
第三章 协方差传播律 九、协因数和协因数传播律 1 2 3 4 5
协因数 协因数阵 协因数阵的特点 互协因数阵 权阵
-16-
第三章 协方差传播律--协因数和协因数传播律
当观测值互不相关时，权阵为对角阵，主对角 线上的元素为观测值的权。
L = [ L1 ......Ln ]T
2 ⎡σ L1 ⎢ 2 ⎢σ 0 1 = 2 DL = ⎢ ... σ0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣
QLL
《测量平差基础》课件
平差模型
平差模型是描述测量数据与未知参数之间关系的数学模型，通过建立 合适的平差模型，可以对测量数据进行处理和分析。
参数估计
平差中的参数估计是通过对测量数据的处理和分析，求解出未知参数 的最估计值的方法。
误差传播
平差中的误差传播是研究误差对测量结果的影响，以及如何减小误差 的方法。
02
测量误差理论
误差的来源与分类
来源
仪器误差、观测者误差、外界条件误差
分类
系统误差、偶然误差、粗差
误差的传播与处理
误差传播定律
描述观测值之间误差关系的规律
误差处理方法
消除法、替代法、组合法
《测量平差基础》ppt课件
目 录
• 测量平差基础概述 • 测量误差理论 • 平差计算方法 • 平差应用实例 • 平差软件介绍
01
测量平差基础概述
平差的概念与意义
平差的概念
平差是通过对测量数据的处理，消除 或减小误差，提高测量精度的方法。
平差的意义
通过对测量数据的平差处理，可以提 高测量成果的可靠性和精度，为各种 工程和科学研究提供准确的数据支持 。
平差的分类与目的
平差的分类
根据处理方法和目的的不同，平差可 以分为多种类型，如参数平差、条件 平差、最小二乘法平差等。
平差的目的
平差的主要目的是减小或消除测量误 差，提高测量精度，确保测量成果的 可靠性和准确性。
平差的基本原理
数学基础
平差的基本原理基于数学中的最小二乘法、线性代数和概率统计等知 识。
平差模型是描述测量数据与未知参数之间关系的数学模型，通过建立 合适的平差模型，可以对测量数据进行处理和分析。
参数估计
平差中的参数估计是通过对测量数据的处理和分析，求解出未知参数 的最估计值的方法。
误差传播
平差中的误差传播是研究误差对测量结果的影响，以及如何减小误差 的方法。
02
测量误差理论
误差的来源与分类
来源
仪器误差、观测者误差、外界条件误差
分类
系统误差、偶然误差、粗差
误差的传播与处理
误差传播定律
描述观测值之间误差关系的规律
误差处理方法
消除法、替代法、组合法
《测量平差基础》ppt课件
目 录
• 测量平差基础概述 • 测量误差理论 • 平差计算方法 • 平差应用实例 • 平差软件介绍
01
测量平差基础概述
平差的概念与意义
平差的概念
平差是通过对测量数据的处理，消除 或减小误差，提高测量精度的方法。
平差的意义
通过对测量数据的平差处理，可以提 高测量成果的可靠性和精度，为各种 工程和科学研究提供准确的数据支持 。
平差的分类与目的
平差的分类
根据处理方法和目的的不同，平差可 以分为多种类型，如参数平差、条件 平差、最小二乘法平差等。
平差的目的
平差的主要目的是减小或消除测量误 差，提高测量精度，确保测量成果的 可靠性和准确性。
平差的基本原理
数学基础
平差的基本原理基于数学中的最小二乘法、线性代数和概率统计等知 识。
第三章-平差数学模型与最小二乘原理new
第九章 参数的区间估计与假设检验
第十章 平差实例
2019/12/21
2
第3章 平差数学模型与最小二乘原理
§3-1 测量平差的数学模型 §3-2 函数模型的线性化 §3-3 参数估计与最小二乘原理
2019/12/21
3
§3-1 测量平差的数学模型
一、几何模型
在测量工程中，最常见的是要确定某些几何量的大小。 例如，为了求定一些点的高程而建立了水准网，为了求定某 些点的坐标而建立了平面控制网或三维测量网。前者包含点 间的高差、点的高程等元素，后者包含角度、边长、边的方 位角以及点的二维或三维坐标等等元素。这些元素都是几何 量，以下统称这些网为几何模型。
六、函数模型
函数模型中的未知量可视平差问题需要而选取。 条件方程是一种选取方法；也可选取参数来建立，此 时的函数模型是将观测量表达为参数的函数，称为观 测方程。
函数模型分为线性模型和非线性模型，下面介绍 几种常见的平差方法的函数模型。
2019/12/21
16
§3-1 测量平差的数学模型
六、函数模型
2019/12/21
20
§3-1 测量平差的数学模型
六、函数模型
1、条件平差的函数模型
以平差值代入，即 Lˆ L V 代替上式的真值 L~ ，则条件平 差的方程可以转化为：
或者
A Lˆ
rn n1
A0
r1
0
AV W 0
rn n1 r1
W
r1
A L
rn n1
A0
加一个量，则必然产生一个相应的函数关系式。仍以
（则2存）在情L~况1+中L~2，+L~必3=要18量0S~º2选，为若S~1L~再ss1、iinn增L~LL~~、2加12S~1，一若个增量加S~2，一则个有量L~3，
平差的ppt课件
E( XY) E( X )E(Y )
当X和Y相互独立时： xy E(X )E(Y ) E(X )E(Y ) 0 当X和Y相互独立时，X和Y的协方差为零。但是， 逆命题却不一定成立，即协方差为零并不意味 着相互独立。只有当和服从联合正态分布时， 协方差为零才是相互独立的充分条件。因此， 对于服从正态分布的观测值，协方差为零和相 互独立是等价条件。
式中： x E( X ) X X和Y的真误差。
和 y E(Y ) Y
分别是
设是观测值的真误差，是观测值的真误差， 而协方差则是这两种真误差所有可能取值的 乘积的理论平均值，即
实用上总是有限值，所以也只能求得它的估 值，记为
协方差与相关
xy E( X E( X ))(Y E(Y )) E[ XY XE(Y ) E( X )Y E( X )E(Y )]
协方差与相关
在测量工作中，直接观测得到的高差、距离、 角度、方向和三角高程测量求得的高差等，都 认为是独立观测值。一般来说，独立观测值的 各个函数之间是不独立的，或者说是相关的， 因而它们是相关观测值。例如，当一个测站上 的水平方向观测值是独立观测值时，由这些方 向值所算得的相邻角度就是相关观测值；又如， 三角网或导线网中根据观测角度和边长求得的 各点的坐标也是相关观测值。
偶然误差的规律性
1. 在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定
的限值，或者说，超出一定限值的误差，其 出现的概率为零。
2. 绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现
的概率大。
3. 绝对值相等的正负误差出现的概率相同。 4. 偶然误差的数学期望为零，即：
E() E(E(L) L) E(L) E(L) 0
衡量精度的指标--平均误差
在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差 绝对值的数学期望称为平均误差。
当X和Y相互独立时： xy E(X )E(Y ) E(X )E(Y ) 0 当X和Y相互独立时，X和Y的协方差为零。但是， 逆命题却不一定成立，即协方差为零并不意味 着相互独立。只有当和服从联合正态分布时， 协方差为零才是相互独立的充分条件。因此， 对于服从正态分布的观测值，协方差为零和相 互独立是等价条件。
式中： x E( X ) X X和Y的真误差。
和 y E(Y ) Y
分别是
设是观测值的真误差，是观测值的真误差， 而协方差则是这两种真误差所有可能取值的 乘积的理论平均值，即
实用上总是有限值，所以也只能求得它的估 值，记为
协方差与相关
xy E( X E( X ))(Y E(Y )) E[ XY XE(Y ) E( X )Y E( X )E(Y )]
协方差与相关
在测量工作中，直接观测得到的高差、距离、 角度、方向和三角高程测量求得的高差等，都 认为是独立观测值。一般来说，独立观测值的 各个函数之间是不独立的，或者说是相关的， 因而它们是相关观测值。例如，当一个测站上 的水平方向观测值是独立观测值时，由这些方 向值所算得的相邻角度就是相关观测值；又如， 三角网或导线网中根据观测角度和边长求得的 各点的坐标也是相关观测值。
偶然误差的规律性
1. 在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定
的限值，或者说，超出一定限值的误差，其 出现的概率为零。
2. 绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现
的概率大。
3. 绝对值相等的正负误差出现的概率相同。 4. 偶然误差的数学期望为零，即：
E() E(E(L) L) E(L) E(L) 0
衡量精度的指标--平均误差
在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差 绝对值的数学期望称为平均误差。
平差第四章
第4章平差数学模型与最小二乘原理测量———确定模型确定模型的必要元素(量、数据），其个数为t m个。
•必要元素的个数T只取决于模型本身•所有的必要元素都是彼此函数独立的量•模型中所有的量都是必要元素的函数•一个模型中函数独立的量最多只有T个•模型中作为必要元素的“量”不是唯一的必要元素分必要观测量(t 个）和必要起算数据(t o 个）。
一个测量问题中的总观测个数(n 个），则多余观测个数(r 个）相应的有总起算数据个数和多余起算数据个数。
必要观测数据个数：m o t t t =--多余起算数据个数控制网必要元素个数必要起算数据个数与类型水准网点数t=1一个点的高程测角三角网点数×2t=4一个点的坐标、一边边长和方位角⇦⇨两个已知点测边三角网点数×2t=3一个点的坐标、一边方位角边角三角网点数×2t=3一个点的坐标、一边方位角r=n-t当n＜t时，不能确定平差问题的模型n =t时，能确定模型，但无检核、有无粗差不知n＞t时，有多余观测，因观测误差使观测值间产生矛盾，使模型出现多解。
n＞t时，通过平差处理，让观测值的平差值之间满足相应的条件关系，消除矛盾，获取模型的唯一最优解。
4-2函数模型由于只能求出真误差的估值，即真值的估值，函数模型应为：ˆ0AL A +=平差值条件：0()AV W W AL A +==+改正数条件选择t 个函数独立的参数：，这些参数刚好能够确定模型。
则函数模型为：12(,,,)t X X X1()n L F X ⨯=线性情况下111n n t t n L B X d⨯⨯⨯⨯=+ 误差方程：111111()n t t n n n n n V B X l l d L ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+=- o o1111()n t n t n n V B x ll BX d L L L ⨯⨯⨯⨯⨯=+=+-=-附有参数的条件平差法模型在具体平差问题中，观测次数n ，必要观测次数t ，则多余观测次数r ，再增加u 个独立参数，且0 ＜u ＜t ，则总共有r +u = c 个条件方程，一般形式是：线性情况下01111c n n c u u c c A L B X A ⨯⨯⨯⨯⨯⨯++=改正数条件方程：01111()c n c u n u c c A V B x W W AL BX A ⨯⨯⨯⨯⨯⨯++==++1(,)0c F L X ⨯=具有约束条件的间接平差法的函数模型选择u 个参数：，u＞t ，且包含t 个函数独立的参数。
《平差基础》课件
异常值和缺失值的影响：可能导 致模型预测不准确，需要谨慎处 理
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
缺失值处理：通过插值、填充、 删除等方式处理缺失值
异常值和缺失值的检测方法：箱 线图、散点图、直方图等可视化 方法，以及统计方法如t检验、卡 方检验等
数据插值：根据已知数据点，估计未知数据点的值 插值方法：线性插值、多项式插值、样条插值等 外推：根据已知数据点，预测未来数据点的值 外推方法：趋势外推、季节性外推、指数外推等
模型选择：根据实际需求选择合适的模型 模型确定：根据实际数据确定模型的参数 模型验证：通过实验验证模型的准确性和稳定性 模型优化：根据实验结果对模型进行优化和改进
模型参数：包括观测值、观测 误差、观测方程等
参数估计方法：最小二乘法、 最大似然估计等
参数估计步骤：选择模型、设 定参数、求解参数等
平差结果在科学研究中的 应用
案例背景：某公司需要进行地形测量，但地形复杂，需要采用平差技术 平差方法：采用GPS测量和地形测量相结合的方法 平差结果：经过平差处理后，地形测量结果更加精确 案例总结：平差技术在实际地形测量中具有重要意义，可以提高测量精度和效率
案例背景：某工程测量项目
平差方法：采用最小二乘法进行数据处理
启示3：平差方法 需要掌握一定的数 学和计算机知识， 需要不断学习和实 践
基本思想：最小 化误差平方和
数学模型：线性 方程组
求解方法：迭代 法、最小二乘法
应用领域：测量 学、统计学、工 程学等
点估计：通过样本数据计算 得到总体参数的一个估计值
估计方法：包括点估计和区 间估计
基本概念：参数估计就是通 过样本数据来估计总体参数 的过程
区间估计：通过样本数据计 算得到总体参数的一个置信
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2. 附有参数的条件平差法
F (L~, X~) 0
c1
如果有n个观测值
L
n1
，必要观测个
数为t，则应列出r=n-t个条件方程。
现又增设了u个独立量作为未知参
如果条件方程是线性的，其形式为
A L~
cn n1
B X~
cu u1
A0
c1
0
数，且0 <u<t,每增加一个参数应
增加一个条件方程，因此，共需列 出c=r+u个条件方程，以含有参数
将 L~ L 代入上式，并令
的条件方程为平差函数模型的平差 方法，称为附有参数的条件平差法。
W ( AL A0 )
参见书中例子。
则得
A B X~W 0
cn n1 cu u1 c1
上式为附有参数的条件平差的函数
模型。建模方法：找出观测值真值 之间或观测值与参数真值之间应该 满足的 C 个关系式。
第二章 平差数字模型
第一节 概 述
1.几何模型
在测量工作中，为了确定待定点的高程，需要建立水准网，为了确定待定点 的平面坐标，需要建立平面控制网（包括测角网、测边网、边角网），我们 常把这些网称为几何模型。
2.几何量
每种几何模型都包含有不同的几何元素，如水准网中包括点的高程、点间的 高差，平面网中包含角度、边长、边的坐标方位角以及点的二维或三维坐标 等元素。这些元素都被称为几何量。
第二节 测量平差的数学模型
一、函数模型
3. 间接平差法
参选数择几X~何，模将型每中一t个个观独测立量量表为达平成差 u1
所选参数的函数，共列出 r+u=r+t=n个这种函数关系式，以 此作为平差的函数模型的平差方法 称为间接平差。（见例子）
建模方法：
将每一个观测量表达成所选参数的 函数，共列出r+u=r+t=n个这种函 数关系式。
第一节 概 述
4.必要观测个数
我们把能够唯一地确定一个几何模型所必要的元素，称为必要观测元素。必 要观测元素的个数用t表示，称为必要观测个数
一个几何模型的必要观测元素之间是不存在任何确定的函数关系的，即其中 的任何一个必要观测元素不可能表达为其余必要观测元素的函数。这些彼此 不存在函数关系的量称为函数独立量，简称独立量。
L~ B X~ d
5.多余观测个数
假设对模型中的几何量总共观测n个，
n<t,显然无法确定模型的解；
n=t,则可唯一地确定该模型，但对观测结果中含有的粗差和错误都将无法发 现。
n>t，
r=n-t
r称为多余观测个数，表示有r个多余观测值，在统计学中也叫自由度。
第一节 概 述
6.条件方程
现在模型中有r个多余观测量，因此，一定也存在着r个这样的函数关系式。
L1 L2 L3 180 0
消除矛盾
Lˆi Li Vi
“观测值估值” （又叫平差值、 最或是值、最 或然值）来代 替观测值
我们把按照某一准则求得观测值新的 一组最优估值的计算过程叫平差。
V称为观测值的改 正数
第二节 测量平差的数学模型
• 在科学技术领域，通常对研究对象
进行抽象概括，用数学关系式来描 述它的某种特征或内在的联系，这
⑶要确定该三角形的大小、形状和它在一个特定坐标系中的位置和方向，则必须 知道图中15个元素中的6个不同的元素，至少要包含一个点的坐标和一条边 的坐标方位角，这是确定其位置和方向不可缺少的元素，通常称其为外部配 置元素，它们的改变只相当于整个网在坐标系中发生了平移和旋转，并不影 响该三角形的内部形状和大小。所以三角形中如果没有已知点坐标和已知方 位角时，也可以假定一个点的坐标和一条边的方位角，这就相当于将该三角 形定位于某个局部坐标系中，实际上只需要3个元素就可以了。如果A、B两 点都是已知点，为确定三角形的大小、形状、位置和方向，则只需要任意两 个元素就行了，如两角、两边或一边一角等。
L~1 L~2 L~3 180 0
~
~
sinS1L~1
S sin
2L~2
0
每增加一个多余观测，在它们中间就必然增加且只增加一个确定的函数关系 式，有多少个多余观测，就会增加多少个这样的关系式。这种函数关系式， 在测量平差中称为条件方程。
第一节 概 述
7.平差的概念 多余观测
产生矛盾
平差
求改正数V
F (L~) 0
种数学关系式就称为数学模型。 或
本节详细介绍平差的随机模型和常 见的平差函数模型及其建立方法。 令：
A L~
r1
L~ L
一、函数模型
函数模型是描述观测量与待求量之 间的数学函数关系的模型。下面简
则：
述各种经典平差方法的线性函数模
W ( AL A0 )
将 L~ L 代入上式，并令
则：
l Ld
B X~ l
n1 nt t1 n1
上式就是间接平差的函数模型。
第二节 测量平差的数学模型
一、函数模型
L~ F ( X~)
4. 附有条件的间接平差法
n1
(
X~ )
0
如果在某平差问题中，选取u>t个参数，线性形式的S1函数模型为
其中包含t个独立参数，则多选的 s=u- t个参数必定是t个独立参数 的函数，即在u个参数之间存在着s 个函数关系式。方程的总数
A W 0
型及其建立方法。
上式即为条件平差的函数模型。以
1. 条件平差
此模型为基础的平差计算称为条件
如果有n个观测值
L
n1
，必要观测个
平差法。
数为t，则应列出r=n-t个条件方程 : 建模方法：找出观测值真值之间应该满
先看书上例子
足的 r 个关系式。
第二节 测量平差的数学模型
一、函数模型
一般而言，其一般形式为
一般而言，如果某一平差问题中,观测值
个数为n，必要观测个数为t，多余
观 测 个 数 为 r=n-t ， 再 增 选 u 个 独 立
参 数 ， u=t ， 则 总 共 应 列 出
c=r+u=n 个 函 数 关 系 式 ， 其 一 般 形
式为
L~ F ( X~)
n1
或：
L~ B X~ d
n1 nt t1 n1
3.函数模型
要确定一个几何模型，并不需要知道其中所有元素的大小，只需知道其中的 一部分就可以了，其它元素可以通过它们之间的函数描述而确定出来，这种 描述所求量与已知量之间的关系式称为函数模型。
第一节 概 述
⑴如图三角形ABC中，为了确定它的形状，只需要知道其中任意两个内角的大小 就可以了
⑵要确定该三角形的大小和形状，就必须知道三个不同的元素，即任意的一边两 角、任意的两边一角或者是三边。