用叠加法求挠度和转角

当材料在线弹性范围内工作时，梁的挠度、转角均与载荷成线性关系．而且弯曲变形是很小的．因此，当梁上同时作用几种载荷时，任一载荷引起的变形，不会受到其他载荷的影响，即每种载荷对弯曲变形的影响是各自独立的。所以，几种载荷同时作用下梁的挠度和转角，等于各种载荷单独作用下挠度和转角的代数和，这就是求解弯曲变形的叠加法．当只需确定某些指定截面的挠度和转角时，应用叠加法是比较方便的．下面举例说明．

例7-3 图7-8 所示简支梁，承受均布载荷q 和集中力偶M0作用，已知M0 =ql2。试求跨度中点的挠度f c 和 A 截面的转角θA。

解：利用叠加法求解时，首先将q , M0同时作用下的简支梁( 图7 -8a ) ，分解为q 作用下的简支梁( 图7-8b) 和M0作用下的简支梁( 图7 -8c ) ，然后，由表7.1 查取结果叠加。

从表的第9 栏查得均布载荷q 作用下的中点挠度和A 端面转角分别为

由表7.1 第5 栏查得集中力偶M0作用下的中点挠度和A 端面转角分别为

叠加以上结果，求得q , M0 同时作用下的中点挠度和A 截面转角为

f c为负值，表示挠度向下．θA为负值，表示A 截面顺时针转动．

例7-4 简支梁如图7 — 10a 所示，在2a 的长度上对称地作用有均布载荷q. 试求梁中点挠度和梁端面的转角．

解：利用叠加法求解。由于简支梁上的载荷对跨度中点C 对称，故C 截面的转角应为零．因而从C 截面取出梁的一半，可将其简化为悬臂梁，如图7 — 10b 所示。梁上作用有均布载荷q 和支座B 的反力R B = qa.这样，悬臂梁上B 端面的挠度在数值上等于原梁中点C 的挠度，但符号相反，B 端面的转角即为原梁B 端面的转角．经这样处理后，应用叠加原理求解比较方便．

由表7 · 1 的第 2 栏查得，当集中力R B (=qa) 作用时( 图7 — 10c ) ，B 端面的转角和挠度分别为

由表7 · 1 的第 4 栏查得，当均布载荷q 作用时( 图7 — 10d) ，E 截面的转角和挠度分别为

由于EB 梁段上无载荷作用，所以q 引起 B 点的转角和挠度分别为

=

=

叠加上述结果，可得B 端面的转角和挠度分别为

于是，原梁( 图7 — 10a ) 中点C 的挠度f c为

例7-6 某一变截面外伸梁如图7 — 11a 所示．AB 、BC 段的抗弯刚度分别为EI1和EI2，在C 端面处受集中力P 作用，求 C 端面的挠度和转角．

解：由于外伸梁是变截面的，故不能直接应用表7 ．1 中的结果．为此，必须将外伸梁分为AB 、BC 两段来研究．首先假设梁的外伸段BC 是刚性的，研究由于简支梁AB 的变形所引起的 C 截面的挠度和转角．然后，再考虑由于外伸段BC 的变形所引起的 C 截面的挠度和转角．最后将其两部分叠加，得C 截面的实际变形．

由于假设BC 段为刚性，故可将P 力向简支梁AB 的 B 端简化，得P 和Pa ．P 力可由B 支座的反力平衡，不会引起简支梁的弯曲变形。集中力偶Pa 引起 B 截面的转角( 图7 — 11 b) 由表6 ． 1 查得

它引起C 截面的转角和挠度分别为

在考虑BC 段的变形时，可将其看作悬臂梁( 图7 — 11c ) ，由表6 · 1 查得，在P 力作用下C 截面的转角和挠角分别为

将图7 — 11b 、c 中的变形叠加后，求得C 端面实际的转角和挠度分别为

例7-7 在悬臂梁AB 上作用线性分布载荷，如图7-12 所示．试求自由端B 点的挠度．

解：本例同样可以应用叠加法求解．将图中dx 微段上载荷qdx 看作集中力，查表7 · 1 的第3 栏求得微段载荷qdx 作用下自由端B 截面的挠度为

(1)

根据题意，线性分布载荷的表达式为

(2)

按照叠加原理，自由端B 点的挠度应为df B的积分．将(2) 式代入(1) 式，积分得

f B为负号，表示方向向下．