双曲线渐近线方程

双曲线渐近线方程
双曲线渐近线方程
百科名片
双曲线渐近线方程
双曲线渐近线方程，是一种几何图形的算法，这种主要解决实际中建筑物在建筑的时候的一些数据的处理。

双曲线的主要特点：无限接近，但不可以相交。

分为铅直渐近线、水平渐近线和斜渐近线。

是一种根据实际的生活需求研究出的一种算法。

渐近线特点：无限接近，但不可以相交。

分为铅直渐近线、水平渐近线和斜渐近线。

当曲线上一点M沿曲线无限远离原点时，如果M到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。

需要注意的是：并不是所有的曲线都有渐近线，渐近线反映了某些曲线在无线延伸时的变化情况。

根据渐近线的位置，可将渐近线分为三类：水平渐近线、垂直渐近线、斜渐近线。

y=k/x(k工0)是反比例函数，其图象关于原点对称，x=0，y=0为其渐近
线方程
当焦点在x轴上时双曲线渐近线的方程是y=[+(-)b/a]x 当焦点在y轴上时双曲线渐近线的方程是y=[+(-)a/b]x 双曲线的简单几何性质
1.双曲线x A2/a A2-y A2/b A2 = 1的简单几何性质
(1)范围：丨x | > a,y € R.
⑵对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及原点
中心对称.
(3)顶点：两个顶点A1(-a,0),A2(a,0) ，两顶点间的线段为实轴，长为
2a，虚轴长为2b，且c2 = a2+b2.与椭圆不同.
⑷ 渐近线：双曲线特有的性质，方程y =± b/ax，或令双曲线标准方
程x A2/a A2-y A2/b A2 = 1中的1为零即得渐近线方程.
(5)离心率e> 1,随着e的增大，双曲线张口逐渐变得开阔.
⑹ 等轴双曲线(等边双曲线)：x2-y2 = a2(a工0),它的渐近线方程为y =± b/ax,离心率e= c/a= V2 (7)共轭双曲线：方程-=1与-=-1表
示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注重方程的表达形式•注重：
1.与双曲线-=1共渐近线的双曲线系方程可表示为-二入(入工0
且入为待定常数)
2.与椭圆 =1(a > b> 0)共焦点的曲线系方程可表示为-=1(入v a2, 其中b2-入〉0时为椭圆，b2 v入v a2时为双曲线)
2.双曲线的第二定义
平面内到定点F(c,O)的距离和到定直线l:x = +(-)a2/c 的距离之比等
于常数e = c/a (c > a> 0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p二，与椭圆相同•
3.焦半径(- =1,F1(-c,0) 、F2(c,0))，点p(xO,yO)在双曲线- =1 的右支上时，| pF1 |= ex0 a, | pF2 |= exO-a;
P 在左支上时，则| PF1 | =ex1+a | PF2|= ex1-a.
本节学习要求：
学习双曲线的几何性质，可以用类比思想，即象讨论椭圆的几何性质一样去研究双曲线的标准方程，从而得出双曲线的几何性质，将双曲线的两种标准方程、图形、几何性质列表对比，便于把握
双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切；直线与双曲线的交点问题、弦长间问题都离不开一元二次方程的判别式，韦达定理等；渐近线的夹角问题与直线的夹角公式•三角函数中的相关知识，是
高考的主要内容•
通过本节内容的学习，培养同学们良好的个性品质和科学态度，培养同学们的良好的学习习惯和创新精神，进行辩证唯物主义世界观教育
双曲线的渐近线教案
教学目的
(1)正确理解双曲线的渐近线的定义，能利用双曲线的渐近线来画双
曲线的图形.
（2）掌握由双曲线求其渐近线和由渐近线求双曲线的方法, 步的
并能作初
应用，从而提高分析问题和解决问题的能力.
教学过程
一、揭示课题
师：给出双曲线的方程，我们能把双曲线画出来吗？
生（众）：能画出来.
师：能画得比较精确点吗？
（学生默然.）
匝例如画双曲线^-4 = 1（圏D，通过列表描点，我们把双曲线的顶点及 it y
其附近的点，比较精确地画出来.但双曲线向何处伸展就不很清楚了. 在
画其他曲线时，也有同样的问题.如曲线
我们可以比较精确地画出整个曲线•因为我们知道，当曲线伸向远处时，它逐渐地越
耒越接近于屛由和y轴，即苗由、y轴是曲线丄的渐近线；而曲线、=迂、它的一端
的趋向，我们是清楚的，它逐渐地在x轴负方向上越来越接近x轴，即
x轴为y = 2x的一条渐近线，但它的另一端则不然，它伸向何处是不够清楚的•所以双曲线和其他曲线一样，当它向远处伸展时，它的趋向如何，是需要研究的问题•今天这堂课，我们就来讨论一下“双曲线向何处去”这样一个问题.
（板书课题：双曲线的渐近线.）
、讲述定义
师：前一课我们讨论了双曲线的范围、对称性和顶点，我们回忆一下，双曲线的范围X W—a, x>a 是怎样得出来的？
直线x = —a和x= a的外侧•我们能不能把双曲线的范围再缩小一点？我们先看看双曲线在第一象限的情况.
设M（x, y）是双曲线上在第一象限内的点，则
考察一下y变化的范围:
因为x2—a2v x2，所以
这个不等式意味着什么?
（稍停，学生思考.）
这姐个二记一次不零式。

我們知谊它标一个区域即高堀=亠下方的半个
a
平面区域.
之间（含x轴部分）.这样，我们就进一步缩小了双曲线所在区域的范围.
为此，我们考虑下列问题:
经过A A作y轴的平行线x =± a,经过B、B i作x轴的平行线y =± b,
以看出，双曲线
的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近.
下面，我们来证明这个事实.
双曲线在第一象限内的方程可写成
y= 一胛一討
设M(x, y)是它上面的点，N(x , Y)是直线
上与M有相同横坐标的点，则
设|MQ|是点M到直线
的距离，则|MQ| v|MN| •当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，
|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的
下方逐渐接近于射线ON
在其他象限内也可以证明类似的情况•我们把两条直线
叫做双曲线的渐近线.
现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于实轴在y轴上的双曲线方程是由实轴在x 轴上的双曲线方程，将x、y字母对调所得到，自然，前者
渐近线也可由后考渐近线方程，将和y字母对调而得到.所以，双曲线弓-着=1
A u
这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向的问题，从而可比较精确地画出双
手画出比较精确的双曲线.
[提出问题，解决问题，善始善终.]
三、初步练习
(根据由双曲线求出它的渐近线方程与由渐近线求出相应的双曲线方程这两要求，出四个小题让学生练习. )
1.求下列双曲线的渐近线方程(写成直线方程的一般式)，并画出双曲线：
2 2 2 2
(1) 4x —y= 4; (2) 4x —y =—4.
求双曲线方程并画出双曲线.
（练习毕，由学生回答，教师总结. ）
解题的主要步骤：
第1题：（1）把双曲线方程化为标准方程；（2）求得a b; （3）根据定义写出渐近线方程.
第2题：（1）判断何种双曲线，设出相应的标准方程；（2）写出渐近
线方程，从而得到关于a、b的一个关系式；（3）将点M代入标准方程，得到关于a、b的另一个关系式；（4）解a、b的方程组，求得a、b,写出双曲线方程.
师：这是两个关于双曲线渐近线的最基本的练习•一个是由双曲线求渐近线，比较简单；一个是由渐近线求双曲线，却比较复杂•这是因为，一个是正向思考和运算，另一个是逆向思考和运算，有一定的难度.同时，因为一条双曲线有两条确定的渐近线，而两条渐近线对应有许多双曲线，因此，求双曲线方程还必须具有另一个条件，两个条件的综合显然比较困难•我们要特别注意对逆向问题的分析，提高解决逆向问题的能力.
[问题虽然简单，但确是基础，不仅掌握基本知识，同时有利于正、逆两方面思考问题的训练.]
四、建立法则
师：仔细分析一下上述练习的结果:
双曲线方程：4x2—y2 = 4;渐近线方程：2x± y= 0.
双曲线方程：4x2—y2= —4;渐近线方程：2x± y= 0.
双曲线方程：x2—4y2 = 4;渐近线方程：x± 2y= 0.
双曲线方程：x2—4y2= —4;渐近线方程：x± 2y= 0.
可以发现，双曲线与其渐近线的方程之间似乎存在某种规律.
（启发学生讨论、归纳.）
生甲：每项开平方，中间用正负号连结起来，常数项改为零，就得到渐近线方程.
生乙：以各项系数绝对值的算术平方根为x、y的系数，且用正负号连结起来等于零，就是渐近线方程.
生丙：如果两个双曲线方程的二次项相同，那么渐近线方程就相同，
与常数项无关.
生丁：反过来，渐近线的方程相同，双曲线方程的二次项就相同，常数可以不同.
生戊：应该说二次项系数成比例.
师：大家揭示了其中的规律•但是，大家的回答，还不够严格，也不够简洁，是否可以归纳出一种方法，把双曲线方程处理一下，就得到渐近线方程？
把双曲线方程中常数项改成零，会怎样呢？
这袤示什么7这就标两条渐近线兰十A 0及竺- Ao.因为渐近线上的 a b a b
点适合这个方程，适合这个方程的点在渐近线上.
所以
就是两渐近线的方程•实际上，两条渐近线也可看作二次曲线，是特殊的双曲线.同样，
b2x2—a2y2 = 0,
即bx±ay= 0;
即 by ± ax = 0.
所以把双曲线方程的常数项改为零，就得到其渐近线方程•这具有 般性
吗？也就是说对任意双曲线
A \2—时=C （C 工 0）
它的渐近线方程是不是 A 2x 2— B 2y 2
= 0 ?回答是肯定的.
分情况证明一下：
C >0, A ^x 2— BV = C,
故渐近线方程为
即
2 + E & b
0, 也可以化成 Ax ± By = 0,
.2 2 2 2 by — a x
=
即 A2X2-B2y2= 0.
其他情况，同学们可以自己去证明•反之，渐近线方程为
A X± By= 0
2 2 2 2
的双曲线方程是什么？可以证明是：A X - By = C(30) . C> 0,实轴在X轴上；C v 0,实轴在y轴上.因此，我们得到下列法则：
9 9 9 9
⑴ 双曲线A X— B y = C(C工0)的渐近线方程是
A X2—B2y2 = 0;
(2)渐近线方程是 A X± By= 0的双曲线方程是
A2X2— B"y2= C
(C工0的待定常数).
现在谁能把上面的练习第2题再解答一下？
生：因为渐近线方程是X± 2y= 0,所以双曲线方程为
2 2
X—4y = C.
•••双曲线方程为X2— 4y2 = —4.
[建立解题法则，既使解题比较方便，又使学生得到解题能力的培养.]
五、巩固应用
师：前面我们讲述了双曲线渐近线的定义和法则，下面大家使用定义或者法则再做两个练习.
2 •证明：双曲线上任一点到两渐近线的距离之积是个常数. （练习毕，由学生回答，教师
总结解题步骤. ）
师：解练习1的方法有两种.一是直接运用定义.
由双曲线求渐近线：
六、布置作业
课本练习；略.
教案说明
(1)本课教材内容不难接受，但教学中如何引出渐近线以致不感到突然，我采取了进一步缩小双曲线所在范围的方法，引出了渐近线•至于课题的引出，也是顺应认识的需要，为了对双曲线作深入的研究•我认
为这些做法都是比较自然的.
(2)本课的基础内容，一是定义和法则，二是双曲线与其渐近线的互求的方法.
本教案既注意狠抓基础，也注意综合提咼.
(3)本教案建立了一个法则，作为定义的补充，也是为了解题的方便, 建立法则的过程，也是学生提高观察能力、归纳总结能力的一种训练.。