三重积分概念及其计算

§ 5三重积分

教学目的掌握三重积分的定义和性质.

教学内容三重积分的定义和性质；三重积分的积分换元法；柱面坐标变换；球面坐标变换.

基本要求掌握三重积分的定义和性质，熟练掌握化三重积分为累次积分，及用柱面坐标变

换和球面坐标变换计算三重积分的方法.

教学建议⑴要求学生必须掌握三重积分的定义和性质，知道有界闭区域上的连续函数必可积•由于三重积分的定义与性质及充要条件与二重积分类似，可作扼要叙述与比较.

(2)对较好学生可布置这节的广义极坐标的习题.

、三重积分的概念

背景：求某非均匀密度的曲顶柱体的质量时，通过“分割、近似，求和、取极限”的步骤,

利用求柱体的质量方法来得到结果•一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义.

定义1设f x, y,z是定义在三维空间可求体积的有界闭区域V上的函数，J是一个确定的数，若对任给

的正数「总存在某个正数：，使对于V 的任何分割T ,

当它的细度T :：： '•时，属于T的所有积分和都有

N

瓦f Gl,q)眄-J o

\=1

f x，y,z在V上的三重积分，记作

ill f x,y,z dvdydz J = V

其中f x，y，z称为三重积分的被积函数，x,y,z称为积则称f x，y,z在V上可积，数J称为函数

分变量，称为V积分区域.

可积函数类

(i) 有界闭区域V上的连续函数必可积.

(ii) 有界闭区域V上的有界函数f x，y，z的间断点集中在有限多个零体积的曲面上,

则f x, y, Z必在v上可积•

二、化三重积分为累次积分

定理21.15若函数fx，y，z在长方体v=a，" c，dl e，fl上的三重积分存在，且对任何x a，b I二重积分

H f(x,y,z dydz

I x = D

存在，其中D =C，d 1 e，f】，则积分

b

dx f x, y,zd r

a D

b

in f x,y, z dxdydz . dx f x,y,zd二

也存在，且V =a D . (1)

为了方便有时也可采用其他的计算顺序•若简单区域v由集合

V J；X y, z|z x, y

所确定，V在xy

平面上的投影区域为

D =

：x, y |y! x 乞y 冬y2 x ,a 乞x 冬b

是一个x型区域，设f x,y,z在上连续，z i x,y , z2 x,y在D上连续，y i x, y? x上，a,bl 连续，则

z b y2 x z2

i n f x,y,z dxdydz ! idxdy f x,y,z dz , dx dy . f x, y,z dz

V = D z i x,y = a y i x z i x, y ,

其他简单区域类似.

般区域v上的三重积分，常将区域分解为有限个简单区域上的积分的和来计算.

平面 x -1, x = 2,z = 0,y = x

2 2 2

x y z , —+— <1

2 2 2 a b c

重积分换元法

y = y(u,v,w ), z = z(u,v,w )把 uvw 空间中的区域 V 一对一

地映成

xyz 空间中的区域v ，并设函数x = x u,v,w ， y 二y u,v, w ， z = z u,v,w 及它的

in f x,y,z dxdydz ill f x u,v,w , y u,v,w ,z u,v,w 则 V = v ■

其中f x ，y,z 在v 上可积.

（一）、柱面坐标变换：如下图所示 ex 石 ex cv ex

dw

J(u,v,w)=

生 型 空 式0

cu cv cw

cz cz 石 cv cw

偏导数在区域V 内连续且行列式

u,v,w2v ...21 2

例1计算v x y

例3改变下列累次积分顺序

设变换 T : X 二xu,v,w : 变换T :

Z =乙 —oO £ Z V 畑 cos 日 -r sin 日 0

sin 日 r cos 日 0

J (e,zL 0 0 1 =r ,

2

y_

b 2

| x = r cos = 0 _ t ：：：：

* y = r sin 日，0兰日兰2兀

ill f x, y, z dxdydz i ii f r cosy rsin v, z rdrd Wz

V V ■

这里V •为V 在柱面坐标变换下的原象.

在柱面坐标中：r =常数，是以z 轴为中心轴的圆柱面； 二=常数，是过z 轴的半平面; z =常数，是垂直于 z 轴的平面.

若V 在平面上的投影区域D ，即V 」x,y ,z 乙x,y 空乙乞乙x,y, x,y • »时

z 2 x,y

I I I f x, y,z dxdydz dxdy f x, y,zdz

V = D z i x,y

其中二重积分部分应用极坐标计算.

III 〔X 2 y 2 dxdydz

例4计算V ，其中V 是由曲面 例5计算iii zdxdydz,V 由x 2 y 2 z^ 4和抛物面

x 2 y 2 =3z 围成。

例 6 计算 111 x 2 y 2dxdydz,V 由 x 2 y 2 = z 2 和 z= 1

围

成。

（二）、球坐标变换

|x 二 r sin cos^,

< y = r sin ® sin 日, 变换「・

z =rco 汽

变换公式为:

按（4）式

0 辽 t ：：：：：

sin ®cos 日 —r cos® cos 日

sin sin r r cos sin -

-rsin : sin - r sin : cos- 」（「，护,日）=cos^

- rsi n^ =r 2 sin 2 /二z 与z 二4为界面的区域.