内力分析基本法-截面法

3、作内力图
Q图（kN) 22 ＋ 6
－
CD段： QC右= QD= 22－16 = 6kN MD= 22×2－16×1= 28kNm(下拉）
M图（kNm)
10
10
DE段： QE= －10kN ME= 10×2= 20kNm(下拉）
22 28
20
32
20
Q图（kN)
例2：
20kN
40kNm
10kN/m
由∑MC= 0得N4=－1.33 kN
N3 = 6.67 kN
8
例：求图示1、2杆的轴力。 解：取m-m面以上为对象， 由∑X = 0得 N1= 0 取n-n面以右为对象，由∑ Y= 0得 N2
m P 2 1
n m
n
9
题型1、求静定桁架结构的内力——轴力
10kN A 2m E 4 1 2 3 D 2m C 20kN 30kN
14
用截面法计算指定截面上的剪力和弯矩 计算步骤： 1、用假想截面从指定截面处将梁截为两段；
2、以其中任一部分为对象，在截开的截面上按剪力、 弯矩的正方向画出未知剪力Q及弯矩M； 3、应用平衡方程ΣΥ= 0和Σmc= 0计算出Q和M，C点 为所求截面形心。 四、举例说明
15
例：试计算图示外伸梁指定截面上的剪力和弯矩 ΣΎ= 0 RA– QD – qL= 0
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10 10
5
(b)
M 图(kN•m)
(c)
10
23
绘制方法3： 叠加法绘制直杆弯矩图
一、简支梁弯矩图的叠加方法
MA
A q L MB MA
B
MAB中 1 qL2 MB 8
若MA、MB在杆的两侧，怎么画？
MA MB q
A
MA
MAB中
B MB
＋
A 1 qL2 8
B
MAB中= （ MA ＋ MB）/2
24
q=20kN/m
解：求支座反力，由MB =0，得：
E
2m
30kN 4m A
D
C
-FA 6 -30 4 +206 3 =0 故： FA =40kN（） 30 +FBx =0 由 x =0，得：
FBx=30kN FBy=80kN
故： FBx = -30kN（）
B 6m FA=40kN (a)
由 y =0，得： FBy +FA - 206 =0 故： FBy=80kN（）
31
q=20kN/m
分别作出 AD 段、DE 段及EB 段受力图
8kN 4kN E
4kN D C 4kN
C 4m n 1
A
D 4kN
N4
N1 N2 N3 N4
由结点E可知： N2 = -N3
取m-m截面以上为对象 由∑x= 0 得
解：取n-n截面以上为对象 ∑MD= 0 N1 ×6＋8×3＋4×4 = 0 得： N1 = －6.67 kN
N2=－6.67 kN
所以：
N2
N2 = 0
N1 = － P
2、不共线的两杆结点，外力沿一杆作用，则另一杆轴 5 力为零。
N1
3、无外力作用的三杆结点
N2 N2 = 0 N1 = N3 N3
二、截面法
用截面截取两个以上结点作为对象，列出平面一般 力系的三个平衡方程：∑X = 0，∑Y = 0，∑M0= 0 计算三个杆件的未知轴力。 截面法适合于计算桁架中指定杆件的轴力。在计算 中为了避免解联立方程，应注意对平衡方程的选择。 一般情况下，用截面法计算时未知力不超过三个， 但在某些特殊情形下，当截断杆数超过三根是时，可 以求出其中一根杆的轴力。 6
－10－NAC Sin30o =0 NAC = －20kN（压杆） ∑X= 0
－NAB －NAC Cos30o =0
NAB = 10√3 =17.3kN（拉杆）
7
NAC=NC E=NE G
例2：求图示指定杆的轴力 8kN
8kN 3m 3m 4m m 4kN D C N1 4kN 2 3 4 n m B E
2、突变：在集中力作用处，剪力图有突变，弯矩图 有一尖角；在集中力偶作用处，弯矩图有突变，剪力 图无变化。 3、端值情况
详见教材p98表3-1
18
规律作图方法：
1、水平线图：段内任取截面求内力（一般取段端截面） 2、斜直线图：段内任取两截面求内力（一般取段两端 截面）
3、抛物线图：段内取两端截面及中间截面求弯矩
内力分析的基本方法-截面法
一、内力的概念 外力：作用在杆件上的载荷和约束力。 内力 ：杆件在外力作用下发生变形，引起内部相邻各部分 相对位置发生变化，相连两部分之间的互相作用力。 二、截面法 1、截面法：是求内力的基本方法。 截面法的步骤： （1）截 （2）取代
m
P
m
P
P
m m
m
N N
P
m
（3）平衡
MCB = 0
B 8
NCB = NBC = 0 MBC = 2×4×2 =16kNm（上拉） N图 － NBA = NAB （kN) MBA = 2×4×2 = 16kNm（右拉） = －2×4 A 8 =－8 kN MAB =2×4×2 = 16kNm（右拉）
30
例2、作下图(a)所示简支刚架的内力图。
简 支梁
悬臂梁
外伸梁
12
三、梁的内力剪力和弯矩
P1 RA
m
M
Q
M Q
m
P2
m
m
RA
RB
RB
取截面m-m以左为对象:
该相切于横截面的集中力称为剪力，用Q表示； 位于纵向对称平面内的力偶称为弯矩，用M表示。
由平衡方程: ΣΥ=0 求得Q 取截面m-m以右为对象， 同理可得。
13
Σmc=0 求得M
剪力、弯矩的正负号规定 剪力使隔离体产生顺转为正，逆转为负； 弯矩使隔离体产生下凸为正，上凸为负。
得：N2= -14.1kN（压） 得：N1=-30 kN（压） 得：N3=40 kN（拉）
11
由
由

MD = 0
E
M
=0
-30×4-N3×2-20×2+60×4= 0
再取截面Ⅱ-Ⅱ可分析
N4 = 0
2.弯曲梁内力-弯矩、剪力
一、弯曲变形和平面弯曲
外力特点：杆件受到垂直于轴线的外力或在纵向 对称平面内受到力偶作用。 变形特点：杆轴由直线变成曲线，并位于加载平面内。 二、单跨梁的类型
q
A 2m B C 2m 2m FP D (a)
和弯矩图。
解：先求支座反力，由MD =0，得：
FB =
q 2 5 + FP 2 5 2 5 +15 2 = = 20kN() 4 4
由y =0，得：FD = q2+FP -FB = 52+15 –20 =5kN(↑) 作 Q图如下：
取左段为研究对象：ΣΧ= 0
或取右段为研究对象：ΣΧ= 0
N－P = 0
－N+P = 0
得 N = P
得 N = P
1
三种主要内力
1、拉、压杆的内力-轴力 定义：通过截面形心，沿着杆件轴线的内力称为 轴力。用N表示。 轴力的正负号规定：使杆件产生拉伸变形为正； 产生压缩变形为负。或轴力离开截面为正；指向 截面为负。 拉力
P P N N P P
N N
压力 轴力的单位：N 或 kN
2
结构内力1：平面桁架内力计算
一、桁架的特点
（1）结点都是铰结点；
（2）各杆的轴线都是直线，且通过铰的中心； （3）荷载和支座反力都作用在结点上； （4）各杆只有轴力；
二、桁架的几何组成分类 （1）简单桁架；（2）联合桁架；（3）复杂 桁架。 3
得 QE = 0 得 ME = qL2
16
QD
*剪力图和弯矩图 绘制方法1：根据梁的剪力方程和弯矩方程绘制剪力 图和弯矩图。 注意：1、当弯矩图为曲线时，至少要三个控制面 的值一般取两端点和Q=0的截面弯矩值（若无Q = 0 的截面，则取中间截面的弯矩值） 2、弯矩图画在受拉侧，不标正、负
17
绘制方法2：利用荷载与内力间的微分关系运用规律 1、图形：⑴在均布荷载作用区段：Q图为斜直线；M图 为抛物线，抛物线的凸向与q的指向一致。 ⑵在无荷载作用区段：Q图为水平线；M图为斜直线。
截取一个结点为对象，列出平面汇交力系的两个平 衡方程：∑X = 0； ∑Y = 0计算杆件的未知轴力。 结点法宜应用于解简单桁架的全部杆件的轴力，以 及和截面法联合应用求解桁架部分杆件的轴力。
结点法的特殊情形 — 零杆的判别
1、无外力作用的不共线的两杆结点，两杆轴力都为零。
N1
N1 N2 N1 =N2 =0 P
举例
19
例：作图示简支梁的内力图。 MDE中= 10×4－4×2×1
4kN/m
16kN
= 32kNm(下拉） E
A C D 22kN 1m 1m
B
10kN
2m
4m
EB段： QB= QE= －10kN MB = 0
1、求支座反力（如图） 2、分段，并求控制截面内力
AC段： MA = 0 QA= QC左= 22kN MC= 22×1= 22kNm(下拉）
28
三、刚架的类型
1、悬臂刚架
2、简支刚架
3、三铰刚架
4、多跨或多层刚架
29
例1：作图示刚架 的内力图。
2kN/m C A C
16 4 B 16 C B
B
5m
M图 （kNm) A
16
－ 8 Q图 （kN) A
4m
QCB = 0 QBC = －2×4 =－8kN QBA = QAB = 0 C
计算杆端内力作内力图
10
Ө Ө
Q 图(kN)
(b)
10
5
22
q A B
FP C D (a) 2m
求出各控制点的弯矩值： M C = FD 2 = 5 2 =10kN· m MB = -q2 1= -52 1
Ө
2m
2m
10
Ө
Q 图(kN)
=-10kN· m MA =0， MD =0 可按作图规律 作M图。
MA A
P a b
MB B MA M Pab L MB
L
M怎么计算？
MA A MA B MB MB P
＋
A Pab L
B
当P作用在AB段中点时，又是怎样？
25
二、分段叠加法
P A C MC
q
a
D
B
MD
梁上任意段都可用叠加法画弯矩图，具体做法 如下： （以CD段为例） 1、用截面法求出MC、MD，将其值画在杆件受 拉一侧。 2、将MC、MD连以虚线，以此为基线，从该基线 的中点铅垂向下qa2/8。 3、将MC、MD和中点以曲线相连，即得该段的弯 矩图。
三、桁架杆件轴力的正负号规定
桁架杆件的轴力以拉力为正，压力为负。计算时 通常假设杆件的未知轴力为拉力，若计算结果为正， 说明杆件受拉，反之受压。
桁架斜杆轴力的表示：
B L A N LX LY N N X A
B
Y
存在以下比例关系：
Y X N = = LY LX L
4
计算桁架杆件轴力的方法 一、结点法
30
＋
10 C
10 D
－
A 30kN 2m
C
2m
D
4m
B
30kN
A
B
M图（kNm)
A C 60 D
30 B 40
1、求支座反力（如图）
2、分段作内力图
MDB中= 30×2－10×2×1
40 80
= 40kNm（下拉）
21
补例. 外伸梁如图(a)所示，已知 q=5kN/m，FP=15kN，试作梁的剪力图
思考：AC段和DB段怎么画？
26
例：作如图所示梁的弯矩图。
3kNm A 4kN 1kN/m B 2.5m D 2m
2、用分段叠加法 绘制弯矩图。
2.5m
C
解：用分段叠加法，可以不 求支座反力画出弯矩图。
1、计算控制截面弯矩。 MA=－3kNm（上拉） MB=－1×2×1
3
C (5) A
2
0.5
B
D
例1：求图示桁架各杆的轴力。 取A结点为对象：
2m 2m 2m
F
17. 3D 17. 3 B 17. 3 0 30o －20 0 0
10kN A
NAB 10kN
30o
A
－20C G －20 E
0
NAC
∑Y= 0
解：利用各结点的平 衡条件计算各杆轴力
由结点B、C、D、E可知： NBC=NCD=NDE=NEF= 0 且：NAB=NBD=NDF
B
2m 2m
10
解： 求支座反力
FC-10-20-30= 0
Ⅱ
A
由
F
y
=0
得：FC= 60 kN（↑）
用截面Ⅰ—Ⅰ将桁架截开，如下图所示：
10kN E Ⅰ 1 20kN 30kN
取右边部分，作受力图如下：
20kN 30kN
4
2
N1
D C
N2
B
ⅡⅠ
N3
D
C 60kN
由

y
=0
N2 sin45+60-20-30= 0 （60-30）×2+ N1×2= 0
2.5
=－2kNm（上拉） MD=0
27
结构内力2： 静定平面刚架内力计算 一、刚架定义 刚架是由梁、柱等直杆组成的具有刚结点的结构， 其中全部或部分结点为刚结点。如图所示 D P C PC D
A
二、刚架的特点
B
A
B
1、结构内部空间较大，便于利用。 2、刚架的内力、变形峰值比用铰结点连接时小。
3、刚结点能传递力和力矩；而铰结点则只能传递力。
RA
RB 1、计算支座反力
得: QD= qL/2 Σmc= 0 MD–RA×L+qL×L/2 = 0 得: MD= qL2 取E--E截面右段为对象
ME
E
解得：RA=3qL/2 （竖直向上） RB=qL/2 （竖直向上）
2、取D--D截面左段为对象， 画出受力图 q D
MD
qL2
QE E
RA
D
ΣΎ= 0 Σmc= 0