OR第九章(目标规划)

建立目标规划模型
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1. 设置偏差变量，用来表明决策值同目标
之间的差异。偏差变量用下列符号表示：
d1＋
：超出利润目标的差值，称正偏差变量
d1－
：
未达到利润目标的差值，称负偏差变量
力求使利润指标不低于250元，可表为：
－ min d1 － ＋ 15 x1 20 x2 d1 d1 250
gl为目标的预期目标值，l=1，…，L。
目标规划问题的两类约束
必须严格满足的约束称为绝对约束 (刚性约束、硬约束、系统约束）。 目标约束（ Goal equation）：在决 策值达到目标值时可以有一定偏差的约束。
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偏差变量
决策值超过目标值的部分称为正偏 差，用正偏差变量来表示。 决策值低于目标值的部分称为负偏 差，用负偏差变量来表示。
1 1
P2———每级人数不超过定编人数，偏差变量，Ⅰ级晋升
、d 2 ； 人数的偏差变量为 d 2 Ⅱ级晋升人数的 偏差变量为
d 3、d 3； Ⅲ级晋升人数的偏差变量为 d 4 、d 4 .
d2 12 9＋x1＋ d 2
→ → →
d2 3 x1 ＋ d 2
(1a) x1 2 x2 40 3x 24 (1 b ) 2 15 x1 20 x2 d1 d1 250 (1c) (1d ) x1 2 x2 d 2 d 2 0 4 x x d d 40 (1e) 1 2 3 3 (1 f ) 2 x1 4 x2 d 4 d 4 40 x , x ,d ,d 0 (i 1, , 4) 1 2 i i
4 x1 16 4 x 12 2 2 x1 3 x2 d1 d1 12 x x d d 1 2 2 2 0 2 x 2 x d d 12 2 3 3 1 x1 2 x2 d 4 d 4 8 x , x , d , d 1 2 i i 0
但现在企业的经营目标不仅仅是利润， 而是考虑多个方面，如： ① 力求使利润指标不低于250元； ② 考虑到市场需求，Ｉ、 II 两种产品的生产量 需保持１：2的比； ③ Ｃ和Ｄ为贵重设备，严格禁止超时使用； ④ 设备 A 既要求充分利用，又尽可能不加班； ⑤ 设备 B 必要时可以加班，但加班时间要控制 。
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目标函数的三种类型
3. 要求不低于目标值(lower, onesided goal) ，即负偏差变量要尽可能小，
这时
min
z f (d )
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本节介绍了如何建立目标规划的数学模型。
您学完本节后，应深刻领会下列概念： 1.目标规划由哪些要素构成，与线性规划有 哪些不同之处； 2.偏差变量的含义及其作用； 3.目标函数的表达方法； 4.优先级别的含义。
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建立模型
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目标函数的三种类型
1. 要求恰好达到目标值(two-sided goal)， 即正、负偏差变量要尽可能小，这时
min
z f (d d )


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目标函数的三种类型
2. 要求不超过目标值(upper, onesided goal) ，即正偏差变量要尽可能小， 这时
min
z f (d )
【解】设Ｉ、II 产品的产量分别为x1、x2， 可以建立这个问题的线规划模型如下：
max s.t.
z 15 x1 20 x2 , 4 x1 x2 40, 2 x1 4 x2 60, x1 2 x2 40, 3x2 24, x1 , x2 0.
并可求出最优解为 x１＝8，x２＝9，Z＝280元。
最优和满意
在现实经济生活中，没有最优（max,min）只有满意。 从亚当· 斯密斯开始，西方经济学家的一个基本假设就是认 为企业的决策者是“ 经济人”,他们的行为只受“ 最大化”的 行为准则所支配，只以追求最大经济利益（利润）为唯一目标。 社会的发展已经证明，“ 经济人”的假设根本不适应现 代管理的需要。 H.A.西蒙（美国卡内基-梅隆大学,1916~）教授着眼于 现代企业的管理职能,否定了“ 经济人”概念和“ 最大化” 行为准则，提出了“ 管理人”的概念和“ 令人满意”的行 为准则。

8．目标规划没有系统约束时，一定存在满意解. 9．超出目标的差值称为正偏差.
10．未到达目标的差值称为负偏差.
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目标规划的图解法
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对只含两个变量（偏差变量不计入）的目标 规划问题，可以用图解法找出满意解。 【例3】
min z Pd P （ d d ) P ( d d ) P d 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4








x j ,di , d i 0,
i 1,
, 6; j 1, 2,3
目标规划的一般数学模型可表为：
min s.t.
z Pk ( wkl dl wkl dl ) k 1 l 1 K L
a x
j 1 n ij j 1
12－x1＋x2＋ d 3 d 3 15
15－x2＋x3＋ d 4 d4 15
－x1＋x2＋ d 3 d 3 3
－x 2 ＋x 3 ＋ d 4 d4 0
P3——Ⅱ、Ⅲ级的升级面到达或超过现有人数的20％
Ⅱ级偏差变量为 d 、d ； 5 5 Ⅲ级偏差变量为 d 6、d 6；
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2. 设 d2＋
：超出产品比例目标的差值
d2－
：未达到产品比例目标的差值
要求I、II两种产品保持 1：2的比例，当作一 个约束，可以写为： x1/x2=2 或x1－2x2=0 这是系统约束或称刚性约束、绝对约束。由 于对这个比例允许有偏差 ，但希望正负偏差
最小，因此有
－ min d2 ＋d 2 － ＋ x1 2 x2 d 2 d 2 0
数字，乘上的权系数越大，表明该目标越重要。
现假定例1中企业的
最重要目标是利润，列为第一优先级； 其次的目标是I、II产品的产量尽可能
保持1：2的比例，列为第二优先级；
再次是设备A、B尽量不超负荷工作， 列为第三、第四优化先级。
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上述问题的目标规划模型可以写为：
min
z Pd P （ d d ) P ( d d ) P d 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4
n
j
(, )bi
(i 1, , m) (l 1, , L)
c x d d lj j l l gl
xj 0 dl , d l 0
( j 1, , n) (l 1, , L)
Pk为第k级优先因子，k=1, … , K;
为分别赋予第l个目标约束的正负偏差变量的权系数； wkl 、wkl
【例2（级别晋升问题） （１） 不超过年工资总额60000元； （２） 每级人数不超过定编人数； （３）Ⅱ、Ⅲ级的升级面到达或超过现有人数的20％； （４） Ⅲ级不足人数可录用新职工，Ⅰ级职工有10％ 退休，退休工资由社会发放。
等级 Ⅰ级 Ⅱ级 Ⅲ级 合计 工资 （元/人· 年） 2000 1500 1000 现有人数 10 12 15 37 定编人数 12 15 15 42
(a) (b) (c ) (d ) ( e) (f) (i 1, , 4)
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【例3】
(e)
6
min z Pd （ 1 1 P 2 d2 d2 ) P 3 (d3 d3 ) P 4 d4
x2
满意解 (3,3)
(c) d1 d1-
+
d3+ d3-

以后这种模型又先后经尤吉 · 艾吉里（ Y. Ijiri ）、 杰斯基莱恩（V. Jaaskelainen）和桑.李（S. M. Lee） 不断完善改进。 1976 年伊格尼齐奥发表了《目标规划及其扩展》 一书，系统归纳总结了目标规划的理论和方法。
5

下面通过例子来具体说明：

什么是目标规划 它和线性规划的区别
【解】设 x1———由Ⅱ级升到Ⅰ级的人数 x2———由Ⅲ级升到Ⅱ级的人数
x3———录用的新职工人数
P1—不超过年工资总额60000元,偏差变量为 d1 、d1 ；
2000(9 x1 ) 1500(12 x1 x2 ) 1000(15 x2 x3 ) d d 60000
6
【例１】某企业计划生产I、II两种产品，这些产品分别要在 A、B、C、D四种不同设备上加工。工艺资料如下表所示。
产品
设备
产品Ⅰ 4 2 1 0 15
产品Ⅱ 1 4 2 3 20
计划期加工 能力 （ h ）
A B C D 产品利润(元/件)
40 60 40 24
问该企业应如何安排计划，使在计划期内的总利润收入为最大?
Байду номын сангаас
x1 d5 d5 2.4
x2 d 6 d 6 3
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数学模型： min
Z Pd 1 1 P 2 (d 2 d 3 d 4 ) P 3 (d 5 d 6 )
500x1＋500x2＋1000x3＋ d1 d1 9000 x1 ＋ d 2 d 2 3 －x1＋x2＋ d 3 d 3 3 －x2＋x3＋ d 4 d 4 0 x1＋ d 5 d 5 2.4 x2 ＋ d 6 d 6 3
目标规划
Goal Programming
目标规划数学模型 目标规划的图解法
Mathematical Model of GP The graphical method of GP
计算机求解
Computer Solution
目标规划
Goal Programming 本章您将学到以下内容： • 什么是目标规划，目标规划与线性规划有 哪些联系和区别 • 目标规划数学模型的构成及其特征 • 目标规划的图解法、计算机解法 • 目标规划的应用
由于西蒙教授对现代经济管理的决策科学进行 了开创性的研究，荣获了1978年诺贝尔经济学奖。
他提出满意行为模型要比最大化行为模型丰富 得多。现代管理决策所追求的不是绝对意义下的 最优解，而是相对意义下的满意解。

目标规划的有关概念和模型最早在１９６１年由 美国学者Ａ.查恩斯（A. Charnes）和Ｗ.库伯（W. Cooper）在他们合著的《管理模型和线性规划的 工业应用》一书中提出。
设备C、D的加工时间不允许超过现有加 工能力，则有
x1 2 x2 40 3x2 24
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5. 目标的优先级与权系数。在一个目标规划的 模型中，如果两个不同目标重要程度相差悬殊，为
达到某一目标可牺牲其它一些目标，称这些目标是
属于不同层次的优先级。 优先级层次的高低可分别通过优先因子 P1 ， P2, … 表示，并规定Pk>>Pk+1，即不同优先级之间的 差别无法用数字大小衡量。 对属于同一层次优先级的不同目标，按其重要 程度可分别乘以不同的权系数。权系数是一个具体
3. 设 d3＋ d3－
：超出设备A的加工能力的差值 ：
未达到设备A的加工能力的差值
，根据要求有
－ min d3 d3 － ＋ 4 x1 x2 d3 d3 40
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4. 设 d4＋ d4－
：超出设备B的加工能力的差值 ：
未达到设备B的加工能力的差值
，根据要求有
min d 4 － ＋ 2 x 4 x d d 1 2 4 4 60
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试一试，判断下列各结论是否正确：
1．正偏差变量大于等于零，负偏差变量小于等于零. 2．系统约束中没有偏差变量.
3．目标约束含有偏差变量.
4．一对正负偏差变量至少一个大于零.
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5．一对正负偏差变量至少一个等于零. 6．要求至少到达目标值的目标函数是 max Z d
7．要求不超过目标值的目标函数是 m in Z d