153收敛定理的证明

2sin nxdx
0
f
(x)sin x
2cos nxdx
0 F1(x)sin nxdx 0 F2(x)cos nxdx
(12)
其中
F1 ( x)
f (x)cos x 0,
2,
0 x , x 0,
n1
f 在[ , ]可积,考察积分
-
f
(
x)
Sm
(
x)2
dx
-
f
2 (x)dx
2
-
f
( x)Sm ( x)dx
-
Sm2
(x)dx
f 2(x)dx -
2 -
f
(
x)
a0 2
m n1
an
cos
nx
bn
sin
nx
dx
-
a0 2
m
an
n1
cos nx
bn
2
sin nx
dx
f 2(x)dx -
方法是,把极限表达式化为积分,
利用Riemann - Lebesgue定理(推论2),
证明相应积分的极限为零.
施证方案:
1.写出Sn (x)=
a0 2
n
ak
k 1
cos kx
bk
sinSk或xn (Dx)的i的ric简积hl分缩et积形形分式式 .
1
sin n 1 2t
Sn (x)
f (x t)
lim f (x)sin(n 1 2)xdx 0, (10)
n 0
0
lim f (x)sin(n 1 2)xdx 0.
(11)
n
证明: 来证(10),同理可证(11).
0 f (x)sin(n 1 2)xdx
0
f
(x)cos x
2sin nx cos nxsin x
2dx
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
f
(x)cos x
lim
n
f
(
x 2
0)
1
sin n 1 2t
f (x t)
0
2sin t 2
dt
lim 1
n 0
f (x 0)
f (x t)
sin n 1 2 2sin t 2
t
dt
3. 把以上最后的式子,化为 应用Riemann - Lebesgue定理的形式,即令
(t) f (x 0) f (x t) , t (0 , ]
2sin t 2
则
lim 1
n
0
f
(x
0)
f
(x
t
)
sin n 1 2t 2sin t 2
dt
lim 1
n
(t) sin n 1 2t dt
0
4. 利用Riemann Lebesgue定理,证明上述极限为零.
即证
1
lim
n0
(t) sin n 1 2t dt 0
0
(7)
若函数f 在区间[ , ]上可积,则有:
lim f (x)cos nxdx 0,
n
(9)
lim f (x)sin nxdx 0.
n
证明:
由预备定理1 ,
知级数 a02 2
(
n1
an2
bn2
)收敛.
an2 bn2 0, 即 an 0,且bn 0. //
推论2. 若函数f 在区间[ , ]上可积,则 :
1 cos cos 2
2
cos
n
sin n 1 2sin
2 2
建立Dirichlet积分
1
0
sin n sin t
1 2t 2
dt
1,
(6)
利用该式把
f
(x 2
0)
表示为Dirichlet积分
f
(x 2
0)
1
0
f
(x
sin n 1 2t 0) 2sin t 2
dt
于是,又把上述1 中(4)式左端化为
§15.3 收敛定理的证明
Dini 定理 设以2 为周期的函数 f 在区间 [ , ]上按段光滑, 则在每一点x [ , ],
f 的 Fourier 级数收敛于 f 在点x的左、右极限 的算术平均值, 即
f
(x
0)
2
f
(x
0)
a0 2
an cos nx
n1
bn sin nx
(1)
其中an和bn为f 的Fourier系数.
2sin t 2
dt
(3)
利用该表示式,
f
(x 0) 2
f
(x 0)
Sn(x)
f (x 0) 2
f (x 0) 1
f
(
x
t)
sin n 1 2t 2sin t 2
dt
f (x 0) 1
2
0
f
(
x
t)
sin n 1 2 2sin t 2
t
dt
f
(x 2
0)
1
0
f
(x
sin n 1 2t t) 2sin t 2
2 -
a0 2
f (x)
m n1
an
f
(
x)
cos
nx
bn
f
(
x)
sin
nx
dx
a0 2
2
-
dx
m n1
an2
-
cos
2
nxdx
bn2
-
sin
2
nxdx
f 2 (x)dx
-
2
2
a02
m n1
(an2
bn2
)
2
a02
m
(
n1
an2
bn2
)
0
-
f Sm 2
-
f
2
2
a02
m
(an2
n1
bn2 )
即
1 2
a02
m n1
(
an2
bn2 )
1
f2
-
(有限常数)
正项级数 a02 2
( an2 bn2 )的部分和数列有界.
n1
它收敛,
且有:
a02 2
(
n1
an2
bn2
) 1
f 2(x)dx .
//
推论1( Riemann - Lebesgue定理)
1
1
f (x)cos nxdx
f (x)sin nxdx.
证明思路: 设f (x)
a0 2
an
n1
cos nx
bn
sin nx
.
我们要证明, 对每个x [ , ] ,
Sn(x)
f (x 0) f (x 0) 2
即证明,
lim
n
f
(x 0) 2
f
(x 0)
Sn
0
(2)
我们先建立以下预备定理和其推论.
预备定理1 ( Bessel不等式)
若函数f 在区间上[ , ]可积,
则有Bessel不等式 :
a02
2
( an2 bn2 )
n1
1 f 2(x)dx
(8)
其中an和bn为函数f 的Fourier系数.
证 :
令
Sm ( x)
a0 2
m
an cos nx bn sin nx
dt
于是把问题归结为证明
lim
n
f
(x 2
0)
1
sin n 1 2t
f (x t)
0
2sin t 2
dt
0
(4)
和
lim
n
f
(x 2
0)
1
0
sin n 1 2t
f (x t)
2sin t 2
dt
0
(5)
(4)与(5)式的证明是相同的, 只证(4).
2.为证上述第一式,先利用三角公式
为此,先证明Bessel不等式,
再建立Riemann Lebesgue定理,
要证最后这一极限等于零, 由Riemann Lebesgue定理,
只要函数(t)在区间[0, ]上可积,
因此希望(0 0)存在,
由函数f 在区间[ , ]上按段光滑,
可以验证(0 0)存在.
预备定理及其推论: 为实施以上证明方案,