刚体运动学
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减速转动
26
匀变速定轴转动 0 初始条件：t = 0 时， 0 , 角加速度：β = C（常数） 角速度： d dt
d wenku.baidu.comβdt
0
0
t
0 t
角坐标：
dθ ωdt dθ ωdt (ω0 βt)dt
d dt d dt
dx v dt dv a dt
30
例3：钢制炉门由两个长 1.5 m 的平行臂 AB 和 CD 支承，以角 速率 ω＝10 rad/s 逆时针匀速转动，求支承臂与铅直方向成 45°时门中心 P 的速度和加速度。 解：平行臂 AB 和 CD 长度固定，炉门不会倾斜故平动，其上 任一点的速度与加速度均相同，故
29
定轴转动与直线运动的对比
0 t
a r an r
2
ˆ a a ˆ an n v v0 at
1 2 1 2 x x0 v0 t at θ θ0 ω0 t βt v r 2 2 2 0 2 2 2 ( 0 ) v 2 v0 2 2as 2a ( x x0 )
14
定轴转动 刚体上各点都绕同一轴线作圆周 运动，而轴线本身在空间的位置 和取向保持不变。定轴转动刚体 具有如下运动特征： 刚体上各质元均作圆周运动， 但各质元圆周运动的半径不一定相等。 各质元圆周运动的平面垂直于转轴，圆心在轴线上，这个平 面称为转动平面。 定轴转动只有一个转动自由度，各质元的位矢在相同的时间 内转过的角度都相同。
1
3
y
ds
r
d
R
dr
将 m 代入得 2 R sin( 2 ) 4 R yC sin 3 3 2
2
o
x
10
例2：如图，求半径为 R 的扇形薄板顶部绿色部分的质心坐标 ， 已知扇形顶角为 ，质量面密度为 。
解：坐标系与前题相同，根据前面例题的结论，整个扇形的质 量和质心 C 坐标为 y 1 4R 2 m R , yC sin 2 3 2 C 三角形部分的质量与质心坐标为 R 2 2 m2 R sin cos , y2C R cos 绿色部分的质量为
28
定轴转动中角量与线量的关系 位移与角位移之间的关系 ds rd 刚体上任一点的速度
z
y
an
a
ds
d
v r
o
r
x
刚体上任一点的切向加速 度和法向加速度
v
dv d a r r dt dt 2 ˆ ˆ ˆ ˆ a a a n r r n n 2 2 v ( r ) an r 2 r r
5
刚体（rigid body）模型 刚体是形状和大小完全不变的物体，是一个特殊的质点系— —质点系内任意两质点间的距离保持不变。 刚体的这一特点使刚体力学不同于一般的质点组力学，刚体 力学问题虽不是每个都能解决，但有不少是能够解决的。 如果研究对象形状和大小在外力作用下变形很小，对运动结 果影响甚微，则可以忽略研究对象的形变，将物体视为刚体 来进行研究。
4x y l
2 2
2
l 2
x
问题讨论
32
v2 或 a n R
5-1：定轴转动刚体上任意一点的法向加速度可以表示为：
a n R 2
前者表明法向加速度与该点到转轴的距离成正比；后者表明法 向加速度与该点到转轴的距离成反比，这两者是否矛盾？为什 么？ 5-2：圆盘绕过其中心且与盘面垂直的轴做定轴转动，当圆盘 在恒定角速度和恒定角加速度两种情况下转动时，圆盘边缘上 的点是否都具有法向加速度和切向加速度？数值是恒定的还是 变化的？
2 2 3 2
1 2 2 m1 R R sin cos 2 2 2
o
x
11
根据质心定义知
m1 y1C m2 y2 C yC m
y
C
将已知量代入 并整理绿色部分质心 myC m2 y2C y1C m1
1 4R 2 R 2 sin R 2 sin cos R cos 3 2 2 2 3 2 2 1 2 2 R R sin cos 2 2 2 4 R sin 2 3 sin
Δθ d lim t 0 Δt dt
23
角速度矢量 方向：满足右手定则，四指沿 刚体转动方向弯曲时拇指指向。 对于刚体定轴转动，只须用正 负即可表示角速度的方向，不 必用矢量表示。 对于刚体定点转动及绕任意轴 的转动，角速度可表示为：
x y z
vP vB r 10 1.5 15(m / s)
方向指向右下方 45 度。 由于炉门匀速转动，故
B
A
C
45
D
a Pn
P
45 45
a P 0 a Pn 2 r 150( m / s 2 )
方向指向右上方 45 度。
vP
31
例4：长度为 l 的均质细杆，令其竖直地立于光滑的桌面上， 然后放开手，求杆倒下时上端点运动的轨迹。要求建立坐标系， 求出轨迹方程。 解：细杆在水平方向不受力，根据质心运动定理，细杆质心将 铅直下落。过质心建立 y 轴，与地面的交点为坐标原点，沿水 平方向建立 x 轴，设细杆下落过程中任意时刻与水平方向夹角 为 θ，则杆端点坐标为 y l x cos ，y l sin 2 ( x, y ) 消去参量 θ 得杆端点的轨迹方程为
z
7
刚体的质心 刚体是由连续分布的质点所组成的质点组，由上一章知，刚 体的质心为： rdm rdV
rC
dm
dV
这里的积分应遍及刚体的全部体积。在实际计算时常用质心 位矢的分量形式，即
xC
xdm , dm
yC
ydm , dm
zC
zdm dm
作业： P108页
习题 5-3 补充1：如图，质量为 M，半径为 R 的均质薄圆盘上挖出半径为 r 的一 个圆孔，圆孔中心在半径 R 的中点， 求剩余部分的质心。 补充2：如图，一均质圆锥体质量体 密度为 ρ，高度为 L，底面圆半径为 R，求： （1） 此圆锥体的总质量； （2） 质心位置。
刚体角速度的绝对性 在刚体上选择不同的基点测得的角速度都相同，即不管选择 刚体上哪一点，角速度矢量的方向及大小都不变。刚体的这 一重要性质，称为刚体角速度的绝对性。
三、刚体定轴转动运动学
刚体定轴转动的特征 刚体上各质元绕轴做圆周运动的步调完全一致。 角坐标 （角位置） 描写刚体转动位置的物理量。 z 单位：弧度，rad y 转动方程： (t ) o 角坐标为标量，其正负 按右手螺旋关系确定。
3
一、刚体模型
4
质点与质点系的局限 质点模型忽略物体的大小和形状，即“质点”没有在空间中 的取向，也谈不上转动。如果需要考虑物体的大小与形状 （如涉及转动），就不能采用质点模型。 可以将物体细分成很多部分，每一部分都看成是一个质点， 即利用“质点组”这一模型。但是，一般的质点组力学问题 并不能严格解决，因为微分方程的个数大多，我们只能了解 其运动的总趋向及某些特征。换句话说，质点组力学的困难 在于自由度数太多。
24
角加速度 描写角速度变化快慢和方向的物理量。 平均角加速度：角速度增量与产生它所用时间之比 Δω β Δt
角加速度：平均角加速度当 ∆t→0 时的极限，即角加速度为 角速度对时间 t 的一次导数或为角坐标对时间 t 的二次导数。
Δω dω d 2θ β lim 2 Δt 0 Δt dt dt
16
定点转动 刚体运动时，始终绕一固定点转动，这种运动称为刚体的定点 转动。这个定点可以在刚体上，也可以在刚体的延拓部分。可 以证明，作定点转动的刚体，在任一瞬时，总可看成绕通过该 定点的某一瞬时轴的转动，不同时刻瞬时轴不同。
想一想，定点转动刚体具有几个自由度？
17
任意运动 可以分解为基点的平动及绕 基点的定点转动。 想一想，需要几个自由度？
θ0 0 0 θ t t
1 2 θ θ0 ω0 t βt 2
27
根据上述结果可导出
2 02 2 2 ( 0 )
说明 角坐标、角位移、角速度和角加速度是描述刚体定轴转动问 题的四个基本物理量。与描述质点匀变速直线运动的四个基 本物理量（位矢、位移、速度、加速度）等价。 角坐标、角位移、角速度和角加速度等角量也可用来描述质 点的曲线运动。
18
P
x
19
角位移 即角坐标的增量，描写 刚体转动位置变化的物 理量。
z
y
P
( t t ) ( t )
o
x
单位：弧度（ rad ）
y
o
x
20
有限大角位移不是矢量，因为它不满足叠加原理:
y
y
y
o
x
o
y
x
o
y
x
y
o
x
o
x
o
x
21
无限小角位移是矢量，它满足叠加原理:
6
自由度 自由刚体的自由度数是 6 3 个移动自由度，指出刚 体中某一质点的位置。 3 个转动自由度，指出刚 体的空间取向。 非自由刚体的自由度< 6 绕固定轴转动的刚体有 1 个自由度。 问题：在平面上运动的刚 体有几个自由度？
z
z
P(x, y,z )
o
r
y
y
x
x
y y y
o
y
x
o
y
x
o
y
x
o
x
o
x
o
x
可以发现，旋转角度越小，最终刚体姿态差异就越小！
22
角速度 描写刚体转动快慢和方向的物理量。 单位：弧度，rad/s ，转/分，rev/min 平均角速度：角位移与发生此角位移所用时间之比。
Δθ Δt 角速度：平均角速度当 ∆t→0 时的极限，即角速度为角坐标 对时间的一次导数。
普通物理
1
第五章 刚体力学（1）
——刚体运动的描述
（2课时）
本讲教学基本要求
理解刚体理想模型。 掌握刚体的基本运动形式及其描述方法。 掌握描述刚体基本运动的相关物理量及其相互关系。 理解质心的意义及质心位置、速度和加速度的计算。
2
本讲主要问题
刚体模型及其质心 刚体的运动形式 刚体定轴转动的描述
3
R
o
x
二、刚体的基本运动形式
12
平动
平 面 运 动
+
定轴转动
13
平动 刚体在运动过程中其中任意两点的连线始终保持原来的方向。 平动的刚体具有如下特征： 刚体上各点具有相同的位移、速度、加速度、运动轨迹； 刚体上任一点的运动都可 代表整个刚体的运动。 平动的刚体自由度数为 3， 可视为质点来研究。
25
角加速度矢量 2 2 单位：弧度/秒 （rad/s ） 方向：角速度变化的方向。 对于刚体定轴转动，角加速度的方 向只有两个，只须用正负表示角加 速度即可，不必用矢量表示。 对于刚体定点转动及绕任意轴的转 动，角加速度矢量可表示为
0
加速转动
0
x y z
R
dr
扇形质量为 1 m S R 2 2
o
x
9
依质心定义
yC ydm m
S
y ds m
R 0
m
S
r cos rdrd
y
m 2
2
2 cos d r dr
2sin R m 2 3 2 R 3 sin 3m 2
15
平面运动 刚体内任一与固定平面相垂直的直线上所有点的运动情况完全 相同，可以看成 是平动与定轴转 动的合成。其研 究方法是： 在刚体上选择一个基点，研究该基点的平动； 研究刚体上质元绕基点的定轴转动； 根据运动的叠加原理得到整个刚体的运动。 想一想，刚体做平面运动时具有几个自由度？
8
例1：如图，半径为 R 的扇形薄板 ，顶角为 ，质量面密度 为 ，求其质心 C 的位置。
解：如图建立坐标系，选择弧状微元，其面积为
ds rd dr
扇形面积为
S ds rdrd
S S
y
y
ds
R
0
1 2 rdr d R 2 2
2
r
d
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匀变速定轴转动 0 初始条件：t = 0 时， 0 , 角加速度：β = C（常数） 角速度： d dt
d wenku.baidu.comβdt
0
0
t
0 t
角坐标：
dθ ωdt dθ ωdt (ω0 βt)dt
d dt d dt
dx v dt dv a dt
30
例3：钢制炉门由两个长 1.5 m 的平行臂 AB 和 CD 支承，以角 速率 ω＝10 rad/s 逆时针匀速转动，求支承臂与铅直方向成 45°时门中心 P 的速度和加速度。 解：平行臂 AB 和 CD 长度固定，炉门不会倾斜故平动，其上 任一点的速度与加速度均相同，故
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定轴转动与直线运动的对比
0 t
a r an r
2
ˆ a a ˆ an n v v0 at
1 2 1 2 x x0 v0 t at θ θ0 ω0 t βt v r 2 2 2 0 2 2 2 ( 0 ) v 2 v0 2 2as 2a ( x x0 )
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定轴转动 刚体上各点都绕同一轴线作圆周 运动，而轴线本身在空间的位置 和取向保持不变。定轴转动刚体 具有如下运动特征： 刚体上各质元均作圆周运动， 但各质元圆周运动的半径不一定相等。 各质元圆周运动的平面垂直于转轴，圆心在轴线上，这个平 面称为转动平面。 定轴转动只有一个转动自由度，各质元的位矢在相同的时间 内转过的角度都相同。
1
3
y
ds
r
d
R
dr
将 m 代入得 2 R sin( 2 ) 4 R yC sin 3 3 2
2
o
x
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例2：如图，求半径为 R 的扇形薄板顶部绿色部分的质心坐标 ， 已知扇形顶角为 ，质量面密度为 。
解：坐标系与前题相同，根据前面例题的结论，整个扇形的质 量和质心 C 坐标为 y 1 4R 2 m R , yC sin 2 3 2 C 三角形部分的质量与质心坐标为 R 2 2 m2 R sin cos , y2C R cos 绿色部分的质量为
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定轴转动中角量与线量的关系 位移与角位移之间的关系 ds rd 刚体上任一点的速度
z
y
an
a
ds
d
v r
o
r
x
刚体上任一点的切向加速 度和法向加速度
v
dv d a r r dt dt 2 ˆ ˆ ˆ ˆ a a a n r r n n 2 2 v ( r ) an r 2 r r
5
刚体（rigid body）模型 刚体是形状和大小完全不变的物体，是一个特殊的质点系— —质点系内任意两质点间的距离保持不变。 刚体的这一特点使刚体力学不同于一般的质点组力学，刚体 力学问题虽不是每个都能解决，但有不少是能够解决的。 如果研究对象形状和大小在外力作用下变形很小，对运动结 果影响甚微，则可以忽略研究对象的形变，将物体视为刚体 来进行研究。
4x y l
2 2
2
l 2
x
问题讨论
32
v2 或 a n R
5-1：定轴转动刚体上任意一点的法向加速度可以表示为：
a n R 2
前者表明法向加速度与该点到转轴的距离成正比；后者表明法 向加速度与该点到转轴的距离成反比，这两者是否矛盾？为什 么？ 5-2：圆盘绕过其中心且与盘面垂直的轴做定轴转动，当圆盘 在恒定角速度和恒定角加速度两种情况下转动时，圆盘边缘上 的点是否都具有法向加速度和切向加速度？数值是恒定的还是 变化的？
2 2 3 2
1 2 2 m1 R R sin cos 2 2 2
o
x
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根据质心定义知
m1 y1C m2 y2 C yC m
y
C
将已知量代入 并整理绿色部分质心 myC m2 y2C y1C m1
1 4R 2 R 2 sin R 2 sin cos R cos 3 2 2 2 3 2 2 1 2 2 R R sin cos 2 2 2 4 R sin 2 3 sin
Δθ d lim t 0 Δt dt
23
角速度矢量 方向：满足右手定则，四指沿 刚体转动方向弯曲时拇指指向。 对于刚体定轴转动，只须用正 负即可表示角速度的方向，不 必用矢量表示。 对于刚体定点转动及绕任意轴 的转动，角速度可表示为：
x y z
vP vB r 10 1.5 15(m / s)
方向指向右下方 45 度。 由于炉门匀速转动，故
B
A
C
45
D
a Pn
P
45 45
a P 0 a Pn 2 r 150( m / s 2 )
方向指向右上方 45 度。
vP
31
例4：长度为 l 的均质细杆，令其竖直地立于光滑的桌面上， 然后放开手，求杆倒下时上端点运动的轨迹。要求建立坐标系， 求出轨迹方程。 解：细杆在水平方向不受力，根据质心运动定理，细杆质心将 铅直下落。过质心建立 y 轴，与地面的交点为坐标原点，沿水 平方向建立 x 轴，设细杆下落过程中任意时刻与水平方向夹角 为 θ，则杆端点坐标为 y l x cos ，y l sin 2 ( x, y ) 消去参量 θ 得杆端点的轨迹方程为
z
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刚体的质心 刚体是由连续分布的质点所组成的质点组，由上一章知，刚 体的质心为： rdm rdV
rC
dm
dV
这里的积分应遍及刚体的全部体积。在实际计算时常用质心 位矢的分量形式，即
xC
xdm , dm
yC
ydm , dm
zC
zdm dm
作业： P108页
习题 5-3 补充1：如图，质量为 M，半径为 R 的均质薄圆盘上挖出半径为 r 的一 个圆孔，圆孔中心在半径 R 的中点， 求剩余部分的质心。 补充2：如图，一均质圆锥体质量体 密度为 ρ，高度为 L，底面圆半径为 R，求： （1） 此圆锥体的总质量； （2） 质心位置。
刚体角速度的绝对性 在刚体上选择不同的基点测得的角速度都相同，即不管选择 刚体上哪一点，角速度矢量的方向及大小都不变。刚体的这 一重要性质，称为刚体角速度的绝对性。
三、刚体定轴转动运动学
刚体定轴转动的特征 刚体上各质元绕轴做圆周运动的步调完全一致。 角坐标 （角位置） 描写刚体转动位置的物理量。 z 单位：弧度，rad y 转动方程： (t ) o 角坐标为标量，其正负 按右手螺旋关系确定。
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一、刚体模型
4
质点与质点系的局限 质点模型忽略物体的大小和形状，即“质点”没有在空间中 的取向，也谈不上转动。如果需要考虑物体的大小与形状 （如涉及转动），就不能采用质点模型。 可以将物体细分成很多部分，每一部分都看成是一个质点， 即利用“质点组”这一模型。但是，一般的质点组力学问题 并不能严格解决，因为微分方程的个数大多，我们只能了解 其运动的总趋向及某些特征。换句话说，质点组力学的困难 在于自由度数太多。
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角加速度 描写角速度变化快慢和方向的物理量。 平均角加速度：角速度增量与产生它所用时间之比 Δω β Δt
角加速度：平均角加速度当 ∆t→0 时的极限，即角加速度为 角速度对时间 t 的一次导数或为角坐标对时间 t 的二次导数。
Δω dω d 2θ β lim 2 Δt 0 Δt dt dt
16
定点转动 刚体运动时，始终绕一固定点转动，这种运动称为刚体的定点 转动。这个定点可以在刚体上，也可以在刚体的延拓部分。可 以证明，作定点转动的刚体，在任一瞬时，总可看成绕通过该 定点的某一瞬时轴的转动，不同时刻瞬时轴不同。
想一想，定点转动刚体具有几个自由度？
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任意运动 可以分解为基点的平动及绕 基点的定点转动。 想一想，需要几个自由度？
θ0 0 0 θ t t
1 2 θ θ0 ω0 t βt 2
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根据上述结果可导出
2 02 2 2 ( 0 )
说明 角坐标、角位移、角速度和角加速度是描述刚体定轴转动问 题的四个基本物理量。与描述质点匀变速直线运动的四个基 本物理量（位矢、位移、速度、加速度）等价。 角坐标、角位移、角速度和角加速度等角量也可用来描述质 点的曲线运动。
18
P
x
19
角位移 即角坐标的增量，描写 刚体转动位置变化的物 理量。
z
y
P
( t t ) ( t )
o
x
单位：弧度（ rad ）
y
o
x
20
有限大角位移不是矢量，因为它不满足叠加原理:
y
y
y
o
x
o
y
x
o
y
x
y
o
x
o
x
o
x
21
无限小角位移是矢量，它满足叠加原理:
6
自由度 自由刚体的自由度数是 6 3 个移动自由度，指出刚 体中某一质点的位置。 3 个转动自由度，指出刚 体的空间取向。 非自由刚体的自由度< 6 绕固定轴转动的刚体有 1 个自由度。 问题：在平面上运动的刚 体有几个自由度？
z
z
P(x, y,z )
o
r
y
y
x
x
y y y
o
y
x
o
y
x
o
y
x
o
x
o
x
o
x
可以发现，旋转角度越小，最终刚体姿态差异就越小！
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角速度 描写刚体转动快慢和方向的物理量。 单位：弧度，rad/s ，转/分，rev/min 平均角速度：角位移与发生此角位移所用时间之比。
Δθ Δt 角速度：平均角速度当 ∆t→0 时的极限，即角速度为角坐标 对时间的一次导数。
普通物理
1
第五章 刚体力学（1）
——刚体运动的描述
（2课时）
本讲教学基本要求
理解刚体理想模型。 掌握刚体的基本运动形式及其描述方法。 掌握描述刚体基本运动的相关物理量及其相互关系。 理解质心的意义及质心位置、速度和加速度的计算。
2
本讲主要问题
刚体模型及其质心 刚体的运动形式 刚体定轴转动的描述
3
R
o
x
二、刚体的基本运动形式
12
平动
平 面 运 动
+
定轴转动
13
平动 刚体在运动过程中其中任意两点的连线始终保持原来的方向。 平动的刚体具有如下特征： 刚体上各点具有相同的位移、速度、加速度、运动轨迹； 刚体上任一点的运动都可 代表整个刚体的运动。 平动的刚体自由度数为 3， 可视为质点来研究。
25
角加速度矢量 2 2 单位：弧度/秒 （rad/s ） 方向：角速度变化的方向。 对于刚体定轴转动，角加速度的方 向只有两个，只须用正负表示角加 速度即可，不必用矢量表示。 对于刚体定点转动及绕任意轴的转 动，角加速度矢量可表示为
0
加速转动
0
x y z
R
dr
扇形质量为 1 m S R 2 2
o
x
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依质心定义
yC ydm m
S
y ds m
R 0
m
S
r cos rdrd
y
m 2
2
2 cos d r dr
2sin R m 2 3 2 R 3 sin 3m 2
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平面运动 刚体内任一与固定平面相垂直的直线上所有点的运动情况完全 相同，可以看成 是平动与定轴转 动的合成。其研 究方法是： 在刚体上选择一个基点，研究该基点的平动； 研究刚体上质元绕基点的定轴转动； 根据运动的叠加原理得到整个刚体的运动。 想一想，刚体做平面运动时具有几个自由度？
8
例1：如图，半径为 R 的扇形薄板 ，顶角为 ，质量面密度 为 ，求其质心 C 的位置。
解：如图建立坐标系，选择弧状微元，其面积为
ds rd dr
扇形面积为
S ds rdrd
S S
y
y
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R
0
1 2 rdr d R 2 2
2
r
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