对称矩阵的对角化

令 aij = aji，则 2 aij xi xj = aij xi xj + aji xi xj ，于是
f ( x1 , x2 ,L , xn ) a11 x12 a22 x22 L ann xn2 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 L 2an1,n xn1 xn a11 x12 a12 x1 x2 L a1n x1 xn a21 x2 x1 a22 x22 L a2n x2 xn L an1 xn x1 an2 xn x2 L ann xn2
0
x
❖ 解析几何中，二次曲线的一般形式
ax2 + bxy + cy2 = 0
通过选择适当 x的的xc旋os转变ys换in,
y
x sin
y cos.
使得 mx' 2 + ny' 2 = 0 ．
f ( x1 , x2 ,L , xn ) a11 x12 a22 x22 L ann xn2
定义：含有2an12 x个1 x2变 2量a13 xx11x,3 xL2, …2a,nx1,nn x的n1 x二n 次齐 次函数
证明：
f (P y) = l1 y12 + l2 y22 + … + ln yn2
若R(A) = r，不妨设 l1, l2, …, lr 不等于零， lr+1 = … = ln =0,
k1
令
K
=
k2
O
,
kn
其中ki
1 ,
| li |
1,
i r, i r.
若二次型 f 经过可逆变换 x = C y 变为标准形，即
f xT Ax
(Cy)T A(Cy)
yT (CT AC ) y
k1 y12 k2 y22 L kn yn2
k1
( y1 ,
y2 ,L
,
yn
)
k2 O
y1
y2
M
kn yn
问题：对于对称阵 A，寻找可逆矩阵 C，使 CTAC 为对角阵, （把对称阵合同对角化）．
( x1, x2 ,L
,
xn
)
a21
x1
a22
x2 M
L
a2n xn
对称阵
an1 x1 an2 x2 L ann xn
a11 a12 L
( x1,
x2 ,L
,
xn
)
a21 M
a22 M
L
xT Ax
an1 an2 L
a1n x1
a2
n
x2
M M
ann xn
即
f = k1 y12 + … + kp yp2 − kp+1 yp+12 − … − kr yr2
则上式称为二次型的规范形．
说明：这里只讨论实二次型，所求线性变换也限于实数范围.
定义：设 A, B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 P 满足 P −1AP = B ，
则称矩阵A 和 B 相似．（P.121定义7） 定义：设 A, B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 C 满足
a11 a12 L
f
( x1,
x2 ,L
,
xn )
( x1,
x2 ,L
,
xn
)
a21 M
a22 M
L
对称阵的
an1 an2 L
二次型
a1n x1
a2n
x2
M M
ann xn
二次型 的矩阵
a11 a12 L
A
a21 M
a22 M
L
an1 an2 L
a1n
a2n
M
ann
对称阵 A 的秩也叫做二次型 f 的秩． 线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.
对于二次型，寻找可逆的线性变换
x1 c11 y1 c12 y2 L c1n yn ,
x2
c21 LL
y1 L
c22 y2 L c2n LLLLLL
yn ,
xn cn1 y1 cm2 y2 L cnn yn .
n
aij xi x j i, j1
f ( x1 , x2 ,L , xn ) a11 x12 a12 x1 x2 L a1n x1 xn a21 x2 x1 a22 x22 L a2n x2 xn L an1 xn x1 an2 xn x2 L ann xn2
a11 x1 a12 x2 L a1n xn
f (P y) = l1 y12 + l2 y22 + … + ln yn2 其中 l1 , l2 , … , ln 是 f 的矩阵 A 的特征值．
推论：任给二次型 f (x) = xTAx （其中A = AT） ，总存在 可逆变换 x = C z ，使 f (Cz) 为规范形．
推论：任给二次型 f (x) = xTAx （其中A = AT） ，总存在 可逆变换 x = C z ，使 f (C z) 为规范形．
例 2阶方阵
Baidu Nhomakorabea
1 0
0
0
对应
例 2阶方阵
cos sin
sin
cos
y
x1 y1
x, 0.
0
投影变换
P(x, y)
P1( x1 , y1 )
x
对应
x
y
x1 x1
cos sin
y1 sin , y1 cos .
y
P(x, y)
以原点为中心逆时针
旋转 角的旋转变换
P1( x1 , y1 )
CTAC = B ， 则称矩阵A 和 B 合同．（P.129定义9） 显然， BT = (CTAC)T = CTAT (CT)T = CTAC = B
即若 A 为对称阵，则 B 也为对称阵． R(B) = R(A) ． 经过可逆变换后，二次型 f 的矩阵由 A 变为与 A 合同的矩阵 CTAC，且二次型的秩不变．
简记为 x = C y ， 于是 f = xTAx
= (C y)T A (C y) = yT (CTAC) y
使二次型只含平方项，即
f = k1 y12 + k2 y22 + … + kn yn2 定义：只含平方项的二次型称为二次型的标准形（或法式）.
如果标准形的系数 k1 , k2 , … , kn 只在−1, 0, 1三个数中取值,
定义：如果 n 阶矩阵A 满足 ATA = E，即 A−1 = AT， 则称矩阵A 为正交矩阵，简称正交阵． 定理：设 A 为 n 阶对称阵，则必有正交阵 P，使得
P −1AP = PTAP = L， 其中 L 是以 A 的 n 个特征值为对角元的对角阵（不唯一）.
（P.124定理7）
定理：任给二次型 f (x) = xTAx （其中A = AT） ，总存在 正交变换 x = P y ，使 f 化为标准形