2018版高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念课件新人教A版选修2_2
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a＝4或a＝－1， 即 a＝6或a＝－1，
所以 a＝－1.
方法归纳 复数相等的充要条件 (1)在两个复数相等的充要条件中， 注意前提条件是 a， b， c， d∈R，即当 a，b，c，d∈R 时，a＋bi＝c＋di⇔a＝c 且 b＝d.若 忽略前提条件，则结论不能成立． (2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到 “化虚 为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解.
方法归纳 复数的分类： 复数 z＝a＋bi(a，b∈R)，当满足①b＝0 时复数 z 是实数， ②b≠0 时复数 z 是虚数，③a＝0，b≠0 时复数 z 是纯虚数．研 究一个复数在什么情况下是实数、虚数或纯虚数时，首先要保证 这个复数的实部、虚部是否有意义． 特别提醒：特别注意复数是实数、虚数和纯虚数时，采用的 是标准形式的代数式，若不是复数的标准代数形式，应先化为复 数的标准代数形式 z＝a＋bi(a，b∈R)，再依据概念求解、判断 复数是实数，仅注重虚部为零是不够的，还需要考虑它的实部是 否有意义.
解析：①－3i＋5＝5－3i，∴－3i＋5 的实部是 5，虚部是－ 3，①是假命题．②由于 x，y∈C，所以 x＋yi 不一定是复数的代 数形式，不符合复数相等的充要条件，②是假命题．③当 x＝1， y＝i 时，x2＋y2＝0 成立，∴③是假命题．故选 A. 答案：A
类型二 复数的分类 a2－7a＋6 [例 2] 已知复数 z＝ ＋(a2－5a－6)i(a∈R)，试求 2 a －1 实数 a 分别取什么值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚 数．
方法归纳 (1)一个数的平方为非负数在实数范围内是真命题，在复数 范围内是假命题，所以在判定数的性质和结论时，一定要关注在 哪个数集上． (2)对于复数实部、 虚部的确定不但要把复数化为 a＋bi 的形 式，更要注意这里 a，b 均为实数时，才能确定复数的实、虚部.
跟踪训练 1 下列命题中，正确命题的个数是( ) ①复数－3i＋5 的实部是－3，虚部是 5； ②若 x，y∈C，则 x＋yi＝1＋i 的充要条件是 x＝y＝1； ③若 x2＋y2＝0，则 x＝y＝0. A．0 B．1 C．2 D．3
【课标要求】 1.了解引进虚数单位 i 的必要性，了解数集的扩充过程. 2. 理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些 基本概念. 3.掌握复数代数形式的表示方法， 理解复数相等的充要条件.
自主学习 |新知预习|
基础认识
1．复数的有关概念 (1)复数． ①定义：形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中 i 叫做虚 数单位，满足 i2＝－1，a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部． ②表示方法： 复数通常用字母 z 表示， 即 z＝a＋bi(a， b∈R)， 这一表示形式叫做复数的代数形式． (2)复数集． ①定义：全体复数所成的集合叫做复数集． ②表示：通常用大写字母 C 表示．
解析：由复数的概念可知 R⊂C，I⊂C，R∩I＝∅. 答案：D
5．如果复数 z＝(a2－1)＋(a－1)i 为纯虚数，则 a 的值等于 ________．
2 a －1＝0， 解析：由题意知 a－1≠0，
解得 a＝－1. 答案：－1
课堂探究 互动讲练 类型一 复数的概念 [例 1] 下列命题： ①若 a∈R，则(a＋1)i 是纯虚数； ②若 a，b∈R，源自文库 a>b，则 a＋i>b＋i； ③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i 是纯虚数，则实数 x＝± 2； ④两个虚数不能比较大小． 其中正确的是( ) A．① B．② C．③ D．④
【解析】 对于复数 a＋bi(a，b∈R)，当 a＝0 且 b≠0 时， 为纯虚数．对于①，若 a＝－1，则(a＋1)i 不是纯虚数，即①错 误．两个虚数不能比较大小，则②错误．对于③，若 x＝－2， 则 x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0，不 是纯虚数，则③错误．显然，④正确．故选 D. 【答案】 D
m2＋m－6 2 跟踪训练 2 当实数 m 为何值时，复数 z＝ ＋ ( m m －2m)i 为：(1)实数；(2)虚数．
2 m －2m＝0 解析：(1)当 m≠0
，
即 m＝2 时，复数 z 是实数． 2 m －2m≠0， (2)当 m≠0 即 m≠0 且 m≠2 时，复数 z 是虚数.
2. 5i－1 的实部和虚部分别是( ) A. 5，－1 B．－1， 5 C．1， 5 D. 5，1
解析： 5i－1＝－1＋ 5i＝a＋bi， 所以实部 a＝－1，虚部 b＝ 5. 答案：B
3．复数 i－i2 的虚部为( A．0 B．1 C．i D．－2
)
解析：i－i2＝1＋i. 答案：B
4．用 C，R 和 I 分别表示复数集、实数集和虚数集，那么 有( ) A．C＝R∩I B．R∩I＝{0} C．R＝C∩I D．R∩I＝∅
2．复数的分类 (1)对于复数 z＝a＋bi(a，b∈R)而言， ①z 为实数⇔b＝0， ②z 为虚数⇔b≠0， a＝0， ③z 为纯虚数⇔ b≠0. (2)集合表示：
3．复数相等的充要条件 设 a，b，c，d 都是实数，那么 a＋bi＝c＋di⇔a＝c 且 b＝ d.
|自我尝试| 1．判断下列命题(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若 m＋ni＝2－3i，则 m＝2，且 n＝－3.( × ) (2)复数 z1＝3i，z2＝2i，则 z1>z2.( × ) (3)复数 z＝bi 是纯虚数．( × )
类型三 复数相等 [例 3] (1)设 x，y∈R，且(2x－3y＋7)＋(x－y)i＝(3x－2y)i ＋x＋y.求 x ，y. (2)已知 A＝{1,2，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1,3}， A∩B＝{3}，求实数 a 的值．
【解析】 (1)因为 x，y∈R，由复数相等的条件得 2x－3y＋7＝x＋y， x＝1， 解得 x－y＝3x－2y， y＝2. (2)由题意知，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i＝3(a∈R)， 2 a －3a－1＝3， 所以 2 a －5a－6＝0，
所以 a＝－1.
方法归纳 复数相等的充要条件 (1)在两个复数相等的充要条件中， 注意前提条件是 a， b， c， d∈R，即当 a，b，c，d∈R 时，a＋bi＝c＋di⇔a＝c 且 b＝d.若 忽略前提条件，则结论不能成立． (2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到 “化虚 为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解.
方法归纳 复数的分类： 复数 z＝a＋bi(a，b∈R)，当满足①b＝0 时复数 z 是实数， ②b≠0 时复数 z 是虚数，③a＝0，b≠0 时复数 z 是纯虚数．研 究一个复数在什么情况下是实数、虚数或纯虚数时，首先要保证 这个复数的实部、虚部是否有意义． 特别提醒：特别注意复数是实数、虚数和纯虚数时，采用的 是标准形式的代数式，若不是复数的标准代数形式，应先化为复 数的标准代数形式 z＝a＋bi(a，b∈R)，再依据概念求解、判断 复数是实数，仅注重虚部为零是不够的，还需要考虑它的实部是 否有意义.
解析：①－3i＋5＝5－3i，∴－3i＋5 的实部是 5，虚部是－ 3，①是假命题．②由于 x，y∈C，所以 x＋yi 不一定是复数的代 数形式，不符合复数相等的充要条件，②是假命题．③当 x＝1， y＝i 时，x2＋y2＝0 成立，∴③是假命题．故选 A. 答案：A
类型二 复数的分类 a2－7a＋6 [例 2] 已知复数 z＝ ＋(a2－5a－6)i(a∈R)，试求 2 a －1 实数 a 分别取什么值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚 数．
方法归纳 (1)一个数的平方为非负数在实数范围内是真命题，在复数 范围内是假命题，所以在判定数的性质和结论时，一定要关注在 哪个数集上． (2)对于复数实部、 虚部的确定不但要把复数化为 a＋bi 的形 式，更要注意这里 a，b 均为实数时，才能确定复数的实、虚部.
跟踪训练 1 下列命题中，正确命题的个数是( ) ①复数－3i＋5 的实部是－3，虚部是 5； ②若 x，y∈C，则 x＋yi＝1＋i 的充要条件是 x＝y＝1； ③若 x2＋y2＝0，则 x＝y＝0. A．0 B．1 C．2 D．3
【课标要求】 1.了解引进虚数单位 i 的必要性，了解数集的扩充过程. 2. 理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些 基本概念. 3.掌握复数代数形式的表示方法， 理解复数相等的充要条件.
自主学习 |新知预习|
基础认识
1．复数的有关概念 (1)复数． ①定义：形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中 i 叫做虚 数单位，满足 i2＝－1，a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部． ②表示方法： 复数通常用字母 z 表示， 即 z＝a＋bi(a， b∈R)， 这一表示形式叫做复数的代数形式． (2)复数集． ①定义：全体复数所成的集合叫做复数集． ②表示：通常用大写字母 C 表示．
解析：由复数的概念可知 R⊂C，I⊂C，R∩I＝∅. 答案：D
5．如果复数 z＝(a2－1)＋(a－1)i 为纯虚数，则 a 的值等于 ________．
2 a －1＝0， 解析：由题意知 a－1≠0，
解得 a＝－1. 答案：－1
课堂探究 互动讲练 类型一 复数的概念 [例 1] 下列命题： ①若 a∈R，则(a＋1)i 是纯虚数； ②若 a，b∈R，源自文库 a>b，则 a＋i>b＋i； ③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i 是纯虚数，则实数 x＝± 2； ④两个虚数不能比较大小． 其中正确的是( ) A．① B．② C．③ D．④
【解析】 对于复数 a＋bi(a，b∈R)，当 a＝0 且 b≠0 时， 为纯虚数．对于①，若 a＝－1，则(a＋1)i 不是纯虚数，即①错 误．两个虚数不能比较大小，则②错误．对于③，若 x＝－2， 则 x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0，不 是纯虚数，则③错误．显然，④正确．故选 D. 【答案】 D
m2＋m－6 2 跟踪训练 2 当实数 m 为何值时，复数 z＝ ＋ ( m m －2m)i 为：(1)实数；(2)虚数．
2 m －2m＝0 解析：(1)当 m≠0
，
即 m＝2 时，复数 z 是实数． 2 m －2m≠0， (2)当 m≠0 即 m≠0 且 m≠2 时，复数 z 是虚数.
2. 5i－1 的实部和虚部分别是( ) A. 5，－1 B．－1， 5 C．1， 5 D. 5，1
解析： 5i－1＝－1＋ 5i＝a＋bi， 所以实部 a＝－1，虚部 b＝ 5. 答案：B
3．复数 i－i2 的虚部为( A．0 B．1 C．i D．－2
)
解析：i－i2＝1＋i. 答案：B
4．用 C，R 和 I 分别表示复数集、实数集和虚数集，那么 有( ) A．C＝R∩I B．R∩I＝{0} C．R＝C∩I D．R∩I＝∅
2．复数的分类 (1)对于复数 z＝a＋bi(a，b∈R)而言， ①z 为实数⇔b＝0， ②z 为虚数⇔b≠0， a＝0， ③z 为纯虚数⇔ b≠0. (2)集合表示：
3．复数相等的充要条件 设 a，b，c，d 都是实数，那么 a＋bi＝c＋di⇔a＝c 且 b＝ d.
|自我尝试| 1．判断下列命题(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若 m＋ni＝2－3i，则 m＝2，且 n＝－3.( × ) (2)复数 z1＝3i，z2＝2i，则 z1>z2.( × ) (3)复数 z＝bi 是纯虚数．( × )
类型三 复数相等 [例 3] (1)设 x，y∈R，且(2x－3y＋7)＋(x－y)i＝(3x－2y)i ＋x＋y.求 x ，y. (2)已知 A＝{1,2，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1,3}， A∩B＝{3}，求实数 a 的值．
【解析】 (1)因为 x，y∈R，由复数相等的条件得 2x－3y＋7＝x＋y， x＝1， 解得 x－y＝3x－2y， y＝2. (2)由题意知，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i＝3(a∈R)， 2 a －3a－1＝3， 所以 2 a －5a－6＝0，