第一章矢量分析

第一章矢量分析

1矢量分析

1. 在球面坐标系中，当与无关时，拉普拉斯方程的通解为：（）。

2. 我们讨论的电磁场是具有确定物理意义的（），这些矢量场在一定的区域

内具有一定的分布规律，除有限个点或面以外，它们都是空间坐标的连续函数。

3. 矢量场在闭合面的通量定义为，它是一个标量；矢量场的

（）也是一个标量，定义为。

4. 矢量场在闭合路径的环流定义为，它是一个标量；矢量场的旋

度是一个（），它定义为。

5. 标量场 u（r ）中，（）的定义为，其中 n 为变化最快的方向上的单位矢量。

6. 矢量分析中重要的恒等式有

任一矢量的旋度的散度恒为（任一标量的梯度的旋度恒为（

）

）。

。

7. 算符▽是一个矢量算符，在直角坐标内，，所以是个（），而是个（），是个（）。

8.亥姆霍兹定理总结了矢量场的基本性质，分析矢量场总要从它的散度和旋度

开始着手，（）方程和（）方程组成了矢量场的基本微分方程。

9. （）坐标、（）坐标和球坐标是电磁理论中常用的坐标

10. 标量：（）。如电压 U、电荷量 Q、电流 I 、面积 S 等。

11. 矢量：（）。如电场强度矢量、磁场强度矢量、作用力矢量、速度矢量

等。

12. 标量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量（）地描

述，则该标量函数定出标量场。例如物理系统中的温度、压力、密度等可以用标量场来表示。13. 矢量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量（）地描述，则该矢量函数定出矢量场。例如流体空间中的流速分布等可以用矢量场来表示。

14. 旋度为零的矢量场叫做（）

15. 标量函数的梯度是（），如静电场

16．无旋场的（）不能处处为零

17. 散度为零的矢量场叫做（）

18. 矢量的旋度是（），如恒定磁场

19．无散场的（）不能处处为零

20．一般场：既有（），又有（）

21．任一标量的梯度的旋度恒为（）

22．任一矢量的旋度的散度恒为（）。

23．给定三个矢量和：

求： (1) ；(2) ；

(3) ；(4) ；

(5)在上的分量：

(6) ；(7) ；

(8) 和。

24．三角形的三个顶点为(0 ，1，－ 2) 、(4 ，1，－ 3) 和(6 ，2，5) 。

(1) 判断是否为一直角三角形。

(2)求三角形的面积。

25．求( －3，1，4) 点到 P(2，－ 2，3) 点的距离矢量及的方向。

26．给定两矢量和，求在

上的分量。

27．如果给定一未知矢量与已知矢量的矢量积，那么便可以确定该未知矢量。

设为一矢量，，而，和已知，试求。

28．在圆柱坐标中，一点的位置由定出，

求该点在 (1) 直角坐标中； (2) 球坐标中的坐标。

29．用球坐标表示的场，

(1)求在直角坐标系中点 ( － 3， 4， 5) 处的和；

(2) 求与矢量构成的夹角。

30．球坐标中两个点和间夹角的余弦为( ) 和( ) 定出两个位置矢量和。证明

提示：

，在直角坐标中计算。

31．一球面 S 的半径为 5，球心在原点上，计算：的值。

32．在由 r=5,z=0 和 z=4 围成的圆柱形区域，对矢量验证散度定理。

33．求(1) 矢量的散度；

(2) 求对中心在原点的一个单位立方体的积分；

(3)求对此立方体表面的积分，验证散度定理。

34．计算矢量对一个球心在原点，半径为a 的球表面的积分，并求对球体积的部分。

35．求矢量

线积分，此正方形的两边分别与

沿 xy

x 轴和

平面上的一个边长为

y 轴相重合。再求

2 的正方形回路的

对此回路所包围

的表面积分，验证斯托克斯定理。

36．求矢量沿圆周的线积分，再计算对此圆面积的积分。

37．证明：（ 1），（ 2），（ 3），其中为一常矢量。

38．一径向矢量场用，表示，如果，那么函数会有什么特点呢？

39．给定矢量函数，试：（ 1）沿抛物线；（ 2）沿连接该两点的直线分别计算从点到的线积分的值，这个是保守场吗？

40．求标量函数的梯度及再一个指定方向的方向导数。此方向由单

位矢量定出；求（ 2，3，1）点的导数值。

41．试采用与推导式（1，3，8）相似的方法计算圆柱坐标下的计算式。

42．方程给出一椭球族。求椭球表面上任意一点的单位法向矢

量。

43．现有三个矢量场

问：（1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以用一个矢量

的旋度表示？

（ 2）求出这些矢量的源分布。

44．利用直角坐标证明：

45．证明：

46．利用直角坐标证明：

47．利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明及，试证明之。

48．求数量场φ =(x+y)2-z 通过点 M(1, 0, 1) 的等值面方程。

49．求矢量场 A=xy2ex+x2yey+zy2ez 的矢量线方程

x 2y 2

u

50．求数量场z

在点 M(1, 1, 2) 处沿 l=ex+2ey+2ez 方向的方向导数。

51．设标量函数 r 是动点 M(x, y, z) 的矢量 r=xex+yey+zez 的模，即

r

r x2 y2 z2，证明：gradr r r.

52．求 r 在 M(1，0，1) 处沿 l=ex+2ey+2ez 方向的方向导数

q 53．已知位于原点处的点电荷 q 在点 M(x, y, z) 处产生的电位为 4 r ，其中矢径 r 为 r=xex+yey+zey ，且已知电场强度与电位的关