第22章 一元二次方程 复习课

ax bx c 0
2
D. x
2
2x x 1
2
（二）一元二次方程的判别式： （1）当 △＞0 时，方程有两个不相等的 实数根； （2）当 △=0 时，方程有两个相等的实 数根； （3）当 △＜0 时，方程没有实数根。 温馨提示：一元二次方程(a≠0)的根的判别 式正反都成立．其作用有：(1)不解方程判 定方程根的情况；(2)根据根的情况确定字 母系数的范围；(3)解与根有关的证明题．
2 x1 x2


x1 x2
2
x x 2 x1 x2
2 1 2 2
2 x12 x2 2 x1 x2 2 x1 x2 2 x1 x2
x1 x2
2
4 x1 x2 4 2 4 2 2 2
14、关于x的方程x （2k - 3）x k 0有
m≥0且m≠1 。
（三）一元二次方程的解法 (1)直接开平方法： (2)配方法： (3)公式法： (4)因式分解法：
温馨提示：解一元二次方程时，根据方程 特点，灵活选择解题方法，先考虑能否 用直接开平方法和因式分解法，再考虑 用公式法，没有特殊说明不用配方法。
8、用适当的方法解下列 方程。
2x - 5x - 7 0； （ 1 ） 4x - 2 - 49 0；
第22章 一元二次方程
复习
复习目标
1、进一步理解一元二次方程的意义。 2、能熟练掌握一元二次方程的四种 解法，会选择适当的方法解方程。 3、能运用根的判别式和根与系数的 关系解决有关的题目。
（一）定义：方程两边都是 整式 ， 只含有 一 个未知数，且未知数的 最高次是 2 ，这样的方程叫做一 元二次方程。 2 一般形式： ax bx c 0(a 0) 。
5、关于x的方程kx2 2 x - 1 0有两个不相等的实 数根，则k的取值范围是D
2
A、k＞ - 1；B、k＞1；C、k 0；D、k＞ - 1且k 0. 6、关于x的方程kx 3x - 1 0有实数根，则k的 9 9 取值范围BA、k - ；B、k - ； 4 4 9 9 C、k - ，且k 0；D、k＞ - ，且k 0. 4 4 m - 1x 2 - 2mx m 0有 7、关于x的一元二次方程 两个实数根，则 m的取值范围是
2 2 2
6 m - 1 - 1 7 6m - 1 1
2 2
6m - 1 0
2


6m - 1 1＞0
2
即不论m取何值，该方程都是一 元二次方程。
（四）一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理）：ax2+bx+c=0(a≠0） 当△≥0时，设方程两根为x1,x2则x1+x2 ＝ ，x1x2 ＝ 。 • 以x1,x2为根的一元二次方程
答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2.
12、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根 是2 ,求它的另一个根及k的值。
解法二： 设方程的另一个根为x2. 把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0 解这方程，得 k= - 2 由根与系数的关系，得2 x2＝3k 即2 x2＝－6 ∴ x2 ＝－3 答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2.
2-(x +x )x+x x =0 X 1 2 1 2 为： 。 • 温馨提示：一元二次方程根与系数的关系的
应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求 另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两 根对称式的代数式的值及有关未知数系数； (3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数 式为根的一元二次方程。
A 3、方程x - kx k - 2 0的根的情况（）
2
A、方程有两个不等的实 数根； B、方程有两个相等的实 数根； C、方程无实数根； D、无法确定。 4、若一元二次方程 2x kx - 4 - x 6 0无
2
B 实数根，则k的最小整数值是
A、 - 1；B、 2；C、 3；D、 4.
2 2
两个实数根 α 、 β.
2
（ 1 ）求实数k的取值范围。K≤3/4 的值。
（2） α β α *β 6，求 α -β 3 α *β - 5
K=-1,原式=19.
2 x 15、已知方程 kx k 2 0 的两个实数根 2 是 x1, x2 且 x12 x2 4 ， 求k的值. 解：由根与系数的关系得
11、 以方程X +3X-5=0的 两个根的2倍为根的方程 是 。
1 2 3 2 y y 5 0或y 6 y 20 0 4 2
2
12、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根 是2 ,求它的另一个根及k的值.
解法一：设方程的另一个根为x2. 由根与系数的关系，得 解这方程组，得 2 ＋ x2 = k+1 2 x2 = 3k x2 =－3 k =－ 2
温馨提示：对有关一元二次方程定义的 题目，要充分考虑定义的四个条件， 千万不要忽视二次项系数不为0。
1、若方程a - 1x
a 2 1
5x - 3 0是关于x的一
元二次方程，则 a -1 。
2、下列方程中，是关于x的一元二 次方程的是（ A ） 1 1 2 A. 3x 1 2x 1 B. x 2 x 2 0 C.
10、不解方程，求下列方程两根的和与积：
1x
2
3x 15
2
25x
x1 x2 1; x1 x2 1
2
1 4x x
32x m 1x m 0
2
m 1 m x1 x2 ; x1 x2 2 2
x1 x2 3; x1 x2 15
13、已知x1、x 2是方程x - 4x 2 0的
2
两个实数根，求： 1 1 解：a 1, b 4, c 2 （ 1 ） ； x1 x 2 x1 x2 4, x1 x2 2 （2） x1 - x 2 .
1 1 x2 x1 x1 x2 4 (1) 2； x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 2
1 11 x1 , x2 . 2 2
2 5 10 2 5 10 x1 , x2 . 4 4
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9、关于x的方程 6m - 12m 7 x 2mx 1 0，
2 2


不论m取何值，该方程都是一 元二次方程， 上述判断是否正确？请 给予说明。
解：上述判断正确，理 由如下： 6m - 12m 7 （ 6 m - 2m） 7 （ 6 m - 2m 1 - 1 ） 7
x1+x2=-k， x1x2=k+2
又
x12+ x2 2 = 4
当k=4时,△= K2-4k-8 =-8＜0
即(x1+ x2)2 -2x1x2=4 K2- 2(k+2）=4 K2-2k-8=0
∴k=4(舍去）
当k=-2时，△= K2-4k8 =4 ＞ 0 ∴ k=-2
解得：k=4 或k=－2
2 2
3 2x 1） x - 2 3； 42x （ 5x
2
11 3 x1 , x2 2 2
5 51 5 51 x1 , x2 . 2 2
2
- 2 x - 31 0.
2
5 x1 1, x2 . 2
x1 9, x2 11.
64x - 3 - 25 0. - 2x - 99 0；