2015专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式(第三讲)
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主干知识整合 热点探究悟道 建模规范答题 专题知能提升
2．抽象函数的周期性与对称性 (1)函数的周期性 ①若函数 f(x)满足 f(x＋a)＝f(x－a) ，则 f(x)为周期函数，
2a 是它的一个周期．
②设 f(x)是 R 上的 偶函数 ， 且图象关于直线 x＝a(a≠0)对称 ， 则 f(x)是周期函数，
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(3)[2014· 四川高考]设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当 x∈[－1,1)时，f(x)＝ ________.
f(－x)＝－f(x)
成立，则 f(x)为奇函数(都有 f(－x)＝f(x)
成
立，则 f(x)为偶函数)． (3)周期性 周期函数 f(x)的最小正周期 T 必须满足下列两个条件： ①当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f(x＋T)＝f(x) ； ②T 是
不为零的最小正数．
专题一 第二讲
第 6页
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专题一
集合、常用逻辑用语、函数 与导数、不等式
专题一 第二讲
第 1页
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第二讲
函数的图象与性质(选择、填空题 型)
专题一 第二讲
第12页
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[解析] x>1，故选C.
要使函数有意义，需满足x2－x>0，解得x<0或
[答案]
C
专题一 第二讲
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2a 是它的一个周期．
③设 f(x)是 R 上的奇函数 ，且图象 关于直线 x＝a(a≠0)对称 ， 则 f(x)是周期函数， 4a 是它的一个周期．
专题一 第二讲
第 7页
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(2)函数图象的对称性 ①若函数 y＝f(x)满足 f(a＋x)＝f(a－x) ，即 f(x)＝f(2a－x)， 则 f(x)的图象
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易错提醒 (1)分段函数仍然是一个函数，而不是几个函数． (2)在处理有关对数问题时应注意底数与真数的取值． (3)确定函数的奇偶性必须先判断函数的定义域是否关于原 点对称.
专题一 第二讲
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专题一 第二讲
第 3页
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Z主干知识整合
专题一 第二讲
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主干整合 1．函数的三个性质 (1)单调性 如果对于 定义域 I 内某个区间 D 上的 任意两个自变
1 2 1 1 1 2 ＝ 2 log2x· (log24＋2log2x)＝log2x＋(log2x) ＝ log2x＋2 － 4 ≥－ 4 .
2 1 当且仅当x＝ 2 时，有f(x)min＝－4.
1 [答案] [－ ，＋∞) 4
专题一 第二讲
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关于直线 x＝a 对称．
f(a＋x)＝－f(a－x)
，即 f(x)＝－
②若函数 y＝f(x)满足 f(2a－x)，则 f(x)的图象
关于点(a,0)对称．
， 则函数 f(x)的图象
③若函数 y＝f(x)满足 f(a＋x)＝f(b－x)
a＋b 关于直线 x＝ 2 对称．
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专题一 第二讲
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[命题全解密]
1.命题点：函数的定义域、值域；函数的单
调性、奇偶性、周期性；函数的图象及其应用． 2．交汇点：函数的单调性、奇偶性、周期性交汇命题；函 数的定义域、值域与不等式交汇命题；函数的图象与性质交汇 命题． 3．常用方法：利用定义法判断函数的单调性、奇偶性；利 用数形结合的方法判断函数的单调性、奇偶性；排除法判断函 数的图象.
量的值 x1，x2，且 x1<x2，都有 f(x1)<f(x2) 成立，则 f(x)在 D 上是
增函数 (都有 f(x1)>f(x2)
成立，则 f(x)在 D 上是 减函数
)．
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(2)奇偶性 对于定义域内的任意 x( 定义域关于原点对称 )，都有
(2)[2014· 重庆高考]函数f(x)＝log2 ________．
x · log
2 (2x)的值域为
专题一 第二讲
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[解析]
显然x>0，∴f(x)＝log2
1 x· log 2(2x)＝ log2x· log2(4x2) 2
专题一 第二讲
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典例示法 [例1] ( ) A. (0,1) B. [0,1] C. (－∞，0)∪(1，＋∞) D. (－∞，0]∪[1，＋∞) (1)[2014· 江西高考]函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为
R热点探究悟道
专题一 第二讲
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热点一 函数及其表示
函数的基础知识涉及函数的三要素、函数的表示方 法等内容，这些问题都有相对固定的解法，解题时对问 题进行准确地定位，纵观全国各地的高考试题，可以发 现对函数基础知识的考查主要以客观题为主，难度中等 偏下.
2．抽象函数的周期性与对称性 (1)函数的周期性 ①若函数 f(x)满足 f(x＋a)＝f(x－a) ，则 f(x)为周期函数，
2a 是它的一个周期．
②设 f(x)是 R 上的 偶函数 ， 且图象关于直线 x＝a(a≠0)对称 ， 则 f(x)是周期函数，
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(3)[2014· 四川高考]设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当 x∈[－1,1)时，f(x)＝ ________.
f(－x)＝－f(x)
成立，则 f(x)为奇函数(都有 f(－x)＝f(x)
成
立，则 f(x)为偶函数)． (3)周期性 周期函数 f(x)的最小正周期 T 必须满足下列两个条件： ①当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f(x＋T)＝f(x) ； ②T 是
不为零的最小正数．
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专题一
集合、常用逻辑用语、函数 与导数、不等式
专题一 第二讲
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第二讲
函数的图象与性质(选择、填空题 型)
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[解析] x>1，故选C.
要使函数有意义，需满足x2－x>0，解得x<0或
[答案]
C
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2a 是它的一个周期．
③设 f(x)是 R 上的奇函数 ，且图象 关于直线 x＝a(a≠0)对称 ， 则 f(x)是周期函数， 4a 是它的一个周期．
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(2)函数图象的对称性 ①若函数 y＝f(x)满足 f(a＋x)＝f(a－x) ，即 f(x)＝f(2a－x)， 则 f(x)的图象
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易错提醒 (1)分段函数仍然是一个函数，而不是几个函数． (2)在处理有关对数问题时应注意底数与真数的取值． (3)确定函数的奇偶性必须先判断函数的定义域是否关于原 点对称.
专题一 第二讲
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Z主干知识整合
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主干整合 1．函数的三个性质 (1)单调性 如果对于 定义域 I 内某个区间 D 上的 任意两个自变
1 2 1 1 1 2 ＝ 2 log2x· (log24＋2log2x)＝log2x＋(log2x) ＝ log2x＋2 － 4 ≥－ 4 .
2 1 当且仅当x＝ 2 时，有f(x)min＝－4.
1 [答案] [－ ，＋∞) 4
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关于直线 x＝a 对称．
f(a＋x)＝－f(a－x)
，即 f(x)＝－
②若函数 y＝f(x)满足 f(2a－x)，则 f(x)的图象
关于点(a,0)对称．
， 则函数 f(x)的图象
③若函数 y＝f(x)满足 f(a＋x)＝f(b－x)
a＋b 关于直线 x＝ 2 对称．
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[命题全解密]
1.命题点：函数的定义域、值域；函数的单
调性、奇偶性、周期性；函数的图象及其应用． 2．交汇点：函数的单调性、奇偶性、周期性交汇命题；函 数的定义域、值域与不等式交汇命题；函数的图象与性质交汇 命题． 3．常用方法：利用定义法判断函数的单调性、奇偶性；利 用数形结合的方法判断函数的单调性、奇偶性；排除法判断函 数的图象.
量的值 x1，x2，且 x1<x2，都有 f(x1)<f(x2) 成立，则 f(x)在 D 上是
增函数 (都有 f(x1)>f(x2)
成立，则 f(x)在 D 上是 减函数
)．
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(2)奇偶性 对于定义域内的任意 x( 定义域关于原点对称 )，都有
(2)[2014· 重庆高考]函数f(x)＝log2 ________．
x · log
2 (2x)的值域为
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[解析]
显然x>0，∴f(x)＝log2
1 x· log 2(2x)＝ log2x· log2(4x2) 2
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典例示法 [例1] ( ) A. (0,1) B. [0,1] C. (－∞，0)∪(1，＋∞) D. (－∞，0]∪[1，＋∞) (1)[2014· 江西高考]函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为
R热点探究悟道
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热点一 函数及其表示
函数的基础知识涉及函数的三要素、函数的表示方 法等内容，这些问题都有相对固定的解法，解题时对问 题进行准确地定位，纵观全国各地的高考试题，可以发 现对函数基础知识的考查主要以客观题为主，难度中等 偏下.