第二十九章 介质波导

从上面分析已经知道，介质波导存在
TE0n， TM0n， EHmn， HEmn模式
要满足上述方程
K K
2 c1
2 c2
K02
2
n12
2
K 02 n22
K
2 0
200
K2≤≤K1
(29-41) (29-42)
三、截止条件
金属波导中截止条件 kc1 0,
即 2 22 (29-43)
case 1 m=0的情况，由特征方程(20-29)知道
1(u) 2(w)
或者
1
(u)
2 1
2
(w)
TEon模 (29-31) TEon模 (29-32)
二、介质波导模式
其中，n表示场沿半径方向分布的最大值个数。
它可以分成两套独立分量：
Hz , E 和Hr ——TE0n模
Ez , Er , H
第29章
介质波导
Dielectric Waveguide
从这次课开始，将介绍几种毫米波传输线。
频率的升高对于微带的主要问题是：高次模的出现， 色散的影响和衰减的加大。
毫米波，亚毫米波传输线基本要求
·频带宽
·低损耗(传输损耗和辐射损耗)
·便于集成
·制造简便
主要是悬置带线，鳍线，介质波导，这里将重点讨
mJ
m (kc1r kc1r
)
Fs
H
j
k12
0 kc1
J
'm
(
kc1r
)
P
2
k12
mJ
m (kc1r kc1r
)
Fc
二、介质波导模式
观察(29-36)定义式和(29-35)的近似关系，得到
P 1 P 1
EH mn 模 HEmn 模
(29-40)
三、截止条件
——TM 0n 模
case 2 m≠0情况
112
2
22
(1
2 )12
m2
1 u2
1 w2
1
u2
2
w2
二、介质波导模式
也可写出
12
n22 n12
22
1
n22 n12
12
m2
1 u2
1 w2
1 u2
n22 n12
1
w2
归结起来
12
1
n22 n12
12
n22 n12
22
m2
半径为a，介质的介电常数为1，0，周围空间是1， 0，所给出的Z轴与圆柱轴重合，见图29-1所示。
一、圆柱介质波导的场方程
我们采用
1
i 2
代表介质波导外场
2
Ezi
Hzi
ki2
Ezi H zi
0
按照一般习惯，也可写成
2
Ezi
Hzi
ni2
k02
Ezi H zi
0
(29-1) (29-2) (29-3)
Hzi Bi
(29-8)
上述假定常称之为分离变量法，于是又导出两个常微 分方程
d
2 ( d 2
)
m2 (
)
0
(29-9)
r2
d 2 R(r) dr 2
r
dR(r) dr
ni2k02 2 r 2 m2 R(r) 0
一、圆柱介质波导的场方程
因为介质波导的开波导特点，对于介质波导内部，有
一、圆柱介质波导的场方程
其中
nkii22
i
k02 ni2
20i
k02 200
(29-4)
ni也称为折射率，考虑到波导系统 / z (j我 们只 考虑入射波)。有
2
2 l
Z 2
2 l
2
(29-5)
一、圆柱介质波导的场方程
于是进一步写出
l2
Ezi H zi
k02 ni2
2
［定义］
P
0
Bm
m
1 u2
1 w2
Am
1 2
(29-36)
二、介质波导模式
则介质波导内的纵向场分量可表示为
其中
Ez
H
z
J m(uR)Fc
PJ 0
m
(uR)
Fs
Fc Fs
Am1 cos me jz
J m (u)
Am1 sin me jz
J m (u)
(29-37) (29-38)
方程(29-25)称为求模数的色散方程或特征方程，由
此导出传播因子。
二、介质波导模式
已知知道 因此有
2 k12 au 2 k22 wa 2
(29-25)
2w2
k12 w 2
au
2
w2
2u2
k22u2
wa
2
u2
(29-26)
二、介质波导模式
(w2 u2 ) k12w2 k22u2 k02(1w2 2u2 ) (29-27)
2
K'm (w) wK m ( w)
TEon模 1(u)=－2(w)可写成
u kc1a w kc2a
uJm(u) Km(w) 0
J 'm (u) K'm (w)
(29-45) (29-46)
三、截止条件
原因是kc2≡0, w=0 ，TM0n模 uJm(u) 2 wKm(w) 0 J 'm (u) 1 K'm (w)
边界条件是r=a时 很容易导出
Ez1 Ez2
H
z1
Hz2
E1
Ee
H1 He
(Байду номын сангаас9-23)
(1
2 )(k121
k222 )
m2
2
1 u2
1 w2
(29-24)
一、圆柱介质波导的场方程
其中
1
J'm (u) uJ m (u)
,2
K'm (w) wJ m ( w)
k12 k02n12 , k22 k02n22
TE01, TM 0n EHmn , HEmn 混合模式 HE11是主模
四、相速
c
vp
2
r
1
c
g
2
1
c
截止条件
c
f fc
vp
c
r1
mn 2a
2
c r1
＜v＜ pc
vp
r1
mn 2a
2
截止条件
kc2k00n2 0
ki2
Ei
Hi
0
封闭内区域求解
全空间分区域求解
四、相速
边界条件
• 旋转周期条件
• 0点有限条件
• 场连续条件
ra
Ez1 0
E1
0
TE TM 模式 TE11是主模
边界条件 • 旋转周期条件 • 0点有限条件 • 点有限条件 • 正常传输条件 kc21 k12 2≥0 kc22 2 k22≥0 • 场连续条件r a Ez1 Ez2 , Hz1 Hz2 E1 E 2 , H1 H 2
介质波导中截止条件
kc2=0
(29-44)
金属波导截止时，波沿Z方向无传播只是振幅衰
减，同时因为是封闭的，外部无电磁场。介质波导 截止时kc2＜0，波沿r方向有辐射，且沿z方向仍有传 播——称为辐射模。
所以kc2≥０是波导外无辐射场的条件。
三、截止条件
case 1 m=0时
1
J 'm (u) uJ m(u)
J
m (uR)e
jm
e
jz
Bm2 Km(w)
K
m
(wR)e
jm
e
j z
R＜1
(29-19)
R＜1
R＜1
(29-20)
R＞1
一、圆柱介质波导的场方程
回忆起横向分量采用纵向分量表示的不变量矩阵
Er
E
H
r
H
1 kc2
0 0
j
0
j
0
0
j
0
Ez
j
0
r 1 Ez r
(K0 ) 00 传播速度是光速。
(29-56)
四、相速
可得到相速
k0
r1
mn 2a
2
vp
C
r1
mn 2a
2
(29-57) (29-58)
其中，mn是Jm(kc1a)的根值。介质波导中波速在之
间。金属波导和介质波导之比较
四、相速
金属圆柱波导
介质圆柱波导
2
Ei
Hi
J m(uR)
R(r)
R2 (a) K m ( w)
K m ( wR)
R r ＜1
a (29-18)
R r ＞1 a
一、圆柱介质波导的场方程
E(
z)
Am1 J m (u)
J
m
(uR)e
jm
e
jz
Am2 K m ( w)
K
m
(
wR)e
jm
e
jz
H(z)
Bm1 J m (u)
∴ TE0n， TM0n模截止条件都可写为
J0(u0n)=0
(29-47) (29-48)
case 2
m≠0且m=1，特征方程变为
(1
2 )(11
22
)
1 u2
1 w2
1
u2
2
w2
(29-49)
三、截止条件
十分明显，有
计及1和2定义式
1
1 u2
2
1 w2
1 J '1 (u) u J1(u)
根据Bessel函数递推公式，又有
也即
2
w2 u2 w2u2
k02
1w2 2u2
w2u2
2
1 u2
1 w2
k02
1
u2
2
w2
于是，特征方程(29-24)又可改写成
(29-28)
(1
2
)(11
22
)
m2
1 u2
1 w2
1
u2
2
w2
(29-29)
二、介质波导模式
我们引入归一化频率
v (u2 w2 )1/2 k0a(n12 n22 )1/2 (29-30)
1 u2
1 w2
1 u2
n22 n12
式(29-33)是以1为未知数的二次方程，解出
1 w2
(2 90-33)
1
1
n22 n12
2
2
1 2
(29-34)
1
n22 n12
22
4
n22 n12
22
m2
1 u2
1 w2
1 u2
n22 n12
1
w
2
1
1 2
1
n22 n12
2＜n12k02
(29-10)
必定是驻波型解，只能是第一类Bessel函数。而
在介质波导外部，有
2＞n22k02
(29-11)
它又必须是衰减场，只能取第二类修正Bessel函数。
一、圆柱介质波导的场方程
也就是根据r=0和r=∞的边界条件，我们自然省去了 Nm(r)(Neumann)函数和Im(r)函数
论——圆柱介质波导。
y
ε2 ,μ0
z
r oφ
ε1 ,μ0
a
x
图 29-1 圆柱介质波导
一、圆柱介质波导的场方程
介 质 波 导 从 理 论 方 面 着 手 将 首 推 Hondros 和 Debye(1910)1966年作为光纤使用，1970年低耗光纤 获得发展。
圆 柱 介 质 波 导 属 于 开 波 导 系 统 ( Open Waveguide System)，因而求解区域自然是全空间(full space)
0
H z r 1 H
z
(29-21)
r
一、圆柱介质波导的场方程
Er
j kc2i
Ez r
j0
m r
H
z
E
j kc2i
jm
r
Ez
0
H z r
H
r
j kc2i
H z r
j i
m r
Ez
H
j kc2i
jm
r
Hz
i
Ez r
(29-22)
一、圆柱介质波导的场方程
2
1 2
1
n22 n12
22
4m2
1 u2
1 w2
1 u2
n22 n12
1
w2
二、介质波导模式
如果n1≈n2时
1
2
m
1 u2
1 w2
(29-35)
介质波导的最大特点是——Ez和Hz会同时存在，从概 念上只有这样才会满足阻抗条件，这时，式(29-35)
取 取
号——EH mn 模 号——HEmn 模
二、介质波导模式
对应的横向分量
Er
j
kc1
J
'm
( kc1r )
P
mJ
m (kc1r kc1r
)
Fc
E
j
kc1
PJ
'm
(
kc1r
)
mJ
m (kc1r kc1r
)
Fs
(29-39)
H
r
j
k12
0 kc1
P
2
k12
J 'm
( kc1r )
(29-15)
于是可以得到
D1
D2
R1(a) J m (u) R2 (a) K m ( w)
(29-16)
一、圆柱介质波导的场方程
其中
u kc1a
k02n12 2
1/ 2
a
w kc2a
2 k02n22
1/ 2
a
这样(29-13)式变为
(29-17)
R(r)
R1(a) J m (u)
2 0
01
2
2 202
2
2 200r1 k02 200r2 2
n12 2
k02n22
(29-14)
一、圆柱介质波导的场方程
根据边界r=a的条件(注意开波导系统是连续条件)
R1(a) R2 (a)
D1J m(kc1a) D2 Km (kc2a
D1J ) D2
m (u) K m ( w)
Ezi
Hzi
0
(29-6)
应用分离变量法求解，在圆柱坐标系中具体为
2 r 2
Ezi
Hzi
1 r
r
Ezi
Hzi
1 r2
2 2
Ezi
Hzi
( ni2 k02
2)
(29-7)
Ezi
0
Hzi
一、圆柱介质波导的场方程
省略e-jz因子，令
Ezi
Ai
R(r)( )
J
'1
(u)
J0
(u)
1 u
J1(u)
可知HE1n模条件是
J1(u1n)=0
(29-50) (29-51) (29-52) (29-53)
三、截止条件
当n=1即HE11模
u11=0
(29-54)
HE11模无截止波长
( )c HE11
(29-55)
HE11模是圆柱介质波长的基模，若2=0则在截止条件1：
Bessel函数 修正Bessel函数 图 29-2 Bessel函数和修正Bessel函数
一、圆柱介质波导的场方程
(
)
cos m
Csin
m
Ce
jm
R1
(
r
)
D1J m (kc1r)
R2 (r) D2 Km(kc2r)
(r＜a) (r＞a)
(29-12) (29-13)
其中
kkcc2212