研究生数值分析(2)向量范数与矩阵范数

AX BX
A B max
r max
r max(
r
r)
r
X 0
X
X 0
X
X 0 X
X
r
r
r
r
AX
BX
max r max r A B
X 0 X
X 0 X
r
r
r
r
成立。
（4）
ABX
BX
AB max
r max A
r
X r
X 0
X 0
rX
r
r
BX
A max r A B
X r X 0
rr
r
证毕。
常用的3种算子范数的定义与算式为：p10-11
AX
n
1―范数（列模）
A max
1
X 0
X
1 1
max 1 jn
i 1
aij
2―范数（谱模）
AX
A max 2
X 2
X 0
max ( AT A)
2
∞―范数（行模）
AX
n
A max

X 0
我们用其度量向量 X (x1, x2, x3)T 的“大小”。
实质上向量范数 X 是一个实值函数， 它满足如下3个条件： (1非负性). 对任意 X R3 ，都有 X 0
当且仅当 X 0 X 0
(2齐次性). 对任意 a R 和向量 X R3 ,
aX a X
(3三角不等式). 对任意 X ,Y R3 , 都有
2
2
2
满足定义中条件③。证毕
向量的2—范数也称为Euclid范数。
其实，向量的1—范数， 2—范数， 范数，
它们都是p—范数的特例
n
1
X ( p
xi p ) p
i1
其中，正整数 p 1 ，并且有
lim
p
X
p

max
1in
xi
容易验证 Rn 的3种范数之间有如下关系：
X X nX
X ,X ,X ， A ,A 及
1
2


1
A 2
。
1 2 0
其中 x (1, 2, 3) , A 1 2 1
0 1 0
X

max 1in
j 1
aij
其中
max ( AT
A)

max
1in
i
i 为 AT A 的特征值。
例6
设
4 A 2
3
1

，求
A ,A

1
及
A 2
。
解： A max{4 3 ,2 1} 7
A {4 2, 3 1} 6 1
又
AT
X (1)2 22 (3)2 14 2
X max{ 1 , 2 , 3} 3
(2) 矩阵的范数
定义2 设 N(A) A 是定义在 Rnn 上的实值函数， 如果它满足4个条件：
1. 非负性， 即 A 0, A 0当且仅当 A 0 2. 齐次性， 即 aA a A (aR) 3. 三角不等式，即对 A, B Rnn ,总有 A B A B 4. 矩阵乘法不等式，即对 A, B Rnn ,总有 AB A B 则称 N(A) A 为 Rnn 上矩阵 A 的范数（或模）。
X Y 2 (X Y )T (X Y ) X 2 2X TY Y 2
2
2
2
根据Cauchy-Schwarz（柯西-施瓦兹）不等式
( X TY )2 ( X T X )(Y TY )
有
X Y 2 X 2 2 X Y Y 2 ( X Y )2
2
2
22
§3 向量范数与矩阵范数 为了学习线性方程组的迭代解法并研究其收 敛性，对方程组的近似解作出误差分析，下面简 要介绍向量范数与矩阵范数（模）。向量范数和 矩阵范数是用于描述向量和矩阵大小的量。 (1) 向量的范数
对于空间直角坐标系 R3 中的任意向量
X (x1, x2 , x3 )T
其长度为
X (x12 x22 x32 )1/2
A
Baidu Nhomakorabea

4 3
2 4 1 2
3
1


20 10
10
10

AT A 的特征方程为
I AT A 20 10 0 10 10
它的根为 1 15 5 5,2 155 5
因而 A 15 5 5 5.1167 2
练习:已知矩阵A和向量X，求
2
1
2
X X nX

2

X X n X

1

下面验证第2式
设 X (x1, x2 ,, xn )T ，则
X
2
[max{
x1 ,
x2 ,,
xn }]2
n
max{ x1 2 , x2 2 ,, xn 2}
xi 2
X
2 2
i 1
于是有 X X ，又

2
X Y X Y
将向量的长度概念加以推广，便得到向量范数概念。
定义1 设 N(X ) X 是定义在 R3 上的实值函数，
如果它满足三个条件：
① 非负性，即 X 0 , X 0 当且仅当 X 0
② 齐次性，即 aX a X (aR)
③ 三角不等式，即对 X ,Y Rn,总有 X Y X Y
n
X 2 2
xi
2
n max{
x1 2 ,
x2 2 ,, xn 2} n
X
2
i 1
即有 X n X ，故有 X X n X
2


2

例5 设
X (1, 2, 3)
，求
X ,X ,X
1
2

解：由向量 X 的1，2， 范数定义
X 1 2 3 6 1
X r
X 0
r
满足矩阵范数的四个条件。
（1）当A=0时，A r 0 ；当A≠0时，必有
A 0 r
（2）对任一数 k R 有
kAX
AX
kA max
r k max r k A
r X 0 X
X 0 X
r
r
r
（3）对任意的矩阵 A, B Rnn ，式
(A B)X
AX BX
X 2
x12 x22 xn2 0
满足定义中条件①
（2）对任一 k R 有
n
n
kX 2
(kxi )2 k 2 xi2 k
i 1
i 1
满足定义中条件②
n
xi2 k X 2
i 1
由 X 的含义，可用内积表示，即 2 X XTX 2
（3）任取向量 y Rn ，则有
给定的向量范数相容。
证 首先证明相容性。
对任意矩阵 A Rnn 和任意的非零向量 Y Rn
由于
max
AX r
A
Y
1 AY
X 0 X
Y
Y
r
r
rr
r
所以有
AX
AY Y max r A Y
r
r X 0 X
rr
r
此结果显然也适用于Y=0的情形。
再证明
A
AX max r , (r 1, 2, )
在实际应用问题中，矩阵和向量常常具有一定 关系，即满足矩阵、向量乘法的相容性，且有结论
AX A X
定理 设向量 X Rn , 矩阵 A Rn，n 给定一种向量
范数
X r (r 1, 2,) ，若
AX
A max r , (r 1, 2, )
X r
X 0
r
则称为矩阵 A 的范数，称为算子范数，并且它与所
则称 N(X ) X 为 Rn 上向量 X 的范数（或模）。
最常用的有如下3种向量范数：
n
向量 X 的1—范数： X 1 xi
i 1
向量 X 的2—范数：
n
X 2 ( xi2 )1/ 2
向量 X 的 范数：
i 1
X

max
1in
xi
下面只证 X 是向量范数： 2
证明： （1）由向量的2—范数有