完全平方数(初中数学竞赛教案新部编本).docx

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教师学科教案[ 20–20学年度第__学期]

任教学科： _____________

任教年级： _____________

任教老师： _____________

xx市实验学校

课题：完全平方数

一、本课知识点和能力目标

1．知识点：

个位数的计算或判断，需要掌握由一般到特殊的归纳思想、方法，通过知识的传授培养学生的数学能力。

完全平方数是一种特殊的整数，有其独特的性质，通过学习，学生要学会判断一个数是否完全平方数，并能利用完全

平方数的性质解决一些数学问题。

2．能力目标：

本讲采用举例的办法，介绍以帮助同学们轻松地进行计算，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性。

二、数学思想：一般到特殊，分类讨论思想。

三、本次授课节次及内容安排

第 1 课时：个位数的判定。

第 2 课时：完全平方数

第 3 课时：典型例题剖析

第 4 课时：课堂反馈 .

四．课外延伸、思维拓展

第一课时

[ 知识要点]

个位数知识： 1.整数之和（差）的个位数等于其个位数之和（差）。

2.整数之积的个位数等于其各个因数的各位数之积。

3.正整数的幂的个位数有一定的规律。

(a)n次幂后， 0，1，5，6 的个位数保持不变。

(b)个位数为 4，9 的数， n 次幂后的个位数以 2 为周期变化。

(c)个位数为 2，3，7，8 的数， n 次幂后的个位数以 4 为周

期变化。

【经典例题】

例1.求19971999的个位数。

答案： 3。

例2.试证：（）153533333是10的倍数；（ 2）3199841998是5的倍数。

答案：（ 1）0；（ 2）3。

例3.数310001g710002 g1310003的个位数字是什么？

答案： 9

1999

例4.a 19971996, 求a的个位数字。

答案： 1

育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰

尝试练习：

1.求 333的個位數字 .(香港青少年數學精英選拔賽 2000~2001)

2.78878778的個位數字是 _______?(第一屆華羅庚杯香港小學精英賽)

3..219983199972000的個位數字是 _______?(1999年香港數學奧林匹克 )

4.200120012002200220032003的個位數字是 _______?(2001年香港數學奧林匹克)

5.632(7313178 )的個位數字是 _______?

6.3211110的餘數是多少 ?

答案：（1）3；（2）1；（3）8；（4）2；（5）2；（6）7

第二课时

[ 知识要点]

如果 n 是一个整数，则n2就叫完全平方数。

性质：

（1）平方数的个位数只能是 0，1，4，5，6，9.

（2）平方数被 3 除的余数只能是 0 和 1。

（3）奇数的平方数为 4m+1,偶数的平方数是 4m.

（4）平方数的个位数是奇数 1，5，9 时，十位数字一定是偶数。

（5）平方数之积是平方数。

（6）平方数的正约数个数为奇数。

根据平方数的定义和性质，有如下非平方数的判定方法：

（1）两相邻平方数再没有平方数。

（2）个位数是 2， 3， 7， 8 的正整数不是平方数。

（3）正约数个数是偶数个的正整数不是完全平方数。

（4）个位数字与十位数字都是奇数的数不是平方数。

（5）若存在质数 p|a,而 p2? a,则 a 不是平方数。

【经典例题】

例1.试证：形如3n+2的数不是完全平方数。

证明：整数被 3 除，余数分别为 0，1，2。

易得：被 3 整除的数的平方数仍被 3 整除，

被 3 除余 1 的数的平方 (3k+1)2=9k2+6k+1 余数仍为 1.

被 3 除余 2 的数的平方 (3k+2)2=9k2+12k+4 余数仍为 1

故任何形如 3n+2 的数都不是完全平方数。

例2. 求证：奇数的平方数被 8 除余 1，偶数的平方数一定是 4 的倍数。

证明：奇数 (2n+1)2=4n2+4n+1=4n(n+1)+1,

n、n+1 为连续整数，必有一个偶数.

偶数（ 2n）2=4n2,为 4 的倍数。

故得证。

例3. 使得（n219n 91）为完全平方数的自然数 n 的个数是多少？分析：若n2-19n+91 处于两个连续的整数平方数中，就不可能是完全平方数。解： n219n91(n9) 2(10n),

当

n

时，（

n219n

）不会为完全平方数。1091

当

n

时，（

n219n

）才能为为完全平方数。1091

经计算：当

n 或时，（

n219n

）为完全平方数。91091

（2）为完全平方数的值有个。

n19n 912

例4.一个自然数减去 45 后是一个平方数，这个自然数加上44，仍是平方数，试求这个平方数。

解：设这个自然数为x,得

x-45=m 2

其中 m, n为自然数。则 n2m289.

x 44n2

(n m)( n m) 89.

Q89是质数，

n m 89

n m 1

得n=45,m=44.

代入得： x=1981.