工程结构可靠度计算方法—中心点法和验算点法

ˆ 1 1,， n X ˆ n n ) 0 Z g(1 X
ˆn X
在n维空间中表示一个失 效曲面，推导可知： 在标准正态坐标系中原点 Ô到曲面的最短距离ÔP*就 是结构可靠指标β
ˆ X 1
极限状态曲面 *
ˆn X
P* θn θ1
ˆ* X 1
θ2
ˆ * X 2
ˆ X 2
可证明在原坐标系中P*的坐标为
且点P*在极限状态直线上， S*、R*满足极限状态方程
Z R* S * 0
2 多个正态分布随机变量
极限状态功能函数中含多个相互独立的随即变量，均符合正态分布 Z=g(X1,X2,….,Xn)＝0 对Xi作标准化变换
ˆ i X i i X
i
ˆ i i X i i X
知识回顾
一 结构可靠度的基本概念
1 结构的功能要求
◆安全性：结构能承受正常施工、正常使用条件下可能出现的各种作 用而不产生破坏；在偶然事件发生时以及发生后，仍能保 持必需的整体稳定性，而不至于因局部损坏而产生连续破坏 ◆适用性：结构在正常使用时具有良好工作性能、满足正常使用的要求 ◆耐久性：结构在正常使用和正常维护条件下，在规定的使用期限内有 足够的耐久性，不因材料的老化、腐蚀、开裂等而影响结构 的使用寿命，完好使用到设计使用年限
(2)设计验算点
在标准正态化坐标系中，结构的极限状态直线上距离原点最近的点 P*称为结构的设计验算点
ˆ ,R ˆ ) P (S
* * *
ˆ R
极限状态线
R
S
ˆ * cos S s
ˆ * cos R R
在原坐标系中，验算点的坐标
ˆ* S
ˆ S
ˆ* R
0'
P*
S * S S cos S R * R R cos R
Xi i cosi i
*
①
cosi
g X i
i
p*
n g ( X i i 1
i ) p*
2
1 2
②
g ( X *1, X *2 ，X
* n
)0 ③
设计验算点应为极限状态曲面上与结构最大可能失效概率相对应的 点，也即结构极限状态方程中各基本随机变量在设计验算点处取值 时结构失效概率最大。此点为对结构最不利的各随机变量的取值点 故称之为结构设计验算点
3 结构的可靠度 degree of reliability
σz
结构的可靠性：结构在规定的时间内，在规定的条件下，完成预定功能 Pf 的能力
z Z 结构的可靠度：结构在规定的时间内，在规定的条件下，完成预定功能 的概率，以可靠概率Ps表示
PS P( Z 0) 1 - Pf f x ( X 1 X 2 X n )dX 1 X 2 X n
X i i cosi i
*
①
cosi
g X i n g ( X i i 1
i
p*
i ) p*
2
1 2
②
g ( X *1, X *2 ，X
* n
)0 ③
由于P*点未知，用式① ② ③不能直接求出β，需采用迭代法结合式 ① ② ③确定结构设计验算点坐标和计算β (1) (2) (3) (4) (5) 假设一组Xi＊值，通常取Xi＊＝μi 求cosθi 由Xi*=σiβcosθi+μi，求X1*，X2*，…，Xn* 代入g(X1*，X2*，…，Xn*)=0求β 重复(2) - (4)求β,与前一轮值比较，直至两轮β值的差小于 允许值为止
S

R
2 2 R S
ˆ R
R S ˆ S 0 2 2 2 2 R S R S
S

R
2 2 R S
ˆ R
R S ˆ S 0 2 2 2 2 R S R S
极限状态线
S
ˆ R
R
S
cos R
R 2R 2S
例8-2 例8-1钢拉杆R服从对数正态分布， S服从极值Ⅰ型分布 按验算点法计算拉杆可靠指标β
解：１假设验算点坐标： ２将R、S当量正态化 S*= μS=60kN
] 133.5kN
R*= μR=135kN
R R*[1 ln
R
1Baidu Nhomakorabea
2 R

S
2 R R* ln(1 R ) 20.14kN
f S (S )
*
0.0403
7.66kN
S S * 1[FS (S * )] S 54.517kN
3计算方向余弦
cos R
R'
2 R'

2
2
0.9347
S'
cos S
4 求S* 、R*
S'
2 R'

0.3555
S'
R* R R cos R 133.5 18.8249 S * S S cos S 54.517 2.7231
5求 β
Z R * S* 21.548 78.983 0
3.6654
6 求S* R*
R* 133.5 18.8249 64.498kN S * 54.517 2.7231 64.498kN
重复2-6,计算见表8-4 β=3.3005
2 结构功能函数
设Xi(i=1,2,…,n)表示影响结构某一功能的基本变量，则与此功能对应 的结构功能函数可表示为 Z=g(X1,X2,….,Xn) 考虑结构功能仅与作用效应Ｓ、结构抗力Ｒ两个基本变量有关的简单情况 Z=R-S
Z=R-S>0 结构处于可靠状态 f (Z) Z=R-S=0 结构处于极限状态 极限状态方程 β σZ Z=R-S<0 结构处于失效状态
4 结构的可靠指标
Ps(Pf)一般要通过多维积分得到、难以求解，为此引入可靠指标β来度 量结构的可靠程度
Z 1 Z Z
β值与Pf值也一一对应， β值越大则Pf值越小，结构可靠度越高
三 验算点法
为使设计模式符合客观实际，拉克维茨、菲斯莱等人提出当量正态变 量概念，把极限状态函数推广到多个变量的非线性的情况，建立了验 算点法，这种设计模式对任何分布类型都适用
0'
ˆ S

P*
cos S
S 2R 2S
ˆ 0 ˆ cos S cos R R S
极限状态直线的 标准法线式方程
(1)β的几何意义 标准正态化坐标系中, β就是原点o’到极限状态直线的最 短距离o’P*，其中cosθS、cosθR为o’P*对各坐标向量的方向 余弦。
1 两个相互独立的正态分布变量R和S
极限状态方程为：
Z RS 0
ˆ R R
极限状态线 R=S极限状态线
对R和S作标准化变换 S S R R ˆ R S
0'
ˆ S
R
S
ˆ 表述的极限状态 ˆ 和 S 以R
ˆ 0 ˆ S Z RR S R S
用 2 R 2 S 除上式得
Ｘ
X ' xi* 1[ FX ( xi* )] X
i i
i
X ' { [FX ( xi *)]}/ f X ( xi *)
1
i i i
式中

—标准正态分布概率密度函数
在验算点处，当量前后 分布函数值相等； 当量前后概率密度函数 值相等
求出μXi’、σXi’后根据验算点法可计算β值
1.28255 S 0.57722 55.41
7.953
FS ( S ) exp{ exp[
*
S*

]} 0.5703
S*
f S (S )
*
1

exp(
S*


) exp{ exp[

]} 0.0403
S
{ 1[ FS (S * )]} 0.3087
3 多个非正态分布随机变量
需在设计验算点xi＊处将非正态分布随机变量转换成相当的正态分布随 机变量（当量正态化处理）
根据设计验算点xi＊处当 量正态化条件
f(Q)
FX ' ( x*) FX ( x*)
f X ' ( x*) f X ( x*)
得当量正态变量Ｘi’的特征值
0
Ｘ*
μ ’X μ
X