3.4平稳过程的谱密度

分子分母无实根，无公共根。对于有理谱密 度，求相关系数可用待定系数法把谱密度分 解成若干部分分式之和。
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例3.19 设平稳过程 X t 的谱密度
+6 S X ( )= 4 +10 2 +9
2
求其相关函数
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由于实际频率不取负值，因此给出单边谱密度 的定义：
定义3.6 如果函数 x 满足
, x 0 x 且 0, x 0


x dx 1
那么称函数 x 为狄拉克函数，简称为 函数。
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引入 函数
其傅立叶变换
( ) 1 1 2 ( )
1 RXY ( ) 2
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S XY ( )e
j
d ,
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用傅立叶变换及其逆变换来表示：
F RXY ( ) S XY ( ) F 1 S XY ( ) RXY ( )
这里 S XY (), RXY ( )都可以取 函数 由于互相关函数与自相关函数的性质不同， 因此，互谱密度与自谱密度也有很大差异。 一般情况下，互谱密度取复数值，也不再是 偶函数。

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今后，我们允许平稳过程的相关函数与谱 密度（包括傅立叶变换及其逆变换）可以 取作 函数。必要时，还可以有形如
k1 x x1 k2 x x1 …… km x x1
的相关函数与谱密度，容易看出，它是m 个 函数的线性组合。


S0ei 0 S0
这个谱密度为常数。谱密度为常数且具有零 均值的平稳过程称为白噪声过程。这是一个 连续白噪声，不同于3.5中给出的离散白噪声。 白噪声过程是一种理想化的数学模型。
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{X t , t } 例3.16 设平稳过程
的谱密度
X t 的相关函数
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例3.14 设平稳过程 X t 的相关函数 其中，常数a>0.易见当常数 0 0 时， RX ( ) 即是例3.13。由定理3.5（ii）得到 X t 的谱密度
PX ( )=e
a
cos 0
S X ( ) 2 RX ( ) cos d
容易看出上式右端是一个傅立叶级数。
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赫尔格洛茨证明了如下结果：当相关函数 RX (m) 满
足
m


RX ( m) 时，
S X ( )
存在（即上述傅立叶级数收敛） ，且相关函数
1 i n RX (m) S X ( )e d , m 0, 1, 2,……. 2
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RX ( )
G X ( )
2 /(a 2 2 )
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引理3.1 傅立叶变换及其逆变换具有下列 性质：
F k1R1 ( ) k2 R2 ( ) k1F R1 ( ) k2 F R2 ( ) F
1
（ii）
S X ( ) 2 RX ( ) 1
0
RX ( ) cos d S X ( ) cos d



0
（iii）巴塞伐等式
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1 R ( ) d X 2
2



S X ( ) d
10
2
谱密度的引入使得对平稳过程相关 理论的研究不再局限于时间域内， 它可以同时也在频率域内进行，傅 立叶变换提供了两者之间转换的数 学工具。下面通过例题来说明两者 之间的相互换算。
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例3.13 设平稳过程 X t 的相关函数
RX ( )=e
a
其中，常数a>0.由定理3.5（ii）得到 X t 的谱 密度
S X ( ) 2 RX ( ) cos d
0

2 e
0

a
cos d
2a 2 2 a
SX () -0
1 i RX ( ) S ( ) e d X 2 1 i e d 0 2 1 i0 e 2 1 0 0, S X ( ) , RX ( ) 2
求 Yn 的谱密度。
Ry (w)
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定理3.5（谱密度的性质） 设S X ()是平稳 过程 {X t , t } 的谱密度， RX ( ) d S X () 是取非负实数值的偶函数，即 （i）
S X () 0且S X () S X ()
借助 函数，将任Biblioteka Baidu直流分量和周期分量在频率点上 无限值用 函数表示。
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15
函数不是通常意义下的函数，但可以把它看成是 下列矩形波的极限，记
fa
x
1 , x a 2a 0, x a
其中a>0。不妨认为
x lim f a x
§3.4 平稳过程的谱密度
王洋
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主要内容
一、平稳过程的（自）谱密度及性质 二、平稳过程的互谱密度及性质
三、谱密度与相关函数的关系
四、傅立叶变换的性质
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谱密度的概念

在物理学中，信号通常是波的形式，例如电磁 波、随机振动或者声波。当波的频谱密度乘以 一个适当的系数后将得到每单位频率波携带的 功率，这被称为信号的功率谱密度（power spectral density,PSD）或者谱功率分布 （spectral power distribution,SPD）。功率 谱密度的单位通常用每赫兹的瓦特数（W/Hz） 表示，或者使用波长而不是频率，即每纳米的 瓦特数（W/nm）来表示。
a 0
通常把 x 用长度为1的有向线段来表示（见表 3.1）。 函数的一般形式是 x-x0 ，它是 x 的复合函数。对任意一个连续函 数 f x ， x-x0 必定满足

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f x x-x0 dx f x0
求 X t 的相关函数
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有理谱密度的一般形式：
a a a S X () S0 2m 2 m 2 2 b b b
2n 2 n2 2
2 n2 2 2 m2 2
0 0
S0 0,0 n m, ai , bi均是实数
2S X ( ) , 0 GX ( ) , 0 0
利用只有正频率部分的单边功率谱，定理3.5（ii）可 以写成：
GX ( ) 4 RX ( ) cos d
0

1 RX ( ) 2
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0
G X ( ) cos d
（i）线性性质 当 k1 , k2 是常数时，
1
k1S1 ( ) k2 S2 ( ) k1F S1 ( ) k2 F S2 ( )
1
（ii）位移性质 当 0 , 0 是常数时，
F R( 0 ) e F
1
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下面对这个公式作一个直观解释：设 由积分中值定理推得：

x0 0
f x x dx f x lim f x dx
a 0 a a
1 lim f x f a x dx lim f x dx a 0 a 0 a 2a 1 lim 2af lim f f 0 , a a. a 0 2a a 0
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X n , n 0、 1 、 2，…… 例3.11 设 是一个离散白噪声时间序列。例3.5中已经证明了 X n 是一个平稳序列，且相关函数
RX (m) ｛
于是，谱密度


2，m 0
0, m 0
S X ( )
这个谱密度 S X () 是常数，即平稳序列 X n 的谱密度在 X 各个频率 上具有相同的分量，由于物理上白光的谱 为常数，因此，称 X n 为白噪声（序列）。
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定义3.7 设X t ，Y t 是两个平稳相关的 RXY ( ) 平稳过程，互相关函数为 称
S XY () = RXY ( )e



i
d ,
为平稳过程 X t ，Y t 的互谱密度。 与（自）谱密度相似，
n
m
i n 2 R ( m ) e R (0) . X X

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1 、 2，…… Yn , n 0、 例3.12 设 是一个离散白噪声的滑动和。例3.6中已经证明了 Yn是一个平稳序列。为了方便，我们记

k
0(k 0或k N )
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定义3.6（互谱密度的性质）
设 S XY ( ) 是两个平稳相关的平稳过程 X t ，Y t 的互谱密度， R ( ) d


XY
（i）
S XY ( ) SYX ( ) S XY ( )
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例3.15 设平稳过程 {X t , t } RX ( ) S0 ( ) 函数 ，其中常数 S0 0 X t 的谱密度
的相关
S X ( ) RX ( )e


i
d S0 ( )ei d
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通常记作
F RX ( ) S X ( ) F
1
S X ( ) RX ( )
对于平稳序列， X n , n 0、 1、 2，…… （自）谱密度定义为
S X ( ) RX (m)e
m

i n
, .
i
0
F R ( ) F
1
S ( 0 ) e
i 0
S ( )
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例3.17 设平稳过程 X t 的相关函数
RX ( )=5+4e
求 X t 的谱密度
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例3.18 设平稳过程 X t 的谱密度 1 S X ( )= 2 1+
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维纳-辛钦公式证明了如下结果：当相关函数 S X () 存在， RX ( ) 绝对可积，即 RX ( ) d 时， 且相关函数
1 RX ( ) 2



S X ( )e d
i

这表明谱函数 S X ( )是相关函数RX ( )的傅立叶 变换，而 RX ( ) 是 S X () 的傅立叶逆变换.
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一、平稳过程的（自）谱密度
定义3.5 设{X t , t } 是一个平稳 过程，如果含参变量的广义积分
S X () = RX ( )e



i
d

存在，那么，称 S X () 为平稳过程 X t 的 （自）谱密度
0

2 e a cos 0 cos d
0

e
0

a
cos 0 d e
0

a
cos 0 d

a a +0
2
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2

a a 0
2 2
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在电子技术中，常常遇到脉冲现象。这类现象不 能用普通函数来描述，需要引进广义函数。