三个数的均值不等式

平均值不等式导学案2

☆学习目标： 1.理解并掌握重要的基本不等式;

2.理解从两个正数的基本不等式到三个正数基本不等式的推广;

3.初步掌握不等式证明和应用

一、课前准备（请在上课之前自主完成）

1．定理1 如果, 那么.

当且仅当时, 等号成立.

2. 定理2(基本不等式)如果, 那么.

当且仅当时, 等号成立.

利用基本不等式求最值的三个条件

推论10. 两个正数的算术平均数, 几何平均数, 平方平均数 ,调和平均数，

从小到大的排列是: ☆课前热身：

(1)某汽车运输公司,购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y（单位：10万元）与营运年数x的函数关系为则每辆客车

营运多少年，其运营的年平均利润最大（）

A．3 B．4 C．5 D．6

(2) 在算式“”中的△，〇中，分别填入两个正整数，使它们的倒数和最步，

则这两个数构成的数对（△，〇）应为 .

(3)设且，求的最大值.

二、新课导学

请你类比两个数的基本不等式得出三个数的基本不等式：

如果, 那么.当且仅当时, 等号成立.

如果,那么 .当且仅当时, 等号成立.

☻建构新知：

问题：已知, 求证：当且仅当时, 等号成立.

证明: ∵

定理3 如果, 那么, 当且仅当时, 等号成立.

语言表述：3个数的平均数不小于它们的平均数

推论对于个正数, 它们的

即当且仅当时, 等号成立.

语言表述：n个数的平均数不小于它们的平均数

☆案例学习：

例1已知, 求证：

(1); (2); (3)．

例2用一块边长为的正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖 的盒子．要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形

例3 求函数的最大值，指出下列解法的错误,并给出正确解法.

解一:. ∴．

解二:当即时, ．

正解:

例4、已知0

三、当堂检测

1、已知a 、b 、c 都是正数，求证：(a+b+c)(ab+bc+ca)≥9abc

2、已知a 、b 、c 都是正数，且abc=1.求证：a ³+b ³+c ³≥3

3、已知x>0，当x 取什么值时2

12x x 的值最小最小值是多少

四、课堂小结

2个数的均值不等式 等号成立的条件 3个数的均值不等式 等号成立的条件 n 个数的均值不等式 等号成立的条件 五课后作业 基本不等式2 姓名 日期 年 月 日

若，则的最小值是（ ）

A. B. C. D.

若a,b,c＞0且a (a+b+c)+bc=4-2,则2a+b+c的最小值为（）

A．-1 B． +1 C． 2+2 D． 2-2

若关于的不等式≤＋4的解集是M，则对任意实常数，总有（）

∈M，0∈M； B.2M，0M；∈M，0M； D.2M，0∈M

若，则的最小值为（）

A. B. C.

函数的最小值为（）

A. B. C. D.

已知的最小值是（）

A. B. C. 6 D. 7

求下列函数的最值

1、时, 求的最小值．

2、设，求的最大值．

3、若, 求的最大值．

4、若，求的最小值为.

8某单位建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过a米，房屋正面的造价为400元/m2,房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面的费用．

（1）把房屋总造价表示成的函数，并写出该函数的定义域；

（2）当侧面的长度为多少时，总造价最底最低总造价是多少

9制作一个容积为的圆柱形容器(有底有盖)，问圆柱底半径和高各取多少时，用料最省（不计加工时的损耗及接缝用料）