【资料】选修4-1几何证明选讲汇编

已知:如图,DE//BC,DE分别交AB、AC于点D、E
求证A： DAEDE AB AC BC
A
D
E
DE//BC EF//AB
AD AE AB AC
AE BF AC BC
DE=BF
B
F
C
AD AE DE AB AC BC
探究： 如图,直线l1,l2被三个平行平面 ,,所截,直线l1与它们的交点分别为 A,B,C,直线l2分别为D,E,F AB与DE相等吗 ? BC EF
三 相似三角形的判定及性质
1.相似三角形的定义
对应角相等，对应边成比例的两个三 角形叫做相似三角形.相似三角形对应 边的比值叫做相似比(或相似的系数).
A
A
B
C
B
C
判定两个三角形相似的简单方法 (1)两角对应相等,两三角形相似; (2)两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似; (3)三边对应成比例,两三角形相似.
分析:运用平行线分线段成比例定理的推论
分别列出比例式求解.
A
解 ∵DE//BC
ADAE42 AB AC 6 3
D
E
∵DF//AC
AD CF AB CB
BF
C
2CF,即CF16 BF8-168
38
3
33
例3：如图,△ABC中,DE//BC,EF//CD. 求证:AD是AB和AF的比例中项.
分析: 分别在△ABC及△ADC中利
AB BC DE EF
AC DF BC EF
反比
AC DF AB DE
? ABBC AC DE EF DF
BC EF AC DF
合比
BC AC EF DF
AB DE AC DF
平行线等分线段成比例定理
三条平行线截两条直线,所得的 对应线段成比例.
推论：
平行于三角形一边的直线截其他两边(或 两边的延长线)所得的对应线段成比例.
ED=FB
作EF//DB交 CB延长线于F
E
D
A
ED EA AD CB CA AB
∠EAD=∠CAB ∠ADE=∠ABC ∠AED=∠ACB
FB
C
△ADE∽△ABC
预备定理
平行于三角形一边的直线和其他两边(或 两边的延长线)相交,所构成的三角形与原 三角形相似.
A
D
E
E
D
A
B
C
C
B
判定定理1 对于任意两个三角形,如果一个三
作DF//AC
BF=FC =DE
若
l1
//l
2
//l
3
,
AB BC
2， 3
则 DE ? EF
即：AB DE BC EF
l A B
C
l
D
l1
E
l2
F
l3
除此之外，还有其它对应线段成比例吗？
怎样由AB DE得到其它比例式？ BC EF
AB DE BC EF
反比
合比
BC EF AB DE
合比
预备定理得:
△ADE∽△ABC
A
∵∠ADE=∠B,∠B=∠B
∴∠ADE=∠B
B
C A
∵∠A=∠A, AD=AB
D
E
∴△ADE≌△ABC
∴△ABC∽△ABC
B
C
判定定理2 对于任意两个三角形,如果一个三
角形的两边和另一个三角形的两边对 应成比例,并且夹角相等,那么这两个 三角形相似.
简述:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似
用平行线分线段成比例定理的推论
A
证明 在 AB 中 , CDE,/A /B B A CC F
ADAE D
E
在 AD 中 , CEF/,A A /CD F D A AC EB
C
AB AD AD AF
∴AD2=AB•AF,即AD是AB和AF的比例中项
例4：用平行于三角形一边且和其他两 边相交的直线截三角形,所截得的三角 形的三边与原三角形的三边对应成比例.
证明: 作 DE//BC,交AC于E
AD AE' AB AC
AD AE AB AC
D
E
E
采用了“同一法”
的间接证明B
C
AE AE' AC AC
∴AE=AE
因此E与点E重合即DE与DE重合, 所以 DE//BC
当一个命题的条件和结论所指的概念唯一存在 时，若直接证明有困难，就不妨改为去证它的 逆否命题，然后根据唯一性的原理断言命题为 真，这种解题方法叫做同一法
已知:如图,在△ABC和△ABC中,∠A=∠A, A'B' A'C'
求证: △ABC∽△ABC
AB AC
A
△ADE≌△ABC
A'B' A'C' AB AC
AD AE AB AC
B C
A
DE//BC
D
E
△ABC∽△ADE B
C
引理已知如:如果图一△条AB直C中线,点截D三、角E分形别的在两A边B、(或AC两上边，且的延 长于线 三角)所形得AA的DB的第对AA三CE应边线求.段证：成D比E例//B,C那么这条直线平A行
A
如何
证明？
A
B
C B
C
在△ABC中，D、E分别是AB、AC边 上的点，且DE∥BC，则在△ABC中有：
DE//BC
AD AE DE
A
AB AC BC D
∠ADE=∠B
∠AED=∠C
B
∠A=∠A
△ADE∽△ABC
E C
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EF//DB ED//BC
FBDE为
FB EA CB CA
EA DA CA BA
∴AF=FC
推论2 经过梯形一腰的中点，且与底 边平行的直线平分另一腰。
AD
E ？F
？
B
C
符号语言：
∵在梯形ABCD中，AD∥EF∥BC，AE=EB
∴DF=FC
例1:D、E 分别是△ABC中AB边和AC
边的中点.求证:DE//BC且 DE 1 BC
2
A
D B 作DE//BC
E
E′
F
C
E与E重合
选修4-1几何证明选讲
如果一组平行线在一条直线上截 得的线段相等，那么在其他直线上截 得的线段也相等.
A
l1
B
l2
l3
C
图1
A1
l1
B1
l2
C1
l3
A B C
A1 B1 C1
图2
推论1 经过三角形一边的中点与另一 边平行的直线，必平分第三边。
A
E ？F
？
B
C
符号语言：∵△ABC中，EF∥BC，AE=EB
l l
A
l1
D
E l2
l
l
E
D l1
A
l2
B
C
l3
B
C l3
平行线分线段成比例定理与平行线 等分线段定理有何联系？
AD
B
E
当 AB 1
A
D
BC
B
E
C
F
当 AB 1 BC
C
F
结论：后者是前者的一种特殊情况！
例2：如图,△ABC中,DE//BC,DF//AC, AE=4,EC=2, BC=8.求BF和CF的长.
角形的两个角与另一个三角形的两个 角对应相等,那么这两个三角形相似.
简述:两角对应相等,两三角形相似
已知,如图,在△ABC和△ABC中,∠A=∠A, ∠B=∠B, 求证:△ABC∽△ABC
A
A
D B
E
B
C
C
证明:在△ABC的边AB(或AB的延长线)上,截
取AD=A’B’,过点D作DE//BC,交AC于点E.由