圆轴扭转的切应力与强度计算变形几何关系

2 MC
(3) 绘 制 扭 矩 图
如 图 5.7(d) 所 示 。 由 图 可 知 ， AB 段 所 承 受的扭矩最大，其值 为-143.24 N· m 。
2
C
(b) MA
T1 1 2
(c) MA T (d) 0 MB 2
T2
x －4 7.75 N· m
图 5.7
－1 43 .2 4 BN· m
第5章 扭 转 与 剪 切
第5章 扭 转 与 剪 切 【例5.3】 已知一传动轴如图5.7(a)所示，主动轮A上输入功 率为15 kW，B、C轮为输出轮，输出轮B上输出功率为10 kW，
轴的转速为n=1000 r/min。试求各段轴横截面上的扭矩，并绘出
扭矩图。 解 (1) 计算外力偶矩M。
15 M A 9549 143.24N m 1000 10 M B 9549 95.49N m 1000
d tan R dx
第5章 扭 转 与 剪 切 那么，距轴线为ρ的任意一点的切应变为
d dx
对于给定的横截面，dφ/dx为常量。故由（5.2 ）式可知，横 截面上任意一点的切应变与该点到圆心的距离ρ成正比。
M3
T
M2
M3
(c)
图 5.4
第5章 扭 转 与 剪 切
由力偶平衡条件可知：m-m截面上必须有一个内力偶矩与外
力偶矩Ｍ1平衡，此内力偶矩称为扭矩，用符号T表示，T的单位 为N·m。
由∑m=0得
M1 T 0
T M1
若取m-m横截面的右端部分为研究对象，画出受力图, 如图
5.4(c) 所示。可求得 m-m 横截面上的扭矩 T′ ，显然， T′ 与 T 大小相 等，方向相反，即为作用与反作用关系。 由∑m=0 T′+Ｍ2-M3=0 T′=M3-M2(M1=M3-M2)
第5章 扭 转 与 剪 切 其变形特点是：杆件的任意两横截面绕轴线产生相对转动， 但杆的轴线位置和形状保持不变。这种变形称为扭转。以扭转
为主要变形的杆件称为轴。
第5章 扭 转 与 剪 切 5.1.2
F A
F
M B
图 5.2
第5章 扭 转 与 剪 切
F
d
F
Me
图 5.3
第5章 扭 转 与 剪 切
5.3 圆轴扭转的切应力与强度计算
5.3.1 变形几何关系 取一等截面圆轴，在其表面上作出两条平行于轴线的纵向 线aa 、bb, 两条圆周线 11、 22 ，如图 5.8 (a) 所示。再在圆轴
的两端分别作用一个外力偶 M，使杆件发生扭转变形。由图5.8
(b）可以看到以下变形现象：各圆周线的形状、大小、间距保 持不变， 只绕轴线作相对转动；各纵向线倾斜了一个相同的角 度γ， 由圆周线与纵向线组成的原矩形变成了平形四边形。
第5章 扭 转 与 剪 切
由以上分析可知：圆轴受扭转变形后，其横截面大小和形状
不变， 由此可导出横截面上沿半径方向无切应力作用；又由于 相邻横截面的间距不变，因此横截面上无正应力作用。但因为
相邻横截面发生绕轴线的相对转动，所以横截面上必然有垂直
于半径方向的切应力。切应力用符号τ表示。 在圆轴上取一微段 dx，放大后如图5.8(c)所示，右截面相对 于左截面转过了一个角度 dφ，半径由O2B转至O2C位置，纵向线 AB倾斜γ角度达到AC位置，A点的切应变为
矩沿轴线方向变化情况的图形称为扭矩图。
第5章 扭 转 与 剪 切
【例5.2】 绘出图5.6(a)所示的悬臂梁的扭矩图。
2 2 00 0N· m 1 B 2 T1 2 T2 2 T(N· m) 5 00 N· m O －1 50 0N· m x (d) B 1 2 00 0N· m 5 00 N· m (c) C 5 00 N· m (a) A 1 C
第5章 扭 转 与 剪 切 【例5.1】已知某传动轴传递的功率为7.5 kW，转速为300 r/min，试计算此传动轴传递的外力偶矩。 解 由公式(5.1)计算得
7.5 M 9549 238 .725 N m 300
第5章 扭 转 与 剪 切
M1 (a) m M1 (b)
T
m
M2
第5章 扭 转 与 剪 切
第5章 扭 转 与 剪 切
5.1 扭转的概念与实例 5.2 外力偶矩与扭矩 5.3 圆轴扭转的切应力与强度计算 5.4 圆轴扭转变形与刚度计算 5.5 剪切与挤压的实用计算 思考与练习
第5章 扭 转 与 剪 切
5.1 扭转的概念与实例
5.1.1 扭转的概念
T
T
图 5.1Leabharlann Baidu
第5章 扭 转 与 剪 切
Me T
n x (a)
(＋ )
(＋ ) x (b)
n T Me
图 5.5
第5章 扭 转 与 剪 切 5.2.3 扭矩图 通常圆轴上各横截面上的扭矩是不相同的。为了直观地表 示圆轴上扭矩的作用情况，把圆轴的轴线作为 x 轴（横坐标 轴）， 以纵坐标轴表示扭矩T，这种用来表示圆轴横截面上扭
方向与轴的转向相同 方向与轴的转向相反
第5章 扭 转 与 剪 切 (2) 计算扭矩T。 由图5.7(b)可得
T1+MA=0
由图5.7(c)可得
T1= -MA=-143.24N· m
T2+MA-MB=0
T2=MB-MA=-47.75N· m
第5章 扭 转 与 剪 切
1 (a) A MA 1 1 B MB
m 1 5 00 N· (b)
图 5.6
第5章 扭 转 与 剪 切
解 (1) 计算梁上各段横截面上的扭矩。
因为是悬臂梁，可取截面的自由端部分BC段, 如图5.6（b） 所示。 由平衡方程T1-500=0 T1 =500 N·m AB段：如图5.6（c）所示。 T2+2000-500=0 T2 =-1500 N· m (2) 绘制扭矩图如图5.6 (d) 所示。
5.2 外力偶矩与扭矩
5.2.1 外力偶矩的计算 在工程中，作用于圆轴上的外力偶矩一般不是直接给出的，
通常给出的是圆轴所需传递的功率和转速。因此，需要了解功
率、 转速和外力偶矩三者之间的关系， 即
P M 9549 n
式中, M——作用于轴上的外力偶矩, 单位: N·m ； P——轴所传递的功率, 单位: kW n——轴的转速, 单位: r/min。 说明：轴上输入力偶矩是主动力偶矩，其转向与轴的转向相 同； 轴上输出力偶矩是阻力偶矩， 其转向与轴的转向相反。