弹性力学基本方程(1).

一位置材料在各个方向上的描述是相同的。
1.1 弹性力学假设

(4)线弹性(1inear elasticity)假定，即物体变形与外力作用
的关系是线性的，外力去除后，物体可恢复原状，因此，描述
材料性质的方程是线性方程。

(5)小变形(small deformation)假定，即物体变形远小于物体 的几何尺寸，因此在建立方程时，可以忽略高阶小量(二阶以 上)。
τxy τyz τzx来表示。
应力分量的正负号规定如下：如果某一个面的外法
线方向与坐标轴的正方向一致，这个面上的应力分量
就以沿坐标轴正方向为正，与坐标轴反向为负；
1.2 弹性力学基础
1.2 弹性力学基础
应力分量的矩阵表示称为应力列阵或应力向量。
弹性体在载荷作用下，还将 产生位移和变形，即弹性体 位置的移动和形状的改变。
沿坐标轴正方向的线段组成的直角变小为正，反
之为负。
1.2 弹性力学基础
1.3 弹性力学平衡方程
对于三维问题，弹性力学基本方程为如下形式。 1. 平衡方程 由x，y，z三方向的力平衡可推出微分形式的平衡方程。在推导平 衡方程时不同位置截面上的应力将由于几何位置的差别dx，dy， dz而有所不同，以Taylor级数展开后，可写为
1.2 弹性力学基础

弹性体内任一点的位移可由沿直角坐标轴方向
的3个位移分量w,v,u来表示。它的矩阵形式是
1.2 弹性力学基础

弹性体内任意一点的应变，可以由6个应变分量来
表示γ
xy
γ
yz
γ
zx
为剪应变ε
x
ε
y
ε z为正
应变。应变的正负号与应力的正负号相对应，即
应变以伸长时为正，缩短为负；剪应变是以两个
1.1 弹性力学假设
பைடு நூலகம்
以上基本假定和真实情况虽然有一定的差别，但
从宏观尺度上来看，特别是对于工程问题，大多
数情况下还是比较接近实际的。以上几个假定的
最大作用就是可以对复杂的对象进行简化处理，
以抓住问题的实质。
1.2 弹性力学基础
弹性体在载荷作用下，体内任意一点的应力状态可
由6个应力分量σx σy σz
弹性力学基本方程
1.1 弹性力学假设

(1)物体内的物质连续性(continuity)假定，即认为物质中无空
隙，因此可采用连续函数来描述对象。

(2)物体内的物质均匀性(homogeneity)假定，即认为物体内各 个位置的物质具有相同特性，因此，各个位置材料的描述是相 同的。

(3)物体内的物质(力学)特性各向同性(isotropy)假定，即认为 物体内同一位置的物质在各个方向上具有相同特性，因此，同
1.3 弹性力学平衡方程
1.3 弹性力学平衡方程
1.4 弹性力学平衡方程
1.4 弹性力学几何方程
设一个变形体微小体元的平面直角在变形前为APB，而变形后 为A’P’B’，P点变形到P’点的x方向位移为u，y方向位 移为v。
1.4弹性力学几何方程

从图0.1.3可以看出，平面物体在受力后，其几何形状的改变主要在两个方面： 沿各个方向上的长度变化以及夹角的变化，下面给出具体的描述。
1.4 弹性力学几何方程

(3)定义夹角的变化 P'A’线与PA线的夹角为
1.4 弹性力学几何方程
在微小位移和微小变形的情况下，略去位移导数的高次幂，则应变向量和位移向量间 的几何关系有
1.4 弹性力学几何方程
1.3 弹性力学本构方程
3. 物理方程——应力-应变关系
1.3 弹性力学本构方程
1.3 弹性力学本构方程

弹性体V的全部边界为S。 一部分边界上已知外力,px py pz称为力的边界
条件，这部分边界用Sσ表示；另一部分边界上弹性体的位移w,v,u已知， 称为几何边界条件或位移边界条件，这部分边界用uS表示。这两部分边界
构成弹性体的全部边界，即
4．力的边界条件 弹性体在边界上单位 面积的内力为Tx,Ty,Tz，在边界Sσ上已知 弹性体单位面积上作用的面积力为,px py pz，根据平衡应有