三个数的均值不等式
选修4-5 基本不等式(三元均值不等式)
a b c 3abc,
3 3 3
当且仅当a b c时，等号成立．
问题探讨
abc 3 怎么证明不等式 abc (a, b, c R )？ 3
证： a b c
3 3
a3 b3 c3 3abc(a, b, c R )
3 3 3 3
( a) ( b) ( c) 3 abc ，
3
3
x
a
例3. 已知a, b, c R ,求证： abc 3 ab 3( abc ) 2( ab ). 3 2
1 1. 求函数 y x (1 5 x) (0 x ) 的最大值． 5 2 4 答案:当 x 时, ymax . 15 675
2
课堂练习：
a1 a2 , an R , 则 n
an
≥ n a1a2
an .
小 结
2.基本不等式的变形： ab 2 ①若a, b R , 则ab （ ）. 2
③若a1 , a2 , , an R , 则a1a2
abc 3 ②若a, b, c R , 则abc （ ）. 3a a a 1 2 n
an （ n
）.
n
作业: P10 11-15
12 1.求函数y = 3x + 2 x > 0 的最小值. x 12 3 3 12 3 3 12 3 解 :∵ y = 3x + 2 = x + x + 2 3 x× x× 2 = 9 x 2 2 x 2 2 x 3 12 ∴当且仅当 x = 2 , 即x = 2 时,y min = 9. 2 x
三个正数的算术-几何 平均不等式
2017年4月22日星期六
均值不等式法
均值不等式法均值不等式是数学中的一种重要的不等式定理，被广泛应用于各个数学领域中。
它可以帮助我们求解各种数学问题，特别是在求最值问题时非常有用。
本文将介绍均值不等式的定义、证明及其应用，重点讨论算术均值不等式、几何均值不等式和平方均值不等式的性质和应用。
首先，我们来介绍均值不等式的定义。
均值不等式是指若a，b是非负实数且a≥b，则有关于a和b的某种函数f(a,b)成立不等式a≥f(a, b)≥b。
其中，f(a, b)是对a，b进行某种运算的函数。
在均值不等式中，我们常用到的运算有算术平均数、几何平均数和平方平均数。
对应的不等式就是算术均值不小于几何均值，几何均值不小于平方均值。
由此可以得出三个主要的均值不等式：算术均值不等式、几何均值不等式和平方均值不等式。
接下来，我们来证明这三个均值不等式。
首先是算术均值不等式。
对于任意非负实数a1，a2，...，an，我们有：(a1+a2+...+an)/n ≥ √(a1a2...an)即算术平均数不小于几何平均数。
证明如下：设a1，a2，...，an为非负实数，令A = (a1+a2+...+an)/n，G = √(a1a2...an)。
根据等差平均不等式，对于任意的非负实数ai，我们有：(A-ai) + (G/√ai) ≥ 0将上述不等式对i从1到n分别求和，我们有：nA - (a1+a2+...+an) + G(1/√a1 + 1/√a2 + ... + 1/√an)≥ 0由于A = (a1+a2+...+an)/n，所以上述不等式等价于：nA - nA + G(1/√a1 + 1/√a2 + ...+ 1/√an) ≥ 0化简得：G(1/√a1 + 1/√a2 + ... + 1/√an) ≥ 0由于√ai是非负实数，所以1/√ai也是非负实数。
所以上述不等式恒成立。
证毕。
其次是几何均值不等式。
对于任意非负实数a1，a2，...，an，我们有：√(a1a2...an) ≥ (a1+a2+...+an)/n即几何平均数不小于算术平均数。
均值不等式的证明精选多的篇
均值不等式的证明篇一:均值不等式（AM-GM不等式）是数学中常用的一种不等式关系，它说明了算术平均数和几何平均数之间的关系。
具体表达式为：对于任意非负实数集合{a1,a2,an}，有(a1+a2+.+an)/n ≥ (a1 a2 .*an)^(1/n)其中，等号成立当且仅当所有的非负数都相等。
下面，我们将给出AM-GM不等式的证明。
证明：首先，我们可以假设所有的a1,a2,an都是正实数。
因为AM-GM不等式对于非负实数也是成立的，所以我们可以通过限制条件来放缩实数集合。
考虑对数变换。
定义函数f(x) = ln(x)，其中x>0。
因为ln(x)在整个定义域都是凸函数，所以根据对数函数的性质，我们有：f((a1+a2+.+an)/n) ≥ (1/n)(f(a1)+f(a2)+.+f(an))即，ln((a1+a2+.+an)/n) ≥ (1/n)(ln(a1)+ln(a2)+.+ln(an))这是因为凸函数的定义是在一条直线上任取两个点，它总是在两点的连线上方。
继续推导，根据ln的性质，我们有：ln(a1 a2 .*an) = ln(a1) + ln(a2) + . + ln(an)将上述不等式代入这个等式中，得到ln((a1+a2+.+an)/n) ≥ ln(a1 a2 .*an)^(1/n)移项化简得到(a1+a2+.+an)/n ≥ (a1 a2 .*an)^(1/n)即AM-GM不等式得证。
最后，我们来说明等号成立的条件。
根据对数函数的性质，等号成立当且仅当所有的非负数的对数都相等，即a1 = a2 = . = an。
至此，我们完成了AM-GM不等式的证明。
总结： AM-GM不等式是数学中常用的一种不等式关系。
它表明算术平均数大于等于几何平均数，并且等号成立的条件是所有的非负数相等。
该不等式的证明可以通过对数变换和凸函数的性质进行推导得到。
篇二:在数学中，均值不等式是一类用于比较多个数的重要不等式。
均值不等式知识点
均值不等式知识点均值不等式是高等数学中的一种重要的数学不等式，其在解决各类数学问题中起到了重要的作用。
本文将通过逐步思考的方式，详细介绍均值不等式的相关知识点。
1.均值不等式的基本概念均值不等式是指对于一组实数，其算术平均数大于等于几何平均数，即若有n个正实数x1、x2、……、xn，则它们的算术平均数A≥它们的几何平均数G。
这一不等式可表示为：（x1 + x2 + …… + xn）/ n ≥ (x1 * x2 * …… * xn) ^ (1/n)2.均值不等式的证明为了证明均值不等式，可以使用数学归纳法或其他数学方法。
下面以数学归纳法为例，来证明均值不等式。
首先，当n=2时，我们有：（x1 + x2）/ 2 ≥ √(x1 * x2) 化简可得：x1 + x2 ≥2√(x1 * x2) 这是一种常见的数学不等式，称为算术平均数和几何平均数之间的不等式。
接下来，假设当n=k时，均值不等式成立。
即对于任意的k个正实数x1、x2、……、xk，有：（x1 + x2 + …… + xk）/ k ≥ (x1 * x2 * …… * xk) ^ (1/k)然后，我们来证明当n=k+1时，均值不等式也成立。
即对于任意的k+1个正实数x1、x2、……、xk+1，有：（x1 + x2 + …… + xk + xk+1）/ (k+1) ≥ (x1 * x2* …… * xk * xk+1) ^ (1/(k+1))我们可以将左边的式子进行拆分，得到：[(x1 + x2 + …… + xk) + xk+1] / (k+1)≥ [(x1 * x2 * …… * xk) * xk+1] ^ (1/(k+1))根据不等式的性质，我们有：(x1 + x2 + …… + xk) / k ≥ (x1 * x2 * …… * xk) ^(1/k) 即：[(x1 + x2 + …… + xk) / k] * k ≥ [(x1 * x2 * …… * xk) ^ (1/k)] * k将上式代入前面的不等式，得到：[(x1 + x2 + …… + xk) + xk+1] / (k+1) ≥ [(x1 *x2 * …… * xk) * xk+1] ^ (1/(k+1))这样，我们证明了当n=k+1时，均值不等式也成立。
均值不等式的公式
均值不等式的公式1. 算术平均数(Arithmetic Mean):对于任意非负实数a₁,a₂,...,aₙ，它们的算术平均数定义为：A.M.(a₁,a₂,...,aₙ)=(a₁+a₂+...+aₙ)/n2. 几何平均数(Geometric Mean):对于任意正实数a₁,a₂,...,aₙ，它们的几何平均数定义为：G.M.(a₁,a₂,...,aₙ)=((a₁^t)*(a₂^t)*...*(aₙ^t))^(1/n)其中t为任意实数，通常取t=13.均值不等式(均值-均值不等式):对于任意非负实数a₁,a₂,...,aₙ和b₁,b₂,...,bₙ，其中t₁,t₂,...,tₙ为任意实数，且满足1/t₁+1/t₂+...+1/tₙ=1，则有：((a₁^t₁)*(a₂^t₂)*...*(aₙ^tₙ))^(1/(t₁+t₂+...+tₙ))≤((b₁^t₁)*(b₂^t₂)*...*(bₙ^tₙ))^(1/(t₁+t₂+...+tₙ))特别地，当t₁=t₂=...=tₙ=1时，即为均值不等式：((a₁+a₂+...+aₙ)/n)≤((b₁+b₂+...+bₙ)/n)4.广义均值不等式(均值-幂不等式):对于任意非负实数a₁,a₂,...,aₙ和b₁,b₂,...,bₙ，其中p,q为实数，且p≠0，满足1/p+1/q=1，则有：((，a₁，^p+，a₂，^p+...+，aₙ，^p)/n)^(1/p)≤((，b₁，^q+，b₂，^q+...+，bₙ，^q)/n)^(1/q)5. 切比雪夫不等式(Chebyshev's Inequality):对于任意实数a₁,a₂,...,aₙ和b₁,b₂,...,bₙ，其中a₁≤a₂≤...≤aₙ，b₁≤b₂≤...≤bₙ，则有：(a₁+a₂+...+aₙ)/n≤(a₁+b₂+...+bₙ)/n≤(b₁+b₂+...+bₙ)/n特别地，当a₁=b₁,a₂=b₂,...,aₙ=bₙ时，即为等号情况，表明最小值和最大值可以取到。
均值不等式公式四个
均值不等式公式如下：
不等式在初中、高中甚至竞赛中都是比较相对综合、有难度的一块内容，经常会与方程、函数等其它知识点一起考察，一般的题型有：解不等式、证明不等式、求最大最小值。
公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。
基本性质
①如果x>y，那么y<x；如果y<x，那么x>y；（对称性）
②如果x>y，y>z；那么x>z；（传递性）
③如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z；（加法原则，或叫同向不等式可加性）
④如果x>y，z>0，那么xz>yz；如果x>y，z<0，那么xz<yz；（乘法原则）
⑤如果x>y，m>n，那么x+m>y+n；(充分不必要条件)。
三个正数的均值不等式
利用垂直判定定理来判断三角形的形状，及时掌握直线垂直判断的运用
练习：
A、0B、1C、D、
A、4B、
C、6D、非上述答案
巩固本节课所学过的知识。
学生独立完成，教师检查反馈。
小结：
这节课我们讨论了利用平均值定理求某些函数的最值问题。现在，我们又多了一种求正变量在定积或定和条件下的函数最值的方法。这是平均值定理的一个重要应用也是本章的重点内容，应用定理时需注意“一正二定三相等”这三个条件缺一不可，不可直接利用定理时，要善于转化，这里关键是掌握好转化的条件，通过运用有关变形的具体方法，以达到化归的目的。
。
利用练习强化对判断定理的认识。
学生思考，教师引导。
例题：
例１求函数的最小值．
下面解法是否正确？为什么？
解法１：由知，则
当且仅当
解法2：由知，则
引导学生利用平行判定定理来判断四边形的形状，及时掌握直线平行判断的运用。
（正解）解法3：由知，则
小结：以上是解题过程中最容易出现的几种错误，结合这些错误，在使用均值不等式求最值时必须强调三个条件：
当且仅当 时，等号成立。
这个等式表述为：三个正数的算术—几何平均不等式
注：
１、若三个正数的积是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的和有最小值。
2、若三个正数的和是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的积有最大值。
事实上，基本不等式可以推广到一般的情形：
即：n个正数的算术—几何平均不等式：
例2如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转成一个无盖方底的盒子,问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？
均值不等式
均值不等式及其应用一、 均值不等式的含义及成立的条件（一） 原型： ;2:22ab b a R b a ≥+∈，都有、对于任意的实数 .3,333abc c b a R c b a ≥++∈+都有：、、对于任意的正数（二） 均值不等式：任意n 个正数的算术平均值不小于这n 个正数的几何平均值两个数的均值不等式：若,a b R +∈，则2a b+a b =时成立）三个数的均值不等式：若,,a b c R +∈，则a b c ++≥a b c ==时成立） （等号仅当a b c ===d 时成立） （三）均值不等式常见的变形时取得最小值）为常数，则若时取得最小值）（注意当且仅当的最小值为，则常数若、、、对于任意的正数b a ((b a .22,122=≤=+=+≥+=∈+mm ab m b a m b a m b a m ab R c b a注意当且仅当若（注意当且仅当则常数、若c b a (c b a ,2===++==+=m c b a b a m abc3、几个常用不等式：① ab 2 ⎪⎝⎭233b c ++⎫⎪⎝⎭；③如果,a b R ∈≥2a b +2a b+（可以推广到n 的情形）【均值不等式的几何证明------用几何意义加深对不等式的理解】 （1）的几何意义ab b a 222≥+：如右图，不妨设0>>a b ，两个正方体的体积 之和为22b a +，两个矩形的面积之和为：ab 2 显然，这两部分面积之差ab b a 2-22+为图中 阴影部分面积..4,4abcd d c b a R d c b a ≥+++∈+都有：、、、对于任意 b(2)的几何意义ab ba ≥+2： 【其一】分析：设ab x =，其意义是什么？联想到圆幂定理：ab x =2如右图：设a AB =，b AC =，则a b BC -=，以BC 为直径作圆，切线AD 与圆相切于D 点，则有：AD=ab ，AO=2ba +（为什么？）. 显然，AD AO ≥ 【其二】原式即的几何意义）（ab b a ≥+22： 如右图，设a AC =，b AB =，中点为BC D ，则，2b a AD +=，正方形ADEF 的面积=22）（b a + 矩形ACHG 的面积= ab ，这两面积的差= MHNE S 矩形，（为什么？）即22）（b a +=ab +S 矩形（注意：CD EN S S 矩形=（3）如右图：设a AC =，则，2ba AD +=， 则222b a +而b a ）（22+这两个面积的差等于MNG S ∆即222b a +=22）（b a ++MNG S ∆（为什么？）ABCODFA BC D二、均值不等式的应用【适应性预备练习】1、课本P11练习1、2、32、课本P11习题1、2、3、4、6;2(4);(3);411)2( ;2211 ,322ab ba abab abb a )ba b)((a abb a R b a >+>+>++>++∈+）（）成立的是（则下列不等式中一定不、、设 zxyz xy z y x R z y x cba b a c a c b R c b a ++≥++∈≥+++++∈+222,2614求证：、、）已知：（，证明：、、）已知：、（ 【方法三种：均值不等式、构造函数的方法、配方法】（一）应用于证明不等式--------值不等式证之.1、 证明：log 5lg 42<(2)12222222444c b b a b a c b a R c b a ++++≥++∈）（、、、已知;(2) 4;))((13222c b a ac c b b a c b a c b a R a 、、b、c ++≥++≥++++∈+），求证：（、设9)111)(( (3)≥++++cb ac b a .8)1-1)(1-1)(1-1231,14≥≤++=++∈+cb ac b a c b a R a 、、b、）（；（）（求证：，若、设 9111 (3)≥++c b a ； ;31)4(222≥++c b a )(2,,5222zx yz xy z cb a y b ac x a c b R c b a R z y x ++≥+++++∈∈+求证：、、、、、若4171(4).225)b 1(b )1(3)( ;425)b 1)(b 1)(2( ;811111,0,0622≥+≥+++≥++≥++=+>>ab ab a a a a ab b a b a b a ）（，求证：、设【第（1）题方法：具有代表性，五种方法。
均值不等式6个基本公式推导
均值不等式6个基本公式推导
嘿，咱今天就来聊聊均值不等式的 6 个基本公式推导！
先来说说a²+b²≥2ab 这个公式。
比如说，你想想看哈，有两个人，一个人的能力值是 a，另一个人的能力值是 b，那么他们各自能力的平方和肯定不会小于他们能力乘积的 2 倍呀！就像你跑步的速度是 a，跳远距离是 b，那你速度的平方加跳远距离的平方肯定比你速度和跳远距离乘积的 2 倍要大呀！
还有(a+b)²≥4ab，这就好像你有一堆苹果和一堆橘子，苹果的数量是a，橘子的数量是 b，那么这两堆水果混合后的总数的平方会比它们各自数
量乘积的 4 倍还多呀！就像王大明有 3 个苹果，李小红有 2 个橘子，那他
们拥有水果总数的平方肯定比3×2 的 4 倍还大呢！
再说说a+b≥2√(ab)，这就好比说你有两个宝藏箱子，一个里面的宝贝价值是 a，另一个里面的宝贝价值是 b，那么这两个箱子宝贝价值的和肯定不会小于 2 倍的它们价值乘积的平方根呀！就好像小张有一个箱子里有 5
块宝石，另一个箱子里有 3 块宝石，那他两个箱子宝石价值的和肯定比 2
倍的它们乘积的平方根大呀！
然后(a²+b²)/2≥[(a+b)/2]²，这个呀就如同你有两个成绩，一个是 a，一个是 b，那这两个成绩平方和的一半肯定比它们平均成绩平方要大呀！就像是你语文考了 80 分，数学考了 70 分，那这两科成绩平方和的一半肯定比两科平均成绩的平方大嘛！
还有a³+b³+c³≥3abc，这就像你有三块宝石，价值分别是 a，b，c，那么它们价值立方的和肯定不会小于它们乘积的 3 倍呀！比如说小红有三块宝石，价值分别是 2，3，。
高考数学中的均值不等式及其他相关不等式
高考数学中的均值不等式及其他相关不等式在高考数学中，不等式是一个重要的考点，在不等式的部分中，最为经典和基础的当属均值不等式和柯西-施瓦茨不等式。
本文将分别探讨这两种不等式及其相关内容。
一、均值不等式均值不等式是指若a1,a2,\cdots,an>0,则有：\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}\geq\sqrt[n]{a_{1}\cdota_{2}\cdots a_{n}}其中，\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}表示这n个数的平均数。
均值不等式是一个非常基础的不等式，可以在不等式部分中起到不小的作用。
在解不等式的过程中，有时候我们会需要将不等式中多个数字进行化简，而使用均值不等式则可以使这个化简更加简便和顺利。
例如，如果我们有一个不等式：\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\leq\frac{3}{2}其中，x,y,z>0。
我们希望将这个不等式进行化简，于是我们可以使用均值不等式将分母中的三个数字变为它们的平均数，即：\frac{1}{1+\frac{x+y+z}{3}}+\frac{1}{1+\frac{x+y+z}{3}}+\frac {1}{1+\frac{x+y+z}{3}}≤\frac{3}{1+\sqrt[3]{\frac{(x+y+z)^2}{9}}}然后我们再把三个分数加起来，就得到了结果。
值得注意的是，在运用均值不等式的时候，我们不要把数字想的太复杂，同时也不要给均值不等式赋予过高的权重，只要在需要化简的时候顺手使用即可。
二、柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式可以说是均值不等式的进一步加强和拓展。
柯西-施瓦茨不等式是指，若a1,a2,\cdots,an和b1,b2,\cdots,bn是任意实数，则有：(a_{1}^2+a_{2}^2+\cdots+a_{n}^2)(b_{1}^2+b_{2}^2+\cdots+b_ {n}^2)\geq(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots+a_{n}b_{n})^2我们将这个不等式分解开，可以得到：(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots+a_{n}b_{n})^2\leq(a_{1}^2+a_ {2}^2+\cdots+a_{n}^2)(b_{1}^2+b_{2}^2+\cdots+b_{n}^2)这个不等式非常有用，我们可以用这个不等式解决很多问题。
高中数学 均值不等式
高中数学均值不等式
在高中数学中，对均值不等式是非常重要的一个概念。
均值不等式可以用来分析各种数据的分布特征，包括平均、中位数和众数等。
它也可以被用来解决实际问题，比如优化经济问题，分析社会结构等。
均值不等式有两种形式，即加法型和乘法型。
加法型均值不等式是指一组若干数据（用x1,x2,…,xn表示）的和要大于或等于其各部分的算术平均数的平方的和的的一半，即：
∑(x)[(x1+x2+…+xn)^2/2n]
乘法型均值不等式是指一组若干数据（用x1,x2,…,xn表示）的乘积要大于或等于其各部分的算术平均数的乘积的的一半，即：∏(x)[(x1x2…xn)/2n]^n
均值不等式的应用非常广泛，它同时可以用于分析平均数、中位数和众数这三种不同的分布形式，可以准确地分析出数据集中最大值、最小值、众数和离散点，从而帮助我们有效地分析数据特征。
除此之外，均值不等式还可以用于解决实际问题，比如优化经济问题，分析社会结构等。
例如，如果我们想优化收入不均的问题，就可以通过分析多个社区的收入占比，通过均值不等式，来优化社会经济的不均状态。
均值不等式的本质是对多个变量间的最优平衡性进行比较，而无论是通过加法型均值不等式还是乘法型均值不等式，都可以有效
地分析出数据集中最细微的变化情况，从而得出最优解。
因此，均值不等式不仅是高中数学课程中的重要内容，而且在实际应用中也是十分有用的概念。
了解均值不等式的原理和应用，可以帮助我们分析和解决实际问题，解决社会问题。
总之，均值不等式是高中数学中一个重要的概念，它不仅在数据分析和解决实际问题中具有重要的意义，而且同时也可以帮助我们分析社会结构，优化社会经济状况，更好地支持社会发展。
高中数学 均值不等式
高中数学均值不等式均值不等式是高中数学中一个重要的概念。
它是数学中一个重要的公式，它可以帮助我们了解和解决许多数学问题。
均值不等式可以用来比较和比较给定的数据，因此它可以帮助我们更好地理解和掌握更多的知识。
它可以用来测量数据之间的差异，以及不同数据集合之间的差异。
通过应用均值不等式，我们可以更准确地比较和分析数据，从而得出更好的结论。
均值不等式的基本原理是根据一组数据的总和和个数的相对比例关系来确定的。
均值不等式的基本形式是：$$frac{数据总和}{数据个数} =均数$$ 中，平均数是给定的数据的总和除以其数量得到的一个量，它表示数据集中每个数据值的平均值。
均值不等式可以用来求解许多数学问题，例如：如果一位学生在5次考试中的平均分为80分，则我们可以用均值不等式来求出其5次考试的总分。
假设这学生在第一次考试中获得了90分，在第二次考试中获得了85分，在第三次考试中获得了75分，在第四次考试中获得了60分，在第五次考试中获得了95分。
因此，我们可以根据均值不等式来求出这位学生在5次考试中的总分：$$frac{90+85+75+60+95}{5}=80$$从上面的例子中可以看出，均值不等式可以用来计算数据集中各项数据的总和和平均值，从而帮助我们更好地理解和分析数据，从而得出更准确的结论。
均值不等式还可以用来计算数学中不等式的解，只要认真推敲这一公式，就可以很容易地解决许多不等式的求解问题。
例如，假设有一个不等式，其中$x$的取值范围是从$3$到$9$，对于上述给定的取值范围，我们可以用均值不等式来求解：$$frac{3+4+5+6+7+8+9}{7}=x$$很容易就可以得到结果$x=6$。
由此可见，均值不等式在高中数学中具有重要意义。
它不仅可以用来比较和比较给定数据，还可以用来计算数学中不等式的解，从而帮助我们更好地理解和掌握更多的知识。
只要认真推敲均值不等式，就可以解决许多数学问题，从而有效地提高学习效率。
均值不等式链公式四个
以下是四个常见的均值不等式链公式：
1. 算术均值-几何均值不等式（AM-GM不等式）：
对于非负实数集合中的任意一组数，其算术均值（所有数之和除以个数）不小于其几何均值（所有数的乘积开n 次方，n为数的个数）。
例如：对于非负实数a和b，有(a + b) / 2 ≥√(ab)。
2. 算术均值-平方均值不等式（AM-QM不等式）：
对于非负实数集合中的任意一组数，其算术均值不小于其平方均值（所有数的平方和除以个数再开根号）。
例如：对于非负实数a和b，有(a + b) / 2 ≥√[(a^2 + b^2) / 2]。
3. 平方均值-几何均值不等式（QM-GM不等式）：
对于非负实数集合中的任意一组数，其平方均值不小于其几何均值。
例如：对于非负实数a和b，有√[(a^2 + b^2) / 2] ≥√(ab)。
4. 算术均值-谐均值不等式（AM-HM不等式）：
对于正实数集合中的任意一组数，其算术均值不小于其谐均值（倒数的算术均值的倒数）。
例如：对于正实数a和b，有(a + b) / 2 ≥2 / (1/a + 1/b)。
这些均值不等式链公式在数学推导和证明中经常被使用，并且在解决各种问题时具有广泛的应用。
高中数学均值不等式公式
高中数学均值不等式公式
高中数学中，均值不等式公式是一种常用的工具，用于比较一组数的大小关系。
在统计学和概率论中，均值不等式被广泛应用来证明和推导各种定理和公式。
下面将介绍两个常见的均值不等式公式：算术平均数和几何平均数。
1. 算术平均数（Arithmetic Mean）：
算术平均数是一组数相加，然后除以这组数的个数所得到的值。
假设我们有
n 个数：a₁, a₂, ..., aₙ，则算术平均数的公式为：
平均数 = (a₁ + a₂ + ... + aₙ) / n。
算术平均数常用于表示一组数的集中趋势，常见于统计学和概率论的应用中。
2. 几何平均数（Geometric Mean）：
几何平均数是一组数的乘积开 n 次方根。
假设我们有 n 个正数：a₁, a₂, ...,
aₙ，则几何平均数的公式为：
平均数= √(a₁ × a₂ × ... × aₙ)。
几何平均数常用于表示一组数的平均值，尤其在涉及倍率和比率的情况下特
别有用。
这两个均值不等式公式在数学中有广泛的应用，可以用来推导其他重要的不等式，如均值不等式的推广形式如夹逼定理、柯西不等式和勒贝格不等式，以及其他数学领域的定理和方法。
要使用这些公式，我们需要根据具体问题的要求选择适当的平均数，并将其应用到相应的计算中。
总结来说，高中数学中的均值不等式公式包括算术平均数和几何平均数。
这些
公式在统计学和概率论中被广泛应用，被用来描述和比较一组数的大小关系。
了解这些公式的应用方法和特点对于解决各种数学问题是至关重要的。
均值不等式及其应用
均值不等式及其应用均值不等式是初中数学中一种很重要的概念，被广泛应用在各个领域中，特别是在概率论、数论、统计学和实际问题中，都有着广泛的应用。
在本文中，我们将会介绍均值不等式的概念以及其在实际问题中的应用。
一、均值不等式的概念均值不等式是指对于一组非负实数，它们的算数平均数总是大于等于它们的几何平均数。
它的数学表达式为：若a1,a2,…,an≥0，则有:(a1+a2+…+an)/n≥(a1 * a2 * … * an)^(1/n)其中，a1,a2,…,an均为非负实数，/代表除法，*代表乘法，n代表a1,a2,…,an的个数。
这个不等式有时候也被称为算术平均值和几何平均值的不等关系。
二、均值不等式的应用1.求最大值和最小值在某些问题中，通过均值不等式，可以得到最大值或最小值。
例如，求函数f(x)=1/x在[1,2]上的最大值。
首先，我们可以对f(x)求导得到f’(x)=-1/x^2，然后将其置于均值不等式中，得到：1/2=(1+1/4)/2≥(1/x+1/y)/2化简后得到：xy≥4，因此，f(x)=1/x的最大值为f(2)=1/2。
2.证明不等式均值不等式可以用来证明某些不等式，特别是在不等式的证明中，一般都采用归纳法、绝对值法、平方和法、插叙法、套路变形法等方法来完成。
例如，我们来证明对于任意的正整数n，都有1/2+1/3+1/4+…+1/(n+1)≥ln(n+2)-1。
证明：首先，将1/2+1/3+1/4+…+1/n-1/n+1写成一个和式，得到：1/2+1/3+1/4+…+1/n-1/n+1＝1/2+（1/3-1/2）+（1/4-1/3）+…+（1/n-1/n-1）+1/n+1＝（1/2-1/3）+（1/3-1/4）+…+（1/n-1/n+1）+1/n+1＝1/2-1/(n+1)接着，将该式和ln(n+2)-ln2相加，得到：1/2+1/3+1/4+…+1/n+1/(n+1)+ln(n+2)-ln2＝1/2-1/(n+1)+ln(n+2)把该式与等式(1)做比较，我们发现不等式成立。
均值不等式公式四个及证明
均值不等式公式四个及证明1.算术均值-几何均值不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数 a1, a2, ..., an，有以下不等式成立：(a1+a2+...+an)/n ≥ √(a1*a2*...*an)证明：当n=2时，不等式成立。
因为(a1+a2)/2≥√(a1*a2)，即a1+a2≥2√(a1*a2)。
假设当 n=k 时，不等式成立，即(a1+a2+...+ak)/k ≥√(a1*a2*...*ak)。
现在考虑 n=k+1 的情况，即要证明(a1+a2+...+ak+ak+1)/(k+1) ≥ √(a1*a2*...*ak*ak+1)。
根据已知条件，我们有：(a1+a2+...+ak+ak+1)/(k+1) = [(a1+a2+...+ak)/k]*(k/(k+1)) + ak+1/(k+1)由归纳假设，(a1+a2+...+ak)/k ≥ √(a1*a2*...*ak)。
因此，上式可以表示为：(a1+a2+...+ak+ak+1)/(k+1) ≥ (√(a1*a2*...*ak))*(k/(k+1)) + ak+1/(k+1)根据加权平均不等式，我们有：(√(a1*a2*...*ak))*(k/(k+1)) + ak+1/(k+1) ≥√(a1*a2*...*ak*ak+1)因此，不等式成立。
2. 广义均值不等式（Cauchy不等式）：对于非负实数 a1, a2, ..., an 和 b1, b2, ..., bn，有以下不等式成立：(a1^p+a2^p+...+an^p)^(1/p) * (b1^q+b2^q+...+bn^q)^(1/q) ≥ a1*b1+a2*b2+...+an*bn其中，p和q是正实数，满足1/p+1/q=1证明：当n=2时，不等式成立。
因为(a1^p+a2^p)^(1/p)*(b1^q+b2^q)^(1/q)≥a1*b1+a2*b2假设当 n=k 时，不等式成立，即 (a1^p+a2^p+...+ak^p)^(1/p) * (b1^q+b2^q+...+bk^q)^(1/q) ≥ a1*b1+a2*b2+...+ak*bk。
三元均值不等式的证明方法
三元均值不等式的证明方法方法一：基于平方差的证明法我们考虑三个非负实数a、b和c，取它们的平方差，即(a-b)²，(b-c)²和(c-a)²。
我们可以将每一项展开为：(a-b)² = a²-2ab+b²(b-c)² = b²-2bc+c²(c-a)² = c²-2ca+a²对于这三个平方差，我们可以将它们分别相加，得到：(a-b)² + (b-c)² + (c-a)² = a²-2ab+b² + b²-2bc+c² + c²-2ca+a²= 2(a²+b²+c²) - 2(ab+bc+ca)通过观察，我们可以发现，右侧等式中的每一项都是非负的。
所以我们有：(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²≥0将其展开得到：2(a²+b²+c²) - 2(ab+bc+ca) ≥ 0移项得到：(a²+b²+c²) ≥ (ab+bc+ca)即：(a²+b²+c²)/3 ≥ (ab+bc+ca)/3由于左侧是三个数的算术平均值，右侧是它们的等权重平均值，所以这个不等式成立。
方法二：基于函数的证明法我们考虑一个关于三个非负实数a、b和c的函数f(x)=x²。
这个函数在整个实数轴上是单调递增的。
由于a、b和c都是非负实数，所以我们有a²≥b²≥c²。
根据单调性，我们有f(a)≥f(b)≥f(c)。
考虑函数的平均值不等式：[f(a)+f(b)+f(c)]/3≥[(a+b+c)/3]²根据函数的定义，我们有：[a²+b²+c²]/3≥[(a+b+c)/3]²即：(a²+b²+c²)/3≥(a+b+c)²/9展开得到：9(a²+b²+c²)≥(a+b+c)²展开右侧得到：9(a²+b²+c²) ≥ a²+b²+c² + 2(ab+bc+ca)化简得到：8(a²+b²+c²) ≥ 2(ab+bc+ca)再化简得到：4(a²+b²+c²) ≥ ab+bc+ca即：(a²+b²+c²)/3 ≥ (ab+bc+ca)/3从而证明了三元均值不等式的成立。
三元均值不等式公式四个
三元均值不等式公式四个
三元均值不等式是指对于三个非负实数a、b、c，有以下四种均值不等式：
1.算术平均数大于等于几何平均数：
(a+b+c)/3≥(abc)^(1/3)
解释：算术平均数是三个数的和除以3，几何平均数是三个数的乘积的1/3次方根。
这个不等式表明，算术平均数大于等于几何平均数。
2.几何平均数大于等于调和平均数：
(abc)^(1/3)≥3/(1/a+1/b+1/c)
解释：调和平均数是三个数的倒数的平均数，这个不等式表明，几何平均数大于等于调和平均数。
3.平方平均数大于等于算数平均数：
[(a^2+b^2+c^2)/3]^(1/2)≥(a+b+c)/3
解释：平方平均数是三个数的平方和的平均数的1/2次方根，这个不等式表明，平方平均数大于等于算数平均数。
4.立方平均数大于等于平方平均数：
[(a^3+b^3+c^3)/3]^(1/3)≥[(a^2+b^2+c^2)/3]^(1/2)
解释：立方平均数是三个数的立方和的平均数的1/3次方根，这个不等式表明，立方平均数大于等于平方平均数。
这些不等式在数学证明和应用中都有广泛的应用，比如在概率论、统计学和自然科学中都有应用。
均值不等式公式完全总结归纳
均值不等式公式完全总结归纳1.算术平均数不等式：对于任意非负实数 a1, a2, ..., an，有以下不等式成立：(1/n) * (a1 + a2 + ... + an) >= [(a1^n + a2^n + ... + an^n) / n]^(1/n)等号成立的条件是 a1 = a2 = ... = an。
2.几何平均数不等式：对于任意正实数 a1, a2, ..., an，有以下不等式成立：(1/n) * (a1 + a2 + ... + an) >= (a1 * a2 * ... * an)^(1/n)等号成立的条件是 a1 = a2 = ... = an。
3.加权算术平均数不等式：对于任意非负实数 a1, a2, ..., an 和正实数 w1, w2, ..., wn （满足 w1 + w2 + ... + wn = 1），有以下不等式成立：w1 * a1 + w2 * a2 + ... + wn * an >= (a1^w1 * a2^w2 * ... * an^wn)等号成立的条件是 a1 = a2 = ... = an。
4.加权几何平均数不等式：对于任意正实数 a1, a2, ..., an 和正实数 w1, w2, ..., wn（满足 w1 + w2 + ... + wn = 1），有以下不等式成立：w1 * a1 + w2 * a2 + ... + wn * an >= (a1^w1 * a2^w2 * ... * an^wn)等号成立的条件是 a1 = a2 = ... = an。
5.平方平均数不等式：对于任意非负实数 a1, a2, ..., an，有以下不等式成立：(n * (a1^2 + a2^2 + ... + an^2))^(1/2) >= (a1 + a2 + ... + an) / n等号成立的条件是 a1 = a2 = ... = an。
三次均值不等式证明
三次均值不等式证明三次均值不等式证明是一种数学证明方法，它用来证明一个特定的关系或函数的最小值。
该证明以三次均值作为其中心思想，将这一表达式的最小值的证明分解为三个部分。
首先，我们介绍三次均值不等式的定义：对于任意的整数n>=2，任意的整数a1，a2，…，an，以及任意的正数c1，c2，…，cn，当存在一个c使得c1 + c2 + … + cn = c时，有：c(a1 + a2 + … + an) >= (c1a1 + c2a2 + … + cnan)简单来说，就是如果c1+c2+…+cn=c，则有：c*(a1+a2+…+an) >= (c1*a1+c2*a2+…+cn*an)。
也就是说，c1*a1+c2*a2+…+cn*an 的最小值是c*(a1+a2+…+an)。
其次，我们来看看如何用三次均值不等式证明函数f(x)的最小值。
假设f(x)是一个定义在区间[a,b]上的函数，要求证明在[a,b]内，f(x)的最小值是M。
首先，我们令f(x)=c1*a1+c2*a2+...+cn*an，其中c1,c2,...,cn是常数，a1,a2,...,an是函数f(x)在区间[a,b]上的不同值。
根据三次均值不等式，我们有：M <= c1*a1+c2*a2+...+cn*an （1）然后，我们考虑将函数f(x)在区间[a,b]上的不同值用一些中间值代替，比如t0，t1，t2，…，tn-1，tn，令：f(x) = t0 + t1 + t2 + … + tn-1 + tn令c1=c2=…=cn=1，则有：M <= t0 + t1 + t2 + … + tn-1 + tn （2）最后，我们用三次均值不等式对（2）进行处理，令：t0 = (t1 + t2 + … + tn-1 + tn)/n由此，我们有：M <= (t1 + t2 + … + tn-1 + tn)/n + t1 + t2+ … + tn-1 + tn根据三次均值不等式，我们有：M <= [(t1 + t2 + … + tn-1 + tn)/n] * n即：M <= t1 + t2 + … + tn-1 + tn此时，我们已经证明了函数f(x)在区间[a,b]上的最小值是M。
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2、设 ,求 的最大值.
3、若 ,求 的最大值．
4、若 ，求 的最小值为.
8某单位建造一间地面面积为１２ｍ２的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面
的长度x不得超过a米，房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/ｍ2，屋顶
和地面的造价费用合计为５800元，如果墙高为3m,且不计房屋背面的费用．
三个数的均值不等式
———————————————————————————————— 作者:
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ﻩ
平均值不等式导学案２
☆学习目标： 1.理解并掌握重要的基本不等式;
2.理解从两个正数的基本不等式到三个正数基本不等式的推广；
3．初步掌握不等式证明和应用
☆案例学习:
例１已知 ,求证：
(1) ; (2） ; (3) .
例2用一块边长为 的正方形白铁皮,在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖
的盒子．要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形?
例3求函数 的最大值,指出下列解法的错误，并给出正确解法．
解一： .∴ .
解二： 当 即 时， ．
正解:
例4、已知0＜ｘ<4.５,当x取何值时,ｘ²(9-2x)的值最大?最大值是多少?
三、当堂检测
1、已知a、b、c都是正数，求证：(a+b+c)（ａb＋bc+ｃa)≥9aｂc
2、已知a、b、c都是正数,且ａbｃ=1.求证:ａ³+b³+c³≥３
３、已知x>0,当x取什么值时? 的值最小？最小值是多少?
四、课堂小结
若关于 的不等式 ≤ ＋4的解集是Ｍ,则对任意实常数 ,总有()
A.2∈M,０∈M；B.2 M，0 M；Ｃ．2∈M，0 M；Ｄ.2 M,０∈M
若 ,则 的最小值为(）
A. Ｂ. C． D.１
函数 的最小值为（）
Ａ. Ｂ. C． D.
已知 的最小值是 （ ）
A． Ｂ. C． 6 Ｄ. 7
求下列函数的最值
一、课前准备(请在上课之前自主完成)
１.定理１如果 ,那么 .
当且仅当 时， 等号成立．
2．定理２（基本不等式)如果 ,那么.
当且仅当时，等号成立.
利用基本不等式求最值的三个条件
推论10.两个正数的算术平均数,几何平均数,平方平均数,调和平均数,
从小到大的排列是:
☆课前热身:
(1)某汽车运输公司,购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利
(１）把房屋总造价 表示成 的函数,并写出该函数的定义域；
（２）当侧面的长度为多少时,总造价最底？最低总造价是多少？
９制作一个容积为 的圆柱形容器(有底有盖），问圆柱底半径和高各取多少时,用料最
省?(不计加工时的损耗及接缝用料)
如果 ,那么 .当且仅当 时，等号成立.
如果 ,那么.当且仅当时,等号成立．
证明:∵
定理3如果 ,那么 ，当且仅当 时,等号成立.
语言表述：3个数的平均数不小于它们的平均数
推论对于 个正数 ,它们的
即当且仅当 时,等号成立.
语言表述:n个数的平均数不小于它们的平均数
润ｙ(单位:１0万元)与营运年数x的函数关系为 则每辆客车
营运多少年,其运 营的年平均利润最大()
ﻩA.３B．4Ｃ.５Ｄ．6
(2)在算式“ ”中的△，〇中，分别填入两个正整数,使它们的倒数和最步,
则这两个数构成的数对（△,〇)应为．
(3)设 且 ，求 的最大值.
二、新课导学
请你类比两个数的基本不等式得出三个数的基本不等式：
2个数的均值不等式等号成立的条件
3个数的均值不等式等号成立的条件
n个数的均值不等式等号成立的条件
五课后作业基本不等式2姓名日期年月日
若 ,则 的最小值是(）
A. Ｂ. C. D.
若a,b,ｃ＞0且a（a+b＋c）+bc=4－2 ,则２ａ+b＋c的最小值为（）
A． -1Ｂ. +1C.2 ＋2D. 2 -2