平方差公式课例精选(发现导入)

课题：人教版八年级数学上册“15.2.1平方差公式”

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一、内容和内容解析

内容：

人教版八年级数学上册“15.2.1平方差公式”．

一、内容和内容解析

内容：

人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级上册“l5.2乘法公式”(第1课时)．

内容解析：

“平方差公式”是在学习了有理数运算、列简单的代数式、一次方程及不等式、整式的加减及整式乘法等知识的基础上，在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例．对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法．因此，平方差公式在初中阶段的教学中具有重要的地位，是初中阶段的第一个公式．本节课的教学重点是：经历探索平方差公式的全过程，并能运用公式进行简单的运算．

二、目标和目标解析

目标：

(1)经历平方差公式的探索过程，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力；

(2)掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简单的运算；

(3)会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法．

目标解析

(1)让学生经历“特例——归纳——猜想——验证——用数学符号表示”这一数学活动过程，积累数学活动的经验，进一步发展学生的符号感、推理能力、归纳能力，同时体会数学的简洁美、培养他们的合情推理和归纳的能力，在解决问题的过程中感受与他人合作交流的重要性．

(2)让学生了解平方差公式产生的背景，理解平方差公式的意义，掌握平方差公式的结构特征，并能灵活运用平方差公式解决问题．在数学活动中，引导学生观察、分析公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义，对练习过程中出现的错误做具体分析，加深学生对公式的理解．

(3)通过自主探究与合作交流的学习方式，让学生经历探索新知、巩固新知和拓展新知这一过程，发挥学生的主体作用，提高学生学数学、用数学的兴趣．同时，让学生在公式的运用中积累解题的经验，感受成功的喜悦．

三、教学问题诊断分析

学生已熟练掌握了幂的运算和整式乘法，但在进行多项式乘法运算时，常常会出现确定错某些项的符号以及漏项等问题．学生学习平方差公式的困难在于对公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义的理解．因此，教学中，应引导学生分析公式的结构特征，并运用变式训练揭示公式的本质特征，以加深学生对公式的理解．

本节课的教学难点：利用数形结合的数学思想方法解释平方差公式，灵活运用平方差公式进行计算．

四、教学过程设计

(一)创设情境，引出课题

问题1：计算下列多项式的积，你能发现什么规律?

【设计意图】通过对特殊多项式相乘的计算，既复习了旧知，又为接下来学习平方差公式做了铺垫，让学生感受从一般到特殊的认识规律，引出平方差公式．

(二)探索新知，尝试发现

问题2：根据以上4道题的计算回答下列问题．

①式子的左边具有什么共同特征?

②它们的结果有什么特征?

③能不能用字母表示你的发现?

教师提问，学生通过自主探究、合作交流发现规律：式子左边是两个数的和与这两个数的差的积，式子右边是这两个数的平方差．并猜想：(a+b)(a−b)=a2−b2．

【设计意图】在学生已掌握的多项乘法法则的基础上，探索具有特殊形式的多项式乘法——平方差公式，使规律的得出更加自然、合理．

(三)数形结合，几何说理

问题3：(活动探究)如图1，将长为

(a+b)，宽为(a−b)的长方形，剪下宽为b的

长方形，拼成有空缺的正方形，并用等式表

示剪拼前后图形的面积关系a>b>0)．

【设计意图】学生通过小组合作，完成

剪拼游戏活动，利用这些图形面积的相等关

系，进一步从几何角度验证了平方差公式的

正确性，从中体会到代数与几何的内在联

系．该问题渗透了数形结合的思想，有助于引导学生多角度、多方面地思考问题．同时，对于任意的a、b，由学生进行多项式乘法计算也可以得到(a+b)(a−b)=a^2−ab+ab−b^2=a^2−b^2，从而验证了公式的正确性．

(四)总结归纳，发现新知

问题4：你能用文字语言表示所发现的规律吗?

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，即(a+b)(a−b)=a2−b2．

【设计意图】鼓励学生用自己的语言表述，提高学生的语言组织与表达能力．

(五)剖析公式，发现本质

平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2的结构特征如下：

(1)左边是两个二项式相乘，其中“a与a”是相同项，“b与−b”是相反项；右边是二项式，是相同项与相反项的平方差，即a2−b2；

(2)让学生说明问题1的4个式子中，哪些相当于公式中

的a，哪些相当于公式中的b，明确公式中a和b的广泛含义，归纳得出“a、b可能代表数或式．”

【设计意图】通过观察平方差公式，体验公式的简洁性，并通过分析公式的本质特征掌握公式．在认清公式的结构特征的基础上，进一步剖析a、b的广泛含义，抓住概念的核心，使学生对公式的运用得心应手，起到事半功倍的效果．

(六)巩固运用，内化新知

问题5：判断下列各式能否运用平方差公式进行计算：

【设计意图】让学生经过思考、讨论、交流，进一步熟悉平方差公式的本质特征，掌握运用平方差公式必须具备的条件．加深对平方差公式的理解，进一步体会字母a、b既可以是数，也可以是式，加深对字母含义广泛性的理解．

问题6：判断下列计算是否正确．

【设计意图】对学生经常出现的错误做具体分析，以加深学生对公式的理解，进一步掌握平方差公式的本质特征和运用平方差公式必须具备的条件．

问题7：计算：

【设计意图】让学生解决操作层面的问题．教师可提议用不同的方法计算，以提供给学生发挥创造性的空间．

(七)拓展深化，发展思维

问题8：计算：

【设计意图】把两数相乘转化为两数和与两数差的乘积形式，问题(1)体现了转化的思想和数式通性；问题(2)是平方差公式与一般多项式乘法的综合，注意对于不能利用平方差公式计算的式子，仍按多项式乘法法则进行计算．

问题9：如图2，小明家有一块“L"形的自留地，现在要将其分成

两块形状、面积相同的部分，种上两种不同的蔬菜，请你来帮小明设计，

并算出这块自留地的面积．

【设计意图】此题与平方差公式的几何意义相吻合，加深了学生对

平方差公式的理解．同时，运用平方差公式解决实际问题，体现了数学

来源于生活、服务于生活，使学生感受到学习了“有用”的数学．

(八)小试牛刀，挑战自我

【设计意图】此组题旨在让学生从正、反两方面灵活运用平方差公式，由结果追溯算式中的相同项和相反项，其关键在于理解公式的结构特征，同时也发展了学生的逆向思维，并为后续的学习做了铺垫．问题(2)②有两种填法，属于开放性设计，目的是加强学生对公式结构特征的理解，同时也发展了学生的发散思维．