雷诺输运定理

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下图中模拟的是烟圈，由于涡旋感生的速度场，后面的烟圈 可以超过前面的烟圈。
宇 航 推 进 系
流 体 力 学
----
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流
❖ 涡丝：强度有限的基元涡管.
体 力
涡管强度可以用能过涡管截面的旋度通量来表示。
学
4.5.3涡通量和速度环量
宇 航
面积分 : dS称为 通过截面S的涡通量
s
推 进
线积分: v dr称为速度向量沿封闭曲线L的环量
系
L
旋度通过面S的通量与速度沿面S周围的环量有一定
----
流
关系－Stokes公式:
学
dx dy dz
x y z
x ,y ,z是旋转角速度在直角坐标系中的三个分量
4.5.2涡线,涡面,涡管
宇 航
❖ 涡面:在涡旋场内取一非涡线的曲线,过曲线每一
推
点作涡线, 这些涡线组成的曲面,称为涡面.
进 系
❖ 涡管:如果所取的非涡线的曲线L封闭,且不自交, 则过曲线上每个点作涡线组成管状曲面,称涡管.
❖ 4.5.4旋度的物理意义
流 体
❖ 4.5.5涡旋的基本性质
力
学
4.5.1涡旋的概念
宇
下面的图片展示了气流绕过圆柱后发生分离并产生旋涡的情况。
航
推
进
涡旋
系
----
流 体 力 学
涡街
流动分离和涡街的形成
宇 航 推 进 系 流 体 力 学
----
流动分离和涡街的形成
宇 航 推 进 系 流 体 力 学
(b)
vr
0; v
b r
----
流 体 力 学
4.5.2涡线,涡面,涡管
宇 航
❖ 涡线:
推
❖ 速度场对应一个旋度场,旋度场和速度场一样都是
进 系
矢量场,在旋度场中与速度场流线对应的概念即为 涡线.
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流 体
❖ 涡线上每一点的切线方向与该点的涡量方向重合， 即与此点的旋转角速度方向重合.
力
❖ 涡线的微分方程如下:
4.5.1涡旋的概念
宇 航 推
这一角速度正是速度旋度的 1 2
进
i jk
----
系
=xi
y
j
z k
1 2
x
y
1 rotV x 2
流 体
Vx Vy Vz
力
记旋度为: rotV，也叫涡度、涡量
学
有旋流动：旋转角速度（旋度）不为零的运动
这样,检验流体运动有旋还是无旋,只要看其速度的旋度 是否为零即可。
宇 航
❖ 涡旋可以感生速度场,如前面点涡运动就是
推
中心点处的涡所感生的.
进 系
❖ 涡处在速度场中,本身也在运动,还会受到
自身感生速度场的影响.
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流 体
❖ 下面的动画中展示就是涡旋的运动.
力
学
下图中模拟的是烟圈，由于涡旋感生的速度场，后面的烟圈 可以超过前面的烟圈。
宇 航 推 进 系
流 体 力 学
体
力 学
v dr dS 速度环量＝涡通量（旋涡强度）
L
S
其中S面张于L上。
4.5.3涡通量和速度环量
宇
航
v dr dS
推
L
S
进 系
设:v ui vj wk
----
在直角坐标系中展开得:
流
体 力
L
udx
vdy
wdz
S
w y
v z
cos
n,
x
u z
w x
cos
n,
宇 航
❖ 在速度分解定理中体现了旋转；
推 进
V V0 E r r
系
❖宏观：如旋风，集中涡；
----
流
❖微观：肉眼看不到，如湍流运动中
体 力
的流体微团的运动，数学涡。
学
4.5涡旋运动
宇 航
❖ 4.5.1涡旋的概念
推 进
❖ 4.5.2涡线,涡面,涡管
系
❖ 4.5.3涡通量和速度环量
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4.5.5有关涡旋的基本性质
宇 拉格朗日定理(旋涡不生不灭定理)
航
推 如果考虑的是理想,正压流体,且外力有势.如果
进
系 初始时刻在某部分流体内无旋,则以前或以后任
----
一时刻中这部分流体皆无旋.反之,若初始时刻
流 体
部分流体有旋,则以前或以后的任何时刻中这一
力 学
部分流体皆有旋.
4.5.5有关涡旋的基本性质
y
cy x2 y2
力
2cx2 cx2 cy2 2cy2 cx2 cy2
学
x2 y2 2
x2 y2 2
2cx2 2cy2
x2 y2 2 0,
有旋
思考题
宇
下面的两幅图给出了两种速度场的流线图,
航
请大家分析它们的旋度
推
进 系
(a) vr 0; v br
航 推
Vx ay;Vy Vz 0
进 系
rot(V ) a 处处有旋！
----
(2)点涡运动速度场为
流 体 力 学
vr
0; v
b r
当r 0时, rot(v) 1 (rv ) 1 vr 0
r r r
除原点外,处处无旋！
4.5.1涡旋的概念
宇 航
❖ 判断流体运动在该点是否有旋必须看流体
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涡街的形成
宇 航 推 进 系 流 体 力 学
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4.5.1涡旋的概念
宇 在速度分解定理中的旋转项可以写成角速度向量与矢径
航 推
乘积的形式:
进 系
取=xi y j zk
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流
r = xi y j zk xi yj zk
体
力
i jk
学
x y z
x y z
y z z y i z x x z j x y y x k
vL
2 a
n
L M
v
4.5.4旋度的物理意义
宇 平均角速度
航
推 进 系
v dr
=
平均切向速度 圆周半径
v a
L
2 a2
----
v dr v dr
流 体
于是有: L
dS
＝L
a2
2
力
学
由此可见,M点旋度矢量的大小是
n
L M
v
流体微体团绕该点旋转的平均角速度的两倍.
方向与微团的瞬时转动轴线重合.
复习
宇 航
❖ 速度分解定理
推
进 系
V V0 E r r
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流 体 力
变形速率矩阵E
xx yx
xy yy
xz yz
zx zy zz
学
x
x
旋转角速度＝ y
r
y
z
z
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宇 4.5涡旋运动
航 推 进 系
流 vortex
体 力 学
4.5涡旋运动
流 体 力
以无论是实验和理论分析角度，利用速度环量常
常比利用涡通量简单些.
学
4.5.4旋度的物理意义
宇 航
❖ 在M点邻域取一与旋
推
度垂直的无限小圆,其
进
半径为a.
系
速度环量与涡通量的关系如下:
----
流
dS v dr
体 力
s
L
其中L和S分别是小圆的周界及面积.
学
引进平均切向速度
v dr
例题
宇 航
画出以下两种速度场并检验是否有旋
推
进
(1)剪切流动速度场为
系
Vx ay;Vy Vz 0
----
流
体
(2)点涡运动速度场为
力
学
vr
0;v
b r
例题
宇
航
推
(1)剪切流动速度场为
进
系
y
(2)点涡运动速度场为
----
流
体
streamline
力
学
x
❖ 哪一个有旋?
例题
宇
(1)剪切流动速度场为
推
微团是不是在自转,而不是看它有没有绕中
进 系
心作圆周运动,这就是局部和整体性的差别.
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❖ 判断流体运动是否有旋的唯一标准是旋度
流
是否为零。
体
力
学
习题
宇 航
❖ 下列流场是否有旋
推
进 系
Vx
cy x2 y2
,Vy
cx x2 y2
,Vz
0
----
流 体
rotV
ຫໍສະໝຸດ Baidu
Vy x
Vx y
x
cx x2 y2
y
v x
u y
cos
n,
z
dS
学
法线单位矢量n的正方向与L的正方向组成右手螺旋系统
4.5.3涡通量和速度环量
宇 航
❖ 涡通量和速度环量都能表征涡旋强度,但是在某些
推
情况下,利用速度环量来研究涡旋运动有很多方便
进
之处.
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系
❖ 因为速度环量是线积分,被积函数是速度本身,而
涡通量则是面积分,被积函数是速度的偏导数,所
复习
宇 航
❖ 雷诺输运定理
推
进 系
DNs ()d v dS
Dt CV t
CS
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流
雷诺输运定理:某瞬间控制体内的流体所构成的体系,
体 力
它所具有的物理量的随流导数,等于同一瞬间控制体
学
中所含同一随流物理量的增加率(右面第一项,体积分)
与该物理量通过控制面的净流出率(右面第二项,面
积分)之和