大学物理角动量转动惯量与角动量的守恒定律

动量对参考点（或轴）求矩
1.质点的角动量
定义：
L = r ×p = r ×mv
大小： L = rmv sinθ
m
p
θ
p
r
r
o
= r p⊥ = pr⊥
z
方向：
垂 直 于r和p组 成 的 平 面 ， 服从右手定则。
x
L
o r
r
m
p
p
y
物理意义：
设m作直线运动
以o为参考点：L 0
o
r
m
p
注意：对同轴的转动惯量具有可加减性。
同轴圆柱
ro1 r2
m2 m1
Jz J2 J1
m2r22 m1r12
2
2
z
i
反映质点系绕质心的旋转运动，与参考点O的选择无关，
描述系统的内禀性质： L自旋
L自 旋
L轨道
于是：
∑
L = rc ×Mv c+
ri′×m i v′i
i
= L轨 道 + L自 旋
L
L自 旋
L轨道
3.转定轴轴转z 动刚角体速的度角动 量
刚体上任一质点 mi
转轴与其转动平面交点Ｏ
mi绕Ｏ 圆周运动半径为 ri
mi
对Ｏ的角动量：
Lio
ri
mivi
z
转动 平面
o ri
vi
mi
Lio
大 小 方 向
：：L沿io
ri mivi
mi ri2
即
Lio
mi ri2
在轴上确定正方向，角速度 表示为代数量，则
定义质点对 z 轴的角动量为:
Liz Lio miri2
刚体对 z 轴的总角动量为：
Lz Liz ri2mi
学时： 6
§5.1 角动量 转动惯量 一、角动量
问题：将一绕通过质心的固定轴转
动的圆盘视为一个质点系，系统总
动量为多少？
p总 = MvC = 0
MC
由于该系统质心速度为零，所以，系统总动量为零，
系统有机械运动，总动量却为零？
说明不宜采用动量来量度转动物体的机械运动量。
*引入与动量 p 对应的角量 L ——角动量（动量矩）
p
or
以o为参考点： L 0
若r、p大小相同，则：p ，L
*质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点旋 转运动的强弱。
*必须指明参考点，角动量才有实际意义。
2.质点系角动量
系统内所有质点对同一参考点角动量的矢量和
L Li ri pi ri mivi
i i
i
vrii
rc vc
ri vi
有'：对质心 无'：对参考点
L
rc
ri
mivi
p1
r1rc
oo
cp2
ri
r2
ri
ri
ppii
mmi i
与i无关
i
rc
mivi
ri
mi
vc
vi
i i
rc mivi ri mivc ri mivi
i
i
i
L rc mivi ri mivc ri mivi
i
i
i
第二项：
ri mivc
i
i
mi ri vc M
i
Hale Waihona Puke Baidu
mi ri
与 i 无关
M vC
由
mi ri
rc
i
M
mi ri
rc
i
M
ri mivc Mrc vc 0
i
质心对自己的位矢
L rc mivi ri mivc ri mivi
第三项：
i
i
i
与 i 有关
ri mivi 各质点相对于质心角动量的矢量和
4m
l
m
2m 3m
Al
l
l
5m
J 2ml2 3m( 2l )2 ( 4m 5m )( 2l )2
32ml2
2. 一长为Ｌ的细杆，质量 m 均匀分布 ，求该杆对过
杆一端端点且垂直于杆的 z 轴的转动惯量。
z
o
x
dm
x dm dx m dx
L
L
J
x2dm
L x2
mdx
m
1
x3
L
2
2 m R2
02
3
4. 求质量 m ,半径 R 的均匀球体对直径的转动惯量
解：以距中心 r ，厚 dr 的球壳
dr
R
r
为积分元
o
dV 4r 2dr
m
m
4 R3
3
dJ
2 dm r 2 3
2mr 4dr R3
dm dV
J
R
dJ
0
2m r4dr R3
2 5
m R2
教材P.93 一些均匀刚体的转动惯量表
i
i
ri2mi
i
对质量连续分布的刚体：
Lz dLz r2dm
z
or
v
dm
r2dm
令： J ri2mi
i
J r 2dm
刚体对 z 轴的总角动量为： 二、刚体对轴的转动惯量
Lz J
转动惯量
1.定义 J ri2mi
i
刚体对某定轴的转动惯量等于其各质点的质量与 该质点到转轴距离的平方之积求和。
i
i
i
设 M mi
i
第一项： rc mivi rc Mvc
i
即将质点系全部质量集中于质心处的一个质点上，该 质点对参考点的角动量
以质心为代表，描述质点系整体绕参考点的旋转运
动，称为质点系的轨道角动量。
即：L轨道
rC
MvC
L rc mivi ri mivc ri mivi
若质量连续分布，则 J r 2dm
J r 2dm 积分元选取：
dl 线密度： , 线元：dl
dm
dm
dm dS 面密度： , 面元：dS
dV 体密度： , 体元：dV
dm
2. 计算
刚体对轴的转动惯量 J
与刚体总质量有关 与刚体质量分布有关 与转轴的位置有关
练习
1.由长 l 的轻杆连接的质点如图所示，求质点系 对过 A 垂直于纸面的轴的转动惯量
角动量
转动惯 量
角动量的 时间变化率
力矩
角动量 定理
角动量 守恒定律
刚体定轴转动定律
重要性：
大到星系，小到基本粒子都有旋转运动； 微观粒子的角动量具有量子化特征； 角动量遵守守恒定律，与空间旋转对称性相对应。
重点： 概念：角动量，转动惯量，力矩，角冲量， 规律：刚体定轴转动定律，
角动量定理的微分形式和积分形式， 角动量守恒定律， 难点：角动量概念， 角动量定理及角动量守恒定律的应用
1 mL2
0
L
L3 0 3
3. 求质量 m ,半径 R 的均匀球壳对直径的转动惯量
dl r
R
d
o
m
解：取离轴线距离相等的点的集合
为积分元
dS 2rdl 2Rsin Rd
m
4R 2
dm dS 1 msind
2
dJ r 2dm Rsin 2 dm 1 m R2sin3d
J
dJ
1
m R2sin3d
同学们好！ ?
数学家和哲学家追求数学的最初生 长点的研究，恰像一次向远处的地平 线走去的旅行。终点似乎就在前面， 可是走过去之后发现，它还在前方。
但是旅行者毕竟一次又一次地大开 眼界。他发现了越来越广大的世界。
－摘自张景中（院士）
显然，这段话对物理学也适用。
《数学与哲学》
第五章 角动量 角动量守恒定律