用数学软件Mathematica做线性代数

用数学软件Mathematica做线性代数

作者：***

四川大学数学学院

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目录

前言

第一章行列式

行列式Det[A]

克拉默法则

第二章矩阵及其运算

矩阵的线性运算

矩阵的乘法A.B

矩阵的转置Transpose[A]

逆矩阵Inverse[A]

矩阵方程

第三章矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的行最简形RowReduce[A]

矩阵的秩MatrixRank[A]

齐次线性方程组

基础解系NullSpace[A]

非齐次线性方程组

求特解LinearSolve[A,b]

用Solve求线性方程组的解

第四章向量组的线性相关性

向量的线性表示

极大无关组

第五章相似矩阵及二次型

正交矩阵

矩阵的特征值Eigenvalues[A]

矩阵的特征向量Eigenvectors[A]

矩阵的对角化

矩阵的正交化Orthogonalize[P]

二次型的标准化

参考文献

前言

Mathematica是著名的数学软件，具有强大的的数学运算能力和绘图功能。

本文档用Mathematica来进行线性代数中的各种运算。

本文档中所有的例子都是用Mathematica 7编程和计算的，有的命令在版本较低的Mathematica可能无法执行。

另外，有的运算结果拷贝到Word时，格式有些变化，但是在Mathematica中的输出格式没有问题。

如有对本文档中的内容任何问题，请发邮件与作者讨论。

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2010-9-4

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第一章 行列式

行列式 Det[A]

例 计算三阶行列式1

24221342

A -=---（同济5版，3页）

输入：

A={{1,2,-4},{-2,2,1},{-3,4,-2}}；

Det[A]

输出：

-14

例 计算四阶行列式3

11251

3420

111

533A ---=---（同济5版，12页） 输入：

A={{3,1,-1,2},{-5,1,3,-4},{2,0,1,-1},{1,-5,3,-3}};

Det[A]

输出：

40

例 求解方程2

11

123

049x x =（同济5版，3页） 输入：

A:={{1,1,1},{2,3,x},{4,9,x^2}}

Solve[Det[A] 0,x]

输出：

{{x →2},{x →3}}

例 计算行列式2324323631063a

b c d a

a b a b c a b c d

a a

b a b c

a b c d a a b a b c a b c d

++++++++++++++++++（同济5版，13页）

输入：

A={{a,b,c,d},{a,a+b,a+b+c,a+b+c+d},{a,2a+b,3a+2b+c,4a+3b+2c+d},{a,3a+b,6a+3b+c,10a+6b+3c+d}};

A//MatrixForm （给出A 的矩阵形式）

Det[A]

输出：

(\[NoBreak]{

{a, b, c, d},

{a, a+b, a+b+c, a+b+c+d},

{a, 2 a+b, 3 a+2 b+c, 4 a+3 b+2 c+d},

{a, 3 a+b, 6 a+3 b+c, 10 a+6 b+3 c+d}

}\[NoBreak]) （给出A 的矩阵形式）

a 4

例 计算行列式00

0000

00000

0000

0000000

00a b a b a b c d c d

c d （同济5版，15页）

输入：

A={{a,0,0,0,0,b},{0,a,0,0,b,0},{0,0,a,b,0,0},{0,0,c,d,0,0},{0,c,0,0,d,0},{c,0,0,0,0,d}};

A//MatrixForm

Det[A]

Factor[%]（将结果因式分解）

输出

-b 3 c 3+3 a b 2 c 2 d-3 a 2 b c d 2+a 3 d 3

-(b c-a d)3

例计算范德蒙行列式

12345

22222

12345

33333

12345

44444

12345

11111

x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x

（同济5版，18页）

输入：

Van=Table[x[j]^k,{k,0,4},{j,1,5}]

%//MatrixForm

Det[Van]

输出：

{{1,1,1,1,1},{x[1],x[2],x[3],x[4],x[5]},{x[1]2,x[2]2,x[3]2,x[4]2,x[5]2},{x[1]3,x[2]3,x[3 ]3,x[4]3,x[5]3},{x[1]4,x[2]4,x[3]4,x[4]4,x[5]4}}

(\[NoBreak]{

{1, 1, 1, 1, 1},

{x[1], x[2], x[3], x[4], x[5]},

{x[1]2, x[2]2, x[3]2, x[4]2, x[5]2},

{x[1]3, x[2]3, x[3]3, x[4]3, x[5]3},

{x[1]4, x[2]4, x[3]4, x[4]4, x[5]4}

}\[NoBreak])

x[1]4 x[2]3 x[3]2 x[4]-x[1]3 x[2]4 x[3]2 x[4]-x[1]4 x[2]2 x[3]3 x[4]+x[1]2 x[2]4 x[3]3

x[4]+x[1]3 x[2]2 x[3]4 x[4]-x[1]2 x[2]3 x[3]4 x[4]-x[1]4 x[2]3 x[3] x[4]2+x[1]3 x[2]4

x[3] x[4]2+x[1]4 x[2] x[3]3 x[4]2-x[1] x[2]4 x[3]3 x[4]2-x[1]3 x[2] x[3]4 x[4]2+x[1]

x[2]3 x[3]4 x[4]2+x[1]4 x[2]2 x[3] x[4]3-x[1]2 x[2]4 x[3] x[4]3-x[1]4 x[2] x[3]2

x[4]3+x[1] x[2]4 x[3]2 x[4]3+x[1]2 x[2] x[3]4 x[4]3-x[1] x[2]2 x[3]4 x[4]3-x[1]3 x[2]2 x[3] x[4]4+x[1]2 x[2]3 x[3] x[4]4+x[1]3 x[2] x[3]2 x[4]4-x[1] x[2]3 x[3]2 x[4]4-x[1]2

x[2] x[3]3 x[4]4+x[1] x[2]2 x[3]3 x[4]4-x[1]4 x[2]3 x[3]2 x[5]+x[1]3 x[2]4 x[3]2

x[5]+x[1]4 x[2]2 x[3]3 x[5]-x[1]2 x[2]4 x[3]3 x[5]-x[1]3 x[2]2 x[3]4 x[5]+x[1]2 x[2]3

x[3]4 x[5]+x[1]4 x[2]3 x[4]2 x[5]-x[1]3 x[2]4 x[4]2 x[5]-x[1]4 x[3]3 x[4]2 x[5]+x[2]4

x[3]3 x[4]2 x[5]+x[1]3 x[3]4 x[4]2 x[5]-x[2]3 x[3]4 x[4]2 x[5]-x[1]4 x[2]2 x[4]3

x[5]+x[1]2 x[2]4 x[4]3 x[5]+x[1]4 x[3]2 x[4]3 x[5]-x[2]4 x[3]2 x[4]3 x[5]-x[1]2 x[3]4

x[4]3 x[5]+x[2]2 x[3]4 x[4]3 x[5]+x[1]3 x[2]2 x[4]4 x[5]-x[1]2 x[2]3 x[4]4 x[5]-x[1]3

x[3]2 x[4]4 x[5]+x[2]3 x[3]2 x[4]4 x[5]+x[1]2 x[3]3 x[4]4 x[5]-x[2]2 x[3]3 x[4]4

x[5]+x[1]4 x[2]3 x[3] x[5]2-x[1]3 x[2]4 x[3] x[5]2-x[1]4 x[2] x[3]3 x[5]2+x[1] x[2]4

x[3]3 x[5]2+x[1]3 x[2] x[3]4 x[5]2-x[1] x[2]3 x[3]4 x[5]2-x[1]4 x[2]3 x[4] x[5]2+x[1]3 x[2]4 x[4] x[5]2+x[1]4 x[3]3 x[4] x[5]2-x[2]4 x[3]3 x[4] x[5]2-x[1]3 x[3]4 x[4]

x[5]2+x[2]3 x[3]4 x[4] x[5]2+x[1]4 x[2] x[4]3 x[5]2-x[1] x[2]4 x[4]3 x[5]2-x[1]4 x[3] x[4]3 x[5]2+x[2]4 x[3] x[4]3 x[5]2+x[1] x[3]4 x[4]3 x[5]2-x[2] x[3]4 x[4]3 x[5]2-x[1]3 x[2] x[4]4 x[5]2+x[1] x[2]3 x[4]4 x[5]2+x[1]3 x[3] x[4]4 x[5]2-x[2]3 x[3] x[4]4

x[5]2-x[1] x[3]3 x[4]4 x[5]2+x[2] x[3]3 x[4]4 x[5]2-x[1]4 x[2]2 x[3] x[5]3+x[1]2 x[2]4 x[3] x[5]3+x[1]4 x[2] x[3]2 x[5]3-x[1] x[2]4 x[3]2 x[5]3-x[1]2 x[2] x[3]4 x[5]3+x[1]