5-2 平面简谐波的波动方程

5–2 平面简谐波的波动方程
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波线上各点的简谐运动图
第5章 机械波
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(2) 当 t t0 一定时，位移y只是坐标x的函数.
y

A cos[ (t0

x) u

0
]
称为t0时刻的波形方程.
同一质点在相邻两个 时刻的振动位相差为


(t2

t1)

t2
T
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讨 论 1）给出下列波函数所表示的波的传播方向
和 x 0 点的初相位.
y Acos2π ( t x )
T
(向x 轴正向传播,
y Acos (t x)
u
(向x 轴负向传播 ,
π) π)
2）平面简谐波的波函数为 y Acos(Bt Cx)
P点在t时刻的振动方程
y Acos(t x)
u
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➢ 波动方程
A y u
P
Ox *

y Acos(t x)
u
x

x u
可理解为P点的振动
落后于原点振动的时间
A
若P点的振动超前O点的振动，超前的时间为

x u
点 P 振动方程 y Acos(t x) (沿x轴负向传播)
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一 平面简谐波的波动方程
介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的
位移（坐标为 y）随时间的变化关系，即 y(x,t) 称
为波函数.
y y(x,t)
各质点相对平 衡位置的位移
波线上各质点 平衡位置
➢ 简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作 简谐运动时，在介质中所形成的波.
u
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y 如果原点的 A
u
初相位不为零
0 0
O
A
4
x

点 O 振动方程 y0 Acos(t 0 )
波 动
y

A cos[ (t

x) u
0 ]
方 程
y

A cos[ (t

x) u
0 ]
u 沿x 轴正向 u 沿x 轴负向
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t1
2
π
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(3)若t，x均变化，波函数表示波形沿传播方向的运 动情况（行波）.
t时刻：
y(x)

A cos[ (t

x) u
0
]
t t时刻：
y(x)

A
cos[
(t

t

x u
)

0
]
y(t t, x x) y(t, x)
(1) 当x=x0为给定值时， 波函数表示该点的简谐运
动方程，并给出该点与点 O 振动的相位差.
y(t)

A cos(t
x0
u
0 )

A cos(t
2
x0

0 )
x0 2 π x0
u
λ
y(x,t) y(x,t T )（波具有时间的周期性）
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✓ 平面简谐波波函数的其它形式
y

A cos[2
π( t T
m
x λ
)

0
]
y

A cos[2 t
m2 x
0 ]
y

A cos[ 2
(ut
mx) 0 ]

A cos[k (ut
mx) 0 ]
波矢 k 2 π

波矢k：表示在2π长度内所具有完整波的数目
式中 A, B,C 为正常数，求波长、波速、波传播方
向上相距为 d
y Acos(Bt
的两点间的相位差.
Cx) y Acos2
π
(
t

x)
T
2π
C
T 2π B
u B
TC
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2π d dC
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二 波动方程的物理意义
➢ 平面简谐波：波面为平面的简谐波.
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以速度u 沿
x 轴正向传播的
平面简谐波 . 令
原点O 的初相为
零，其振动方程
yO Acost
时间推 点O 的振动状态
迟方法 yO Acost t-x/u时刻点O 的运动t Fra bibliotekx点P
u
t 时刻点 P 的运动
y 0.1cos 25 (t x )
10 25
A=0.1m,

25 10

s1
,
u=25m
/
s,
0
=0
T 2 0.8s,=uT=20m
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(2)同一时刻波线上坐标为 x1 和 x2 两点处质点振
动的位相差



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例5.1 已知波动方程为 y 0.1cos 25t x ，其中x， y的单位为m，t的单位为s，求(1)振10幅、波长、周期、 波速；(2)距原点为8m和10m两点处质点振动的位 相差；(3)波线上某质点在时间间隔0.2s内的位相差.
解 (1)

x2

x1

2

=x2

x1
10 8

2m时， =
2



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(3)对于波线上任意一个给定点(x一定)，在时间间 隔Δt内的位相差
t2 t1 t
t 0.2s,则
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