经济数学基础微分学之第2章极限、导数与微分

第一单元 极限的概念及其运算

第一节 极限的概念

一、学习目标

极限是微积分学中的重要概念，微积分中的许多重要概念都是由极限定义的.学习了这一节课，要使我们了解极限、左、右极限和无穷小量的概念. 并且能够利用函数图形和极限定义去求简单函数的极限.

二、内容讲解

1.极限的概念1

数列的极限：

①数列：一般地，按一定规律排列的一串数1x ，2x ，…，n x ，…称为数列，简记为{}n x 。其中的第n 项n x 称为该数列的通项。

②数列的极限：给定数列{}n x ，如果当n 无限增大时，n x 无限地趋近某个固定的常数A ，则称当n 趋于无穷时，数列{}n x 以A 为极限。记为A x n n =∞

→lim

2.极限的概念2

研究函数是利用极限的方法来进行；极限是一个变量在变化过程中的变化趋势。 例1 圆的周长的求法.早在公元263年，古代数学家刘徽用圆内接正四边形、正五边形、正八边形、正十六边形……等的边长近似圆的周长，显然随着边数的增加，正多边形的边长将无限趋近圆的周长.

例2 讨论当+∞→x 时，x 1

的变化趋势.

例3 讨论一个定长的棒，每天截去一半，随着天数的增加，棒长的变化趋势.“一尺之棰，日截其半，万世不竭”——庄子•天下

定义2.1——函数的极限

设函数)(x f 在点0x 的邻域（点0x 可以除外）内有定义，如果当x 无限趋于0x （但0

x x ≠）

时，)(x f 无限趋近于某个常数A ，则称x 趋于0x 时，)(x f 以A 为极限，记为A x f x x =→)(lim 0或

A x f →)()(0x x →；若自变量x 趋于0x 时，函数)(x f 没有一个固定的变化趋势，则称函数)

(x f 在

x 处没有极限.

在理解极限定义时要注意两个细节：

1.0x x →时（0x x ≠），

2.

⎩⎨

⎧→<→>→000

00)()(x x x x x x x x （包括这两种情况）

考虑函数x y =，依照极限的定义，不能考虑0→x 的极限.因为x y =在0

义.又如函数

⎩⎨

⎧>≤=010

)(x x x x f ，如果讨论0→x 是的极限，则函数分别在0x 时不是同一个表达式，必须分别考虑.由此引出左右极限的概念：

定义2.2——左右极限

设函数f x ()在点x 0的邻域（x 0点可以除外）内有定义，如果当x x <0且x 无限于x 0（即

x 从x 0的左侧趋于x 0，记为x x →-

0）时，函数f x ()无限地趋近于常数L ，则称当x 趋于x 0时，

f x ()以L 为左极限，记作lim ()x x f x L

→-

=0 或f x -()0= L ；如果当x x >0且x 无限趋于x 0（即

x 从x 0的右侧趋于x 0，记为x x →+

0）时，函数f x ()无限地趋近于常数R ，则称当x 趋于x 0时，

f x ()以R 为右极限，记作lim ()()

x x f x R f x →++

=00或=R 。

3.极限存在的充分必要条件：

极限

)

(lim 0

x f x x →存在的充分必要条件是：函数f x ()在0x

处的左，右极限都存在且相等.即

lim ()x x f x A →=⇔0

lim ()lim ()x x x x f x f x A →→-+

==0

4.无穷小量

定义2.3——无穷小量和无穷大量

)(lim 0

=→x f x x 称当

x x →时，)(x f 为无穷小量，简称无穷小.

无穷小量是一个特殊的变量，它与有极限变量的关系是：变量y 以为A 极限的充分必要条件是：y 可以表示成A 与一个无穷小量的和，即

)0(lim lim =+=⇔=ααA y A y

无穷小量的有以下性质：

性质1 有限个无穷小量的和是无穷小量； 性质2 有限个无穷小量的乘积是无穷小量； 性质3 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量. 无穷大量

在某个变化过程中，绝对值无限增大且可以大于任意给定的正实数的变量称为无穷大量. 例如 因为+∞

=+∞

→x x 2lim ，所以，当+∞→x 时，x

2是无穷大量.无穷小量与无穷大量有如

下“倒数关系”：

定理：当0

x x →（或∞→x ）时，若)(x f 是无穷小（而0)(≠x f ），则)(1

x f 是无穷大，；反之，若)(x f 是无穷大，则)(1

x f 是无穷小.

三、例题讲解

例1 讨论2

x y =时, 2

2

lim x x →=？

解：求极限时，可以利用极限的概念和直观的了解，我们可以借助几何图形来求函数的极限.由几何图形可以看出，当2→x 时，42

→=x y ，即2

2

lim x x →=4

例2 讨论函数112--=x x y ,当1→x 时的极限11lim

21--→x x x

解：此函数在1=x 处没有定义，可以借助图形求极限.由图形得到211

lim 21=--→x x x

例3 ⎩⎨⎧>≤=010

)(x x x x f , 求)(lim 0x f x →

解：注意到此函数当x =0的两侧表达式是不同， 在0点处分别求左、右极限.

1

1lim )(lim 0

0==++

→→x x x f

lim )(lim 0

0==--

→→x x f x x 可见左右极限都存在但不相等；由几何图形易见,

由极限的定义知，函数在某点处有极限存在需在该点处的左右端同趋于某个常数，因此此函数在0点处极限不存在.

例4 2x y =，当0→x 时，?2→x

解： 由图形可知，当0→x 时，02

→x 当0→x 时，2x 是无穷小量.

四、课堂练习

练习1 讨论函数=y 12

+x 当 1→x 时的变化趋势.