第7章 拉普拉斯变换

解 因为
ℒ
sin
k
t
s2
k
k2
所以
ℒ
t n
n! s n 1
ℒ
eat sin kt
k (s a)2
k2
ℒ
eatt n
n! (s a)n1
7.2.4 微分性质 （1）象原函数的微分性质
若 ℒ f (t) F(s), 则
ℒ f (t) sF(s) f (0) (Res C)
一般地, ℒ f (n) (t) snF(s) sn1 f (0) sn2 f (0) L L f (n1) (0)
7.2.1 线性性质
设 ℒ f1(t) F1(s) ℒ f2(t) F2 (s) , 为常数则
ℒ f1(t) f2(t) F1(s) F2(s)
ℒ 1 F1(s) F2(s) f1(t) f2(t)
7.2.2 相似性质
若 F(s) = ℒ f (t) a 0 则
0t
0 1 s2
02
7.2.7 拉氏变换的卷积与卷积定理
(1)[0, ) 上的卷积定义
若函数 f1(t), f2(t) 满足, t 0 时都为零,
则可以证明卷积
f1(t) f2 (t)
f1( ) f2 (t )d
t 0
f1( ) f2 (t )d
称为函数 f1(t), f2 (t) 在 [0, )上的卷积.
testdt 1 tes t 1
0
s
0s
0
e s t dt
1 s2
Res 0
(t)
tu(t)
1 s2
例5 求幂函数 tn n 1的拉氏变换
解
ℒ tn
t n
0
est dt
n 1 s n 1
Res 0
当 n 为正整数时,
ℒ tn
n! sn1
Res 0
tn
n! sn1
若函数 f (t) 满足下列条件
Ⅰ 在 t 0 的任一有限区间上连续或分段连续,
t 0 时, f (t) 0 Ⅱ 当 t 时, f (t) 的增长速度不超过某一指数函
数,亦即存在常数 M 0, 及 C 0 ,使得
f t Mec t 0 t
成立,则函数 f (t)的拉氏变换 F(s) f (t)estdt 0
第7章 拉普拉斯变换
7.1 拉普拉斯变换 7.2 拉普拉斯变换的基本性质 7.3 拉普拉斯逆变换 7.4 拉普拉斯变换的应用
7.1 拉普拉斯变换
7.1.1拉普拉斯变换的概念
定义1 设函数 f (t)当 t 0 有定义,而且积分
f (t) estdt (s 是一个复参量） 0
在 s 所确定的某一域内收敛,则由此积分所确定的
函数可写为 F(s) f (t) estdt 0
我们称上式为函数 f (t) 的拉普拉斯变换式 ,记做
F (s) ℒ f (t)
F(s) 叫做 f (t) 的拉氏变换,象函数.
f (t) 叫做 F(s) 的拉氏逆变换,象原函数, f (t) = ℒ 1 F(s)
7.1.2 拉普拉斯变换存在定理
f (t) t ℒ 1 F(s)
例9 求函数 ℒ t sin kt
解
因为
ℒ
sin k t
s2
k k2
所以,ℒ
t
sin
kt
d ds
s
2
k k2
2ks s2 k2
2
同理,ℒ
t
cos kt
d ds
s2
s k2
s2 k2 s2 k2 2
7.2.5 积分性质
（1）象原函数的积分性质
所以 f t sint 1ut 1
例15
已知
F s s3 s2 s 5
s
求 f (t)
解
F s s3 s2 s 5 s2 s 1 5
s
s
所以 f t t t t 5
例16 已知
F
s
s
2s 5
22
9
求 f (t)
解
F
s
s
2s 5
22
源自文库
9
2s s 22
2
32
解 设ℒ y t Y(s)
对方程两边取拉氏变换,并考虑到初始条件,则
得
s2Y s 1 2sY s 3Y s 1
s 1
解得
Y
(s)
s
s
1 s
2
1 s
3
1 4
s 1
s
3
8 1
1 8
s3
所以 y t 1 et 3 et 1 e3t
4 88
2.4.2 线性系统的传递函数
ℒ
f (at)
1 a
F
s a
ℒ
1
F
(
s a
)
af
(at)
7.2.3平移性质 （1）象原函数的平移性质
若ℒ f (t) F (s) t0 为非负实常数,则
ℒ f (t t0)u(t t0) est0 F(s)
ℒ 1est0 F(s) f (t t0)u(t t0)
例7
求函数
u(t
ℒ tm ℒ tn
m! s m1
n! s n 1
m!n! s m n 1
所以
f1 (t )
f2
(t)
ℒ
-1
m!n! smn2
m!n! tmn2
m n 2!
7.3 拉普拉斯逆变换
根据拉普拉斯变换的定义
f t 1
j
F
s
es t ds
t 0
2 j j
右端的积分称为拉氏反演积分.它是一 个复变函数的积分,但计算比较麻烦.
在半平面 Res > C上一定存在.此时右端的积分绝对
收敛而且一致收敛.并且在此半平面内 F s为解析
函数
7.1.3 一些常用函数的拉普拉斯变换
例1 求单位脉冲函数 t 的拉氏变换
解
ℒ (t)
(t) estdt
1
0
t 1 例2 求单位阶跃函数 u t 的拉氏变换
解 ℒ u(t) estdt 1 es t 1
1 3
s
3
22
32
所以 f t 2e2 t cos 3t 1 e2 t sin 3t
3
2.3.2 利用留数定理求拉氏逆变换
7.4 拉普拉斯变换的应用
7.4.1常系数线性微分方程的拉普拉斯变换解法
利用拉普拉斯变换可以比较方便地求解常系 数线性微分方程（或方程组）的初值问题,其 基本步骤如下:
f (t)
0 t dt 0 F(s)ds
收敛
例10
求ℒ
t 0
sin t
t
dt
解
因为
ℒ
sin
t
1 s2 1
ℒ [sin t ] t
s
1 s2 1
ds
arctan
s
s
2
arctan
s
所以
ℒ
t 0
sin t
t
dt
2
arctan
s
顺便可得
sin t dt
1
ds arctan s
（1）根据拉普拉斯变换的微分性质和线性 性质,对微分方程（或方程组）两端取拉普拉 斯变换,把微分方程化为象函数的代数方程;
（2）从象函数的代数方程中解出象函数; （3）对象函数求拉普拉斯逆变换,求得微分 方程（或方程组）的解.
例17 求微分方程 y 2y 3y et 满足初始条件
y 0 0 y0 1 的解
0
s 0s
ut 1
s
Res 0
例3 求函数 f (t) ek t 的拉氏变换 k R.
解
ℒ
f (t)
ektest dt e(sk )t dt 1
0
0
sk
ekt 1
sk
Res k
例4 求单位斜坡函数
t
0
t
t 0 t u t的拉氏变换
t0
解
ℒ (t)
例6 求正弦函数 f (t) sin k t (k R) 的拉氏变换
解 ℒ f (t) sin k t estdt 1 sin k t dest
0
s0
1 s
e s t
sin
k
t
0
k
0
est
cos
k
tdt
1 s2
0
est
cos
k
tdt
则
1 s2
e s t
则
ℒ f1(t) f2(t) F1(s)F2(s)
ℒ 1 F1(s)F2(s) f1(t) f2(t)
例12 已知 f1 t tm, f2 t tn,(m,n 为正整数)
求在 [0, ) 上的卷积 f1(t) f2 (t).
解 因为
ℒ f1(t) f2 (t) F1(s)F2 (s)
拉氏逆变换的性质
ℒ 1 F1(s) F2(s) f1(t) f2(t)
ℒ
1
F
(
s a
)
af
(at
)
ℒ 1 F(s a) f (t) ea t
ℒ 1est0 F(s) f (t t0)u(t t0)
ℒ
ℒ
1
F
(s) s
t
f (t)dt
0
1 F(s) tf (t) ℒ
1
求拉普拉斯逆变换的方法主要有留数法、部分 分式法、查表法等. 我们简单介绍留数法和查表法.
2.3.1 利用拉普拉斯变换表和性质求拉普拉斯逆 变换
一些常用函数的拉氏变换
(t) 1 (n) (t) sn
u(t) 1 s
ekt 1 sk
tn
n! sn1
k sin kt s2 k 2
s cos kt s2 k 2
b)
0 1
t b (b 0) 的拉氏变换
t b
解 因为
ℒ
u(t)
F(s)
1 s
所以
ℒ
u(t
b)
1 s
esb
（2）象函数的平移性质
若 ℒ f (t) F(s), a 为实常数,则
ℒ eat f (t) F(s a)
n 例8 求 ℒ eat sin kt , ℒ eattn ( 为正整数).
若 ℒ f (t) F(s),
则 ℒ [ t f (t)dt] F(s)
0
s
ℒ
1
F
(s) s
t
f (t)dt
0
一般地
t
t
t
1
ℒ
[ dt dtL L 10 4 40 44 2 4
f (t)dt 04 4 43
]
sn
F (s)
n次
（2）象函数的积分性质
若
ℒ f (t) F(s),
且积分
3t
s2
s
9
Res 0
7.1.4 周期函数的拉普拉斯变换
可以证明:若 f (t)是周期为T 的周期函数,即
f (t T ) f (t) (t 0)
当 f (t)在一个周期上连续或分段连续时,则有
1
ℒ f (t) 1 es T
T f (t)es tdt
0
这是求周期函数拉氏变换公式
7.2 拉普拉斯变换的性质
特别地,当 f (0) f (0) f (0) L L f (n1) (0) 0 时,
ℒ f (n) (t) snF(s)
可以证明
ℒ (n) (t) sn
（2）象函数的微分性质
若 ℒ f (t) F(s), 则
F(s) ℒ tf (t)
从而 ℒ tf (t) F(s)
ℒ 1 F(s) tf (t)
s
F (s)ds
收敛
则
ℒ [ f (t)]
F (s)ds
t
s
或
一般地
f (t) 1 t
ℒ
1
s
F
(s)ds
f (t)
ℒ [
tn
] ds dsL L ds 1s 4 4 s 4 2 4 4 s4 3
F (s)
n次
推论 若 ℒ f (t) F(s), 且积分s F(s)ds
则
sin k t e
0
cos k t
st dt
0
k s2
k 0 k2
s2
est sin k tdt
sin k t
0
e
s
t
dt
所以
ℒ
sin k
t
s2
k
k2
Res 0
即
k sin kt s2 k 2
同理可得
s cos kt s2 k 2
如
ℒ
sin
2t
s2
2
4
Res 0
ℒ
cos
s
F
(
s)ds
f (t) t
ℒ 1 F1(s)F2(s) f1(t) f2(t)
例13
已知
F
s
s
1
s 1
求 f (t)
解
F
s
1
s s 1
1 s
s
1 1
所以 f t 1 et
例14 已知
F
s
s
1 2
1
e
s
求 f (t)
解
ℒ
1
1 s2
1
sin
t
ℒ 1est0 F(s) f (t t0)u(t t0), t0 1
例11对函数 f1 t 1 , f2 (t) et 计算 [0, )上的卷积
解
f1(t) f2 (t)
t 0
f1
f2
t
d
t1e(t )d et t e d
0
0
et (et 1) 1 et
(2)拉氏变换的卷积定理
若 ℒ f1(t) F1(s), ℒ f2(t) F2 (s),