【人教A版】数学必修一第四章 4.5.1函数的零点与方程的解

素养
提升 函数的零点即函数图象与x轴交点的横坐标，也可转化成两函数交点的 横坐标，这样就建立了数与形的联系，利用函数图象描述问题，充分体 现直观想象的数学核心素养.
3 随堂演练
PART THREE
1.函数y＝ln x的零点是
A.(0,0)
Leabharlann BaiduB.0
√C.1
D.不存在
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2.下列各图象表示的函数中没有零点的是
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.函数f(x)＝3x－2的零点为
2 3
.(
√
)
2.若f(a)·f(b)>0，则f(x)在[a，b]内无零点.( × )
3.若f(x)在[a，b]上为单调函数，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内有且只有一个零
A.－14，0
B.0，14
√C.14，12
D.12，34
解析 因为 f 14＝4 e－2<0，f 12＝ e－1>0，所以 f 14·f 12<0， 又函数f(x)在定义域上单调递增， 所以零点在区间14，12上.
(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表： x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 f(x) 6 m －4 －6 －6 －4 n 6
12345
√
3.函数 f(x)＝2x－1x的零点所在的区间是
A.(1，＋∞)
√B.12，1
C.13，12
D.14，13
12345
4.函数 f(x)＝x3－12x 的零点有__1__个.
12345
5.若函数y＝ax2－x－1只有一个零点，求实数a的值.
解 当a＝0时，函数为y＝－x－1，显然该函数的图象与x轴只有一个交点， 即函数只有一个零点. 当a≠0时，函数y＝ax2－x－1为二次函数. 因为函数y＝ax2－x－1只有一个零点， 所以方程ax2－x－1＝0有两个相等的实根. 所以 Δ＝1＋4a＝0，a＝－14. 综上可知，a 的值为 0 或－14.
反思 判断函数存在零点的3种方法
感悟
(1)方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解 来判断函数是否存在零点或判断零点的个数. (2)图象法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系内作出 y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的 个数. (3)定理法：函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线， 由f(a)·f(b)<0即可判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点.若函数 y＝f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个 零点.
核心素养之直观想象
HE XIN SU YANG ZHI ZHI GUAN XIANG XIANG
根据零点情况求参数范围
典例 函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，求实数a的取值范围.
解 由f(x)＝0得a－1＝2|x|－x2， 因为函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点， 所以函数y＝a－1与y＝2|x|－x2的图象有四个交点， 画出函数y＝2|x|－x2的图象，如图所示， 观察图象可知，0<a－1<1，所以1<a<2.
解析 由(lg x)2－lg x＝0，得lg x(lg x－1)＝0， ∴lg x＝0或lg x＝1， ∴x＝1或x＝10.
反思
感悟 函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象 与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点.在写函 数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标.
答案 f(x)＝ax2＋x－2有一个零点是1，即a·12＋1－2＝0，∴a＝1， ∴f(x)＝x2＋x－2，令x2＋x－2＝0，得x＝1或x＝－2， ∴这个函数还有一个零点为－2.
知识点三 函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条 连续不断 的曲线，并且有 f(a)·f(b)<0 ， 那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内 至少有一个零点 ，即存在c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 ， 这个c也就是方程f(x)＝0的解.
跟踪训练 1 (1)已知函数 f(x)＝21x＋－lo1g，2xx，≤x1>，1， 则函数 f(x)的零点为
A.12，0
B.－2,0
1 C.2
√D.0
解析 当x≤1时，令2x－1＝0，得x＝0. 当 x>1 时，令 1＋log2x＝0，得 x＝12，此时无解. 综上所述，函数零点为0.
(2)若函数f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点3，则函数g(x)＝bx2＋3ax的零点是_－__1_和__0__.
点.( √ )
4.若f(x)在(a，b)内有且只有一个零点，则f(a)·f(b)<0.( × )
一、求函数的零点
例 1 (1)函数 y＝1＋1x的零点是
A.(－1,0)
√B.－1
C.1
D.0
解析 由 1＋1x＝0，得 x＝－1.
(2)函数f(x)＝(lg x)2－lg x的零点为__1_和__1_0__.
跟踪训练3 求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2零点的个数.
解 方法一 ∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0， f(1)＝2＋lg 2－2>0， 又f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为单调增函数， ∴f(x)在(0,1)上必定存在零点. 故函数f(x)有且只有一个零点. 方法二 在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图. 由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点， 即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点.
反思
感悟 判断单调函数零点所在区间的方法：将区间端点值代入函数解析式求出
函数值，进行符号判断即可得出结论，此类问题的难点往往是函数值符
号的判断，对此可运用函数的有关性质进行判断.
跟踪训练 2 函数 f(x)＝ln x－2x的零点所在的大致区间是
A.(1,2)
√B.(2,3)
C.(3,4)
D.(e，＋∞)
例 3 (1)f(x)＝x－2＋2＋2xl－n x3，，xx>≤0 0， 的零点个数为
A.3
√B.2
C.1
D.0
解析 当x≤0时， 由f(x)＝x2＋2x－3＝0得x1＝－3，x2＝1(舍去)； 当x>0时，由f(x)＝－2＋ln x＝0得x＝e2. ∴函数的零点个数为2.
(2)判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数.
第四章 4.5 函数的应用(二) 4.5.1 函数的零点与方程的解
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的 联系. 2.会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致 区间. 3.能借助函数单调性及图象判断零点个数.
知识点一 函数的零点
对于函数y＝f(x)，我们把使 f(x)＝0 的实数x叫做函数y＝f(x)的 零点 . 方程、函数、图象之间的关系： 方程f(x)＝0 有实数解 ⇔函数y＝f(x)有零点 ⇔函数y＝f(x)的图象与 x轴 有交点.
解析 因为f(x)＝ax－b的零点是3， 所以f(3)＝0， 即3a－b＝0，即b＝3a. 所以g(x)＝bx2＋3ax＝bx2＋bx＝bx(x＋1)， 所以方程g(x)＝0的两个根为－1和0， 即函数g(x)的零点为－1和0.
二、探求零点所在区间
例2 (1)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为
不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是
√A.(－3，－1)，(2,4)
B.(－3，－1)，(－1,1)
C.(－1,1)，(1,2)
D.(－∞，－3)，(4，＋∞)
解析 因为f(－3)＝6>0，f(－1)＝－4<0，所以在区间(－3，－1)内必有实数根， 又f(2)＝－4<0，f(4)＝6>0， 所以在区间(2,4)内必有实数根，故选A.
解析 由题意知，f(x)在定义域(0，＋∞)上单调递增， ∵f(1)＝－2<0，f(2)＝ln 2－1<0， ∴在(1,2)内f(x)无零点； 又 f(3)＝ln 3－23>0， ∴f(2)·f(3)<0， ∴f(x)在(2,3)内有零点， 同理可知f(x)在(3,4)内，(e，＋∞)内均无零点.
三、判断函数零点个数
思考 (1)函数的“零点”是一个点吗？ 答案 不是； (2)函数y＝x2有零点吗？ 答案 有零点，零点为0.
知识点二 函数的零点、方程的解、函数图象与x轴的交点
方程f(x)＝0的实数解⇔函数y＝f(x)的零点 ⇔函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的 横坐标 .
思考 函数f(x)＝ax2＋x－2有一个零点是1，这个函数还有其他零点吗？
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课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单： (1)函数的零点定义. (2)函数零点存在定理. 2.方法归纳： (1)转化法：函数的零点转化为方程的根还可转化为函数图象与x轴的交点. (2)数形结合思想：借助图象交点确定零点及方程根的问题. 3.常见误区：零点不是点，而是数，是图象与x轴交点的横坐标.