函数极限定义

但当 x 无限趋近于1而不等于1时，相应 y 无限趋近于2.
函数极限定义
定义 设函数 f x 在点 x 0 的某个空心邻域中有定义，
如果存在常数 A ，使得对于任意给定的正数 ，总存在
正数 ， 对于满足0xx0 的一切 x ，都有
f (x)A ,
那么常数 A 就称作函数 f x 当x x0 时的极限，记
lim
x
x
0
f (x)
或
f
(x0 )
函数极限定义
例如：lim 1 , lim 1 ,
x x 0
x x 0
1
1
lim e x 0 , lim e x ,
x 0
x0
容易证明：
定理 极限 lim f ( x ) 存在的充分必要条件是 f ( x ) 在点 x x0
x 0 处的左右极限存在并且相等. 即
为
lim f (x) A.
或
xx0
f(x) A x x0.
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函数极限 lim f (x) A的几何意义 xx0
对于任意 0，总存在正数 ，
对满足 0xx0 的一切 x ，
都有 f (x)A .
y
A
A
A
y f (x)
O x0 x 0 x0
x
函数极限定义
注1：函数 f x 在点 x 0 处的极限与函数在这一点是否有 定义、或 f x0 为多少毫无关系，它所反映的是 f x 在
第三节 函数极限的定义
函数极限定义
一、函数在有限点处的极限
在上节中，我们讨论了数列的极限. 而我们又知道数 列是一种特殊的函数——定义在正整数集上的函数. 那 么一般函数的极限又应该如何定义呢？这一节我们将全 面引入函数极限的定义.
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引例 设函数
f(x)x21x1, x1. x1
尽管函数在点 x 1处没有定义，
f(x)Asinx0,
因而
limsin x 0.
x0
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例2 证明 lim 1 4x2 2. x1 2x 1
2
证 因 f(x)A14x22(2x1)22x1,
2x1
2x1
2
所以, 0 , 取 ，当 0 x ( 1) ，可使
2
2
f(x)A14x222x1,
2x1
2
所以
1 4x2
lim
2.
x1 2x 1
2
函数极限定义
例3 证明 lim x 2 4. x2
证 因 f(x)Ax24x2x2,
为能解出不等式 M x 2 ，要对 x 进行适当的控制，
为此限定 x 的变化范围为1 x3，此时有 x 2 5,
所以, 0 , 取 min{1, }，当 0 x2 时 ，
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二、函数在无穷远处的极限
定义 设函数 f x 在 x M 时有定义， A 为常数.
①若 0，X 0，当 x X 时，使得 f (x)A ,
则 A 称为函数 f x 在 x时的极限，记为 limf (x) A或 f(x)Ax.
2x1 1 3 1, 2x2 2x2
所以, 0 , 取min{1, }，当 0 x1 时 ，
f(x)Ax223x1,
x1 2
函数极限定义
所以
lim x2 2 3 . x1 x 1 2
函数极限定义
例5
设 x0
0 ，证明lim xx0
x
x0 .
证因
f(x)Axx0x x x0 x01 x0xx0,
所以, 0 , 取 ，当 0 x2 时，可使
2
f(x ) A 2 x 1 5 2x 2,
故
lim(2x1)5.
x2
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⑵因 f(x)Asinx0sinx
欲使 sin x , 即 sinx,
所以 0,不妨取 0 1, 此时令 arcsin,
则当 0 x 时，有
所以, 0 , 取 x0 ，当 0 xx0 时 ，
可使
f(x)A
xx0
1 x0
xx0,
所以
lim
xx0
x
x0 .
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左右极限
前面讨论的是函数 f x 在某一点 x 0 的极限，它反映的
是当 x 在该点两侧趋近于x 0 时，函数有一个确定的变化
趋势. 但某种情况下，函数在两侧的趋势是不同的，
y
y x 1 1
O
x
y x 1 1
函数极限定义
左极限定义：若0,0,当 xx00时，
使得 f (x)A ,
那么 A 称作 f x 在 x 0 处的左极限，记为
lim
x
x
0
f (x)
或
f
(x0 )
右极限定义：若0,0,当 0xx0 时，
使得 f (x)A ,
那么 A 称作 f x 在 x 0 处的右极限，记为
lim f ( x ) 存在 limf(x), limf(x)均存在，且
x x0
xx0
xx0
limf(x)limf(x).
xx0
xx0
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例6
说明极限
lim
x0
1
1 e1
/
x
不存在.
解因
1
lim
0,
x0 1 e1/ x
1
lim
x0
1
e1/
x
1,
所以极限
lim
x0
1
1 e1
/
x
不存在.
其中 M 是一个与 x 无关的常量. 再取 ，则当
0xx0 时，有：
M
f(x)AMxx0,
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此即说明 lim f (x) A. xx0 函数极限定义
例1 证明下列极限
⑴ lim(2x1)5; x2
⑵ limsin x 0. x0
证 ⑴因 f(x ) A 2 x 1 5 2 x 4 2 x 2
该点附近的变化趋势.
例 函数
x2 1
f
(x)
x 1
x 1.
0
x 1
则有 limf x2, x1
函数极限定义
注2: 函数f x 在点x 0 的极限的定义说明了如何去证明 函数 f x 在点 x 0 的极限为 A 的方法：对于 0,考虑
f (x) A ,
经过不等式的变形，得到关系
f(x)AMxx0,
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这就需要分别加以讨论.
y
考虑函数:
x 1
f
(
x)
0
x 1
x0 x 0, x0
y x 1 1
O
x
y x 1 1
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该函数在点 x 0 两侧的变化趋势是不同的:
当 x 在 0 的右侧趋近于 0 时，f x1; 当 x 在 0 的左侧趋近于 0 时，f x1.
这就导出左右极限的概念.
5
可使 f(x ) A x 2 4 x 2 x 2 5 x 2 ,
所以
lim x2 4.
x2
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例4 证明 lim x2 2 3 . x1 x 1 2
证因
x223 2x23x 1 2x 1
f(x)A
x 1,
x 1 2 2x 1 2 (x 1 )
取 x 1 1, 即 0 x 2, 所以