向量及运算
向量的基本运算公式大全
向量的基本运算公式大全一、向量的定义与基本概念向量是具有大小和方向的量，可以用一个有序数对或有序三元组表示。
例如，二维平面上的向量（a，b）表示从原点出发，沿着横坐标轴正方向移动a 个单位，再沿着纵坐标轴正方向移动b个单位。
向量可分为有序实数对和有序复数对两种类型。
二、向量的加法与减法运算1.向量加法：两个向量相加，结果是一个新的向量，其大小等于两个向量的大小的和，方向与两个向量的方向相同。
例如，向量A（a1，b1）与向量B （a2，b2）相加，结果为向量C（a1+a2，b1+b2）。
2.向量减法：两个向量相减，结果是一个新的向量，其大小等于两个向量的大小的差，方向与减数的方向相反。
例如，向量A（a1，b1）与向量B（a2，b2）相减，结果为向量C（a1-a2，b1-b2）。
三、向量的数乘运算1.向量与实数的乘积：将一个实数k与一个向量A相乘，结果是一个新的向量，其大小为原向量A大小的k倍，方向与原向量A的方向相同。
例如，向量A（a，b）与实数k相乘，结果为向量（ka，kb）。
2.向量与复数的乘积：将一个复数k与一个向量A相乘，结果是一个新的向量，其大小为原向量A大小的|k|倍，方向与原向量A的方向相同。
例如，向量A（a，b）与复数k相乘，结果为向量（ka，kb）。
四、向量的标量积与向量积1.标量积：两个向量A（a，b）和B（c，d）的标量积为一个实数，计算公式为：A·B = a*c + b*d。
标量积满足交换律和结合律，可用于表示向量之间的相似程度。
2.向量积：两个向量A（a，b）和B（c，d）的向量积为一个新的向量，计算公式为：AB = (ad - bc，bc - ab)。
向量积满足右手法则，可用于表示两个向量之间的垂直关系。
五、向量的模与单位向量1.向量的模：向量A（a，b）的模为其横纵坐标平方和的平方根，计算公式为：|A| = √(a + b)。
2.单位向量：一个向量的模为1时，该向量称为单位向量。
高考数学中的向量与向量运算
高考数学中的向量与向量运算高考数学中涉及的向量是一个很重要的概念。
向量是由大小和方向两个属性所构成的一个有序数对，其中大小用标量表示，方向用与其相应的单位正交基表示。
在向量运算中，向量可以进行加、减、数乘和内积等操作。
一、向量的基本概念及表示方法1.向量的概念向量是一个由大小和方向两个属性所构成的有序数对。
可以用一个有向线段代表。
在空间直角坐标系中，向量a可以用有序的三个实数 (x,y,z) 表示。
向量的长度也叫做模，可以表示为 ||a||。
2.向量的加法向量 a + b 的结果是一个新的向量 c ，c 的起点是 a 的终点，c 的终点是 b 的终点。
3.向量的数乘数乘操作是把一个数乘上一个向量，得到一个新的向量。
数乘的结果是一个方向和原向量相同（或相反），长度等于原向量长度乘以该数的绝对值。
4.向量的内积向量的内积是相对于该向量长度的一个标量。
向量 a 和向量 b 的内积可以用以下公式表示：a·b = ||a|| ||b|| cosθ其中，θ 是向量 a 和向量 b 之间的角度。
二、向量的应用1.解平面几何问题向量可以应用于求平面上的距离，角度和面积等问题。
2.解空间几何问题在空间几何中，向量也被广泛应用于求距离，面积和体积等问题。
3.解力学问题物理学中使用向量来描述力和速度。
三、向量运算的性质1.交换律向量加法和内积运算满足交换律，即 a+b = b+a，a·b=b·a。
2.结合律向量加法和内积运算满足结合律，即 a+(b+c)=(a+b)+c，a·(b·c)=(a·b)·c。
3.分配律向量加法和数乘运算满足分配律，即 a(b+c) = ab+ac。
四、向量运动向量可以用来描述物体的运动状态。
运动状态的变化可以用向量实现，例如速度，加速度等等。
总之，在数学领域，向量是一个非常重要的概念。
向量的运算可以解决很多复杂的问题。
同时，向量广泛应用于物理学，工程学，计算机科学等多个领域。
向量的基本运算与性质
向量的基本运算与性质在数学中，向量是一个有方向和大小的量。
向量可以进行各种基本运算，并且具有一些特殊的性质。
本文将介绍向量的基本运算和性质。
一、向量的表示和定义向量可以用多种方式进行表示，最常见的是使用箭头符号→在字母上方表示一个向量。
例如，向量a可以表示为→a。
向量还可以用坐标形式表示，如(a1,a2,a3)。
在三维空间中，向量通常表示为一个由起点和终点确定的有向线段。
向量有大小（模长）和方向，可以通过两点之间的差值来表示。
二、向量的基本运算1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量按照相应的对应分量相加得到一个新的向量。
设有两个向量→a=(a1,a2,a3)和→b=(b1,b2,b3)，则它们的和为→a+→b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)。
2. 向量的减法向量的减法是指将两个向量按照相应的对应分量相减得到一个新的向量。
设有两个向量→a=(a1,a2,a3)和→b=(b1,b2,b3)，则它们的差为→a-→b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)。
3. 向量的数量乘法向量的数量乘法是指将一个向量的每个分量都乘以一个标量得到一个新的向量。
设有一个向量→a=(a1,a2,a3)和一个标量k，那么它们的数量乘积为k→a=(ka1,ka2,ka3)。
三、向量的性质1. 交换律向量的加法满足交换律，即→a+→b=→b+→a。
这意味着向量的加法顺序可以交换，不会改变结果。
2. 结合律向量的加法满足结合律，即(→a+→b)+→c=→a+(→b+→c)。
这意味着向量的加法可以按照不同的顺序进行，结果不会改变。
3. 零向量零向量是指所有分量都为0的向量，通常表示为→0=(0,0,0)。
对于任意向量→a，有→a+→0=→0+→a=→a。
4. 相反向量对于任意向量→a，存在一个相反向量-→a，使得→a+(-→a)=(-→a)+→a=→0。
其中-→a的每个分量都是→a对应分量的相反数。
5. 数量乘法的性质数量乘法满足结合律和分配律。
10.1向量及其运算(1-30)
数乘运算的性质 :
例 设 AD , BE ,CF 是三角形 ABC 的中线 ,
求 解
AD BE CF
1 AD ( AC AB) 2
F A E
B
因为
D
C
1 BE ( BA BC ) 2 1 CF (CB CA) 2
1 AD BE CF ( AC AB BA BC CB CA) 2 1 ( AC AB AB BC BC AC ) 0 2
(5)
(b )a
a b cos (a ,ˆ b ) b cos (a ,ˆ b ) a
1 ab b a b a a a
ba (b )a
(6)
ab cos (a ,ˆ b ) ab
(5) 外积与混合积
外积: 两个向量 a 与 b 的外积 a b 是一个向量,
它的长度为
a b a b sin(a ,ˆ b )
b , a b ) 形成 右手系 . 若 a , b 中有一是零向量 , 则外积规定为
例 设 M 点是三角形 ABC 的重心 , 证明 : 对
任意一点 O , M 点相对于 O 的位置向量
1 OM (OA OB OC ) 3
F A E
O
C
B
M
D
解 由于 OM OA AM
OM OB BM OM OC CM
将三式相加得
3OM OA OB OC AM BM CM
OC OB (OA OB ) BC BA ( ) AB
向量及其运算
以a、b的坐标表示式代入, 即得 x=2(2, 1, 2)-3(-1, 1, -2) =(7, -1, 10), y=3(2, 1, 2)-5(-1, 1, -2) =(11, -2, 16).
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四、利用坐标作向量的线性运算
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•向量的平行 两个非零向量如果它们的方向相同或相反, 就称这两个
向量平行. 向量a与b平行, 记作a//b. 零向量认为是与任何向量都平行.
•共线向量与共面向量
a//b//c
当两个平行向量的起点放在同一点时, 它们的终点和公
共的起点在一条直线上. 因此, 两向量平行又称两向量共线.
(2) 数 轴 的 的 正 向 通 常 符 合 右手规则.
原点
y轴 x轴
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•坐标面 在空间直角坐标系中, 任意两个坐标轴可以确定一个平
面, 这种平面称为坐标面. 三个坐标面分别称为xOy 面, yOz面和zOx面.
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•坐标面
在空间直角坐标系中, 任意两个坐标轴可以确定一个平 面, 这种平面称为坐标面.
❖空间直角坐标系
在空间取定一点O和三个两两垂直的单位向量i、j、k, 就 确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴, 依次记为x轴(横 轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴), 统称为坐标轴. 它们构成一个空 间直角坐标系, 称为Oxyz坐标系.
z轴
说明：
(1)通常把x轴和y轴配置在水 平面上, 而z轴则是铅垂线;
高中数学向量的运算
高中数学向量的运算向量是数学中常用的一个概念，它在高中数学中占据着重要的地位。
向量的运算是指对向量进行相加、相减、取乘积等操作。
本文将就高中数学向量的运算进行详细的介绍。
1. 向量的表示方法向量通常用小写字母加箭头来表示，例如a→、b→。
在坐标系中，向量可以用有序数组表示，例如a→(3, 4)表示向量a→在坐标系中的终点坐标为(3, 4)。
2. 向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
设有向量a→(a1, a2)和向量b→(b1, b2)，则它们的和向量c→(c1, c2)可以表示为：c→ = a→ + b→ = (a1 + b1, a2 + b2)。
3. 向量的减法向量的减法是指将两个向量相减得到一个新的向量。
设有向量a→(a1, a2)和向量b→(b1, b2)，则它们的差向量c→(c1, c2)可以表示为：c→ = a→ - b→ = (a1 - b1, a2 - b2)。
4. 向量的数乘向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘得到一个新的向量。
设有向量a→(a1, a2)和实数k，则它们的数乘ka→可以表示为：ka→ = (ka1, ka2)。
5. 向量的数量积向量的数量积又称为点积或内积，表示为a→·b→。
设有向量a→(a1, a2)和向量b→(b1, b2)，则它们的数量积a→·b→可以表示为：a→·b→ = a1b1 + a2b2。
6. 向量的数量积的性质向量的数量积具有以下性质：- a→·b→ = b→·a→：数量积满足交换律；- a→·(b→ + c→) = a→·b→ + a→·c→：数量积满足分配律；- k(a→·b→) = (ka→)·b→ = a→·(kb→)：数量积与数乘的结合律。
7. 向量的向量积向量的向量积又称为叉积或外积，表示为a→×b→。
向量的基本运算公式大全
向量的基本运算公式大全向量是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域的计算和分析中。
下面是向量的基本运算公式的大全，供您参考：1. 向量的加法：若向量A = (a1, a2, ..., an)，向量B = (b1, b2, ..., bn)，则它们的和为：A +B = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn)2. 向量的减法：若向量A = (a1, a2, ..., an)，向量B = (b1, b2, ..., bn)，则它们的差为：A -B = (a1 - b1, a2 - b2, ..., an - bn)3. 向量的数乘：若向量A = (a1, a2, ..., an)，k为一个常数，则k乘以向量A 的结果为：kA = (ka1, ka2, ..., kan)4. 向量的数量积（内积）：若向量A = (a1, a2, ..., an)，向量B = (b1, b2, ..., bn)，则它们的数量积为：A·B = a1b1 + a2b2 + ... + anbn5. 向量的向量积（叉积）：若向量A = (a1, a2, a3)，向量B = (b1, b2, b3)，则它们的向量积为：A ×B = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)6. 向量的模长（长度）：若向量A = (a1, a2, ..., an)，则它的模长为：||A|| = √(a1^2 + a2^2 + ... + an^2)7. 两个向量的夹角：若向量A和向量B之间的夹角为θ，则有：cos(θ) = (A·B) / (||A|| ||B||)8. 向量的投影：若向量A的投影向量B在向量C上，且向量B在向量C上的长度为h，则有：h = ||A|| cos(θ)，其中θ为向量A和向量C之间的夹角9. 向量的单位向量：若向量A的模长为||A||，则向量A的单位向量为：Ȧ = A / ||A||10. 向量的平行和垂直：若向量A和向量B之间的夹角为θ，则有：- 若cos(θ) = 1，则向量A和向量B平行；- 若cos(θ) = 0，则向量A和向量B垂直。
(完整版)向量公式汇总
向量公式汇总平面向量1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。
当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
4、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。
作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b 的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b。
若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉；若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。
向量及向量的基本运算
向量及向量的基本运算【知识点精讲】1）向量的有关概念①向量：既有大小又有方向的量。
向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：。
向量的大小即向量的模（长度），记作||。
②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行。
<注意与0的区别>③单位向量：模为1个单位长度的向量。
④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。
任意一组平行向量都可以移到同一直线上。
⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。
相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =。
2）向量加法 ①求两个向量和的运算叫做向量的加法。
设b a ==,，则a +b =+=。
向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”。
说明：（1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律；3)向量的减法① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量。
记作a -,零向量的相反向量仍是零向量。
关于相反向量有： （i ）)(a --=a ； (ii) a +(a -)=(a -)+a =0； (iii)若a 、b 是互为相反向量，则a =b -,b =a -,a +b =0 。
②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，记作：)(b a b a -+=-。
求两个向量差的运算，叫做向量的减法。
b a -的作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点）。
注：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。
（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。
4)实数与向量的积①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ）a a⋅=λλ；（Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a的方向相反；当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的。
向量的运算与性质
向量的运算与性质1. 引言向量是数学中重要的概念之一，常用于描述有方向和大小的物理量。
向量的运算是指对向量进行加法、数乘、内积等操作的过程，而向量的性质则是指向量在运算过程中具备的特点和规律。
本文将介绍向量的运算以及与之相关的性质。
2. 向量的加法向量的加法是指将两个向量按照一定规则相加的操作。
设有两个向量A和A，它们的加法运算符号可以表示为A+A。
向量的加法满足以下性质：- 交换律：A+A=A+A- 结合律：(A+A)+A=A+(A+A)- 零向量：对于任意向量A，存在一个特殊的向量A，使得A+A=A3. 向量的数乘向量的数乘是指将向量与一个标量相乘的操作。
设有一个向量A 和一个标量A，它们的数乘运算可以表示为AA。
向量的数乘满足以下性质：- 结合律：A(AA)=(AA)A- 分配律：(A+A)A=AA+AA，A(A+A)=AA+AA4. 向量的内积向量的内积是指将两个向量通过一定运算规则得到一个标量的操作，表示为A·A。
向量的内积有以下性质：- 交换律：A·A=A·A- 分配律：A·(A+A)=A·A+A·A- 数乘结合律：A(A·A)=(AA)·A=A·(AA)5. 向量的外积向量的外积是指将两个向量通过一定运算规则得到一个新的向量的操作，表示为A×A。
向量的外积有以下性质：- 反交换律：A×A=−(A×A)- 分配律：A×(A+A)=A×A+A×A- 数乘结合律：A(A×A)=(AA)×A=A×(AA)6. 向量的模长向量的模长是指向量的大小，通常用一个非负实数表示。
设向量A=(A₁,A₂,A₃)，其模长可表示为│A│=√(A₁²+A₂²+A₃²)。
向量的模长有以下性质：- 非负性：对于任意向量A，有│A│≥0，且当且仅当A=A时，│A│=0- 数乘性质：对于任意标量A和向量A，有│AA│=|A|│A│7. 向量的夹角向量的夹角是指两个向量之间的夹角。
向量的运算的所有公式
向量的运算的所有公式数学公式是数学题目解题关键，那么向量的运算公式有哪些呢?快来和小编一起看看吧。
下面是由小编为大家整理的“向量的运算的所有公式”，仅供参考，欢迎大家阅读。
向量的运算的所有公式向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则，向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0，0的反向量为0，OA-OB=BA.即“共同起点，指向被减”a=(x1,y1)，b=(x2,y2) ，则a-b=(x1-x2,y1-y2)。
在数学中，向量(也称为欧几里得向量、几何向量、矢量)，指具有大小(magnitude)和方向的量。
它可以形象化地表示为带箭头的线段。
箭头所指：代表向量的方向;线段长度：代表向量的大小。
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则，向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0，0的反向量为0，OA-OB=BA.即“共同起点，指向被减”a=(x1,y1)，b=(x2,y2) ，则a-b=(x1-x2,y1-y2)。
数与向量的乘法满足下面的运算律：结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。
向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
向量的数量积的运算律：a·b=b·a(交换律)(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律)向量的向量积运算律：a×b=-b×a(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb)a×(b+c)=a×b+a×c.(a+b)×c=a×c+b×c.拓展阅读：向量的表达方式1.代数表示一般印刷用黑体的小写英文字母(a、b、c等)来表示，手写用在a、b、c等字母上加一箭头(→)表示，也可以用大写字母AB、CD上加一箭头(→)等表示。
§7.1向量及其运算1
设有两非零向量
a
与
b
O
，任取空间一点
b
O
，
B
作 OA a ， OB b ，规定不超过 的角 AOB
（设 q
AOB,
0
q
）称为向量
a
与
b
的
夹角。记为
(a,
b)
或
(a
b)
，即
(a,
b)
q
。
如果向量a
与b
中有一个是零向量，规定
它们的夹角可在0 与 之间任意取值。
类似地可以规定向量与一轴 的夹角或空间两轴的夹角。
§7.1向量及其运算
7.1.1 向量的概念
B
向量： 既有方向又有大小的量。
常用有向线段来表示向量。
AB A
以 A为 起点，B为 终点的有向线段所表示的向量
记作 AB ，或a 。
向量的模：向量的大小，记作
a
。
单位向量：模等于 1 的向量。与非零向量a同 向的单
位向量称为向量a
的单位向量，记作a
。
零向量：模等于零的向量，记为0 ，其方向不定。
∵
a (a b )
0
，
a
(c
a
)
0
，
∴
a (b c )
0
，故a ,
b, c
共面。
作业
习 题 一 （P67）
3（做在书上）； 4 ；5 ；6 。
设物体在常力F 作用下沿某直线移动，其位移为S ，
则作用在物体上的常力F 所作的功为
F
W F S cos q 。 W F ·S 。
其中q 定义 3
为两力向F 量与a位、移bS的的模夹及角其。夹角的A 余弦q的乘S 积，
向量的四则运算公式
向量的四则运算公式一、向量加法。
1. 三角形法则。
- 已知向量→a与→b，将→b的起点平移至→a的终点，则从→a的起点指向→b的终点的向量就是→a+→b。
- 公式：设→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，则→a+→b=(x_1 + x_2,y_1 + y_2)。
2. 平行四边形法则。
- 以同一点O为起点的两个已知向量→a，→b为邻边作平行四边形，则以O 为起点的对角线向量就是→a+→b。
二、向量减法。
1. 三角形法则。
- 已知向量→a与→b，将→a与→b的起点平移到同一点，则从→b的终点指向→a的终点的向量就是→a-→b。
- 公式：设→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，则→a-→b=(x_1 - x_2,y_1 - y_2)。
三、向量数乘。
1. 定义。
- 实数λ与向量→a的乘积是一个向量，记作λ→a。
- 当λ>0时，λ→a与→a方向相同；当λ = 0时，λ→a=→0；当λ<0时，λ→a 与→a方向相反。
2. 公式。
- 设→a=(x,y)，则λ→a=(λ x,λ y)。
四、向量的数量积（内积）1. 定义。
- 已知两个非零向量→a与→b，它们的夹角为θ(0≤slantθ≤slantπ)，则→a·→b=|→a||→b|cosθ。
2. 坐标表示。
- 设→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，则→a·→b=x_1x_2 + y_1y_2。
向量没有除法运算，因为向量之间的除法没有唯一确定的结果，但是在一些特殊情况下，可以通过向量的数量积和向量的模等概念来求解类似的问题。
向量的基本运算公式大全
向量的基本运算公式大全（实用版）目录1.向量的加法和减法2.向量的数乘3.向量的点积4.向量的叉积5.向量的模和夹角6.齐次坐标和变换正文一、向量的加法和减法向量的加法和减法是向量运算中最基本的运算，其定义和规则与我们熟悉的数值加减法类似。
给定两个向量 A 和 B，其加法和减法定义如下：A +B = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)A -B = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3)二、向量的数乘向量的数乘是向量与标量的乘积，其结果是一个向量，其模长是原向量模长的 k 倍，方向与原向量相同或相反，k 为标量。
给定一个向量 A 和一个标量 k，其数乘定义如下：kA = (ka1, ka2, ka3)三、向量的点积向量的点积，又称内积，是一种计算两个向量之间相似度的方法。
其结果是一个标量，其值等于两个向量模长的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积。
给定两个向量 A 和 B，其点积定义如下：A·B = |A|*|B|*cosθ四、向量的叉积向量的叉积，又称外积，是一种计算两个向量之间垂直度的方法。
其结果是一个向量，其模长等于两个向量模长的乘积与它们的夹角的正弦值的乘积，方向垂直于两个向量构成的平面。
给定两个向量 A 和 B，其叉积定义如下：A ×B = (a2*b3 - a3*b2, a3*b1 - a1*b3, a1*b2 - a2*b1)五、向量的模和夹角向量的模，又称向量的长度，是向量的一种度量，等于向量对应端点之间的距离。
给定一个向量 A，其模定义如下：|A| = √(a1^2 + a2^2 + a3^2)向量的夹角，是向量 A 与向量 B 之间的角度，其范围在 0 到π之间。
给定两个向量 A 和 B，它们的夹角定义如下：θ = arccos(A·B / (|A|*|B|))六、齐次坐标和变换齐次坐标是一种用于表示向量的简化方法，它可以将向量的三个分量表示为一个三个元素的序列。
10.1 向量及其运算
负向量 (1) a 称为 a 的负向量，记为 a ．
差运算 a 与 b 的和称为 a 与 b 的差，
记为 a b．
C
b
b
A
a
a b
B
C
b
D
a b
a b
A
a
B
三角形法则
平行四边形法则
向量满足下列运 算规律：
(1)
交换律
a b b a
a
b
(3)
Prj b a
a b
e
a
b
|a|
Prj a b
a b
e
b
a
|b|
例 1.设
a, b, c
是三个任意向量，若分别以OA, OB 和OC表示，
点P,Q, R, S 分别是线段 OA, AB, BC,CO 的中点．试分别
求出OP
,OQ ,OR,OS与a,
b,
c的关系式，从而推证
PQ
SR．
解
显然，OP
1 2
OA
1 2
a
，OS
1 2
OC
1 2
c
b
)
时， 则称
a
与
b
垂 直(正 交 ） ，记
a b．
2
定义
给定向量 a
向量及其运算
数量的定义数学中，把只有大小但没有方向的量叫做数量（或纯量），物理中常称为标量。
向量的定义既有大小又有方向的量叫做向量（亦称矢量）。
注：在线性代数中的向量是指n个实数组成的有序数组，称为n 维向量。
α=（a1，a2，…，an）称为n维向量.其中ai称为向量α的第i个分量。
（"a1"的"1"为a的下标，"ai"的"i"为a的下标,其他类推）。
向量的表示1、代数表示：一般印刷用黑体小写字母α、β、γ…或a、b、c …等来表示，手写用在a、b、c…等字母上加一箭头表示。
2、几何表示：向量可以用有向线段来表示。
有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
（若规定线段AB的端点A为起点，B为终点，则线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度。
这种具有方向和长度的线段叫做有向线段。
）3、坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底。
a为平面直角坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量OP=a。
由平面向量基本定理知，有且只有一对实数（x，y），使得 a=向量OP=xi+yj，因此把实数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y）。
这就是向量a的坐标表示。
其中（x，y）就是点P的坐标。
向量OP称为点P的位置向量。
向量的模和向量的数量向量的大小，也就是向量的长度(或称模)。
向量a的模记作|a|。
注：1、向量的模是非负实数，是可以比较大小的。
2、因为方向不能比较大小，所以向量也就不能比较大小。
对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。
例如，“向量AB>向量CD”是没有意义的。
特殊的向量单位向量长度为单位1的向量，叫做单位向量．与向量a同向且长度为单位1的向量，叫做a方向上的单位向量，记作a0，a0=a/|a|。
零向量长度为0的向量叫做零向量，记作0．零向量的始点和终点重合，所以零向量没有确定的方向，或说零向量的方向是任意的。
2.向量及其运算
设 a 为一向量, 与 a 的模相同而方向相反 的向量叫做 a 的负向量 , 记作 a.
两个向量 b 与 a 的差
a ba b a
b a b (a ).
B
O
b a
ba
A
三角不等式 a b a b, a b a b.
10
其中等号在 a 与 b 同向或反向时成立.
如图知a M 1 M 2 M 1 P M 1Q M 1 R ( x 2 x1 )i ( y2 y1 ) j ( z 2 z1 )k a x i a y j az k 其中向量a x i，a y j，a z k 分别称为向量a在x轴, y轴, z轴上的分向量，
z
R
P
M1
M2
Q
o
x
y
27
z
R
M1
由图分析可知
o
x
P
M2
Q
y
a y | M 1 M 2 | cos | a | cos
a x | M1 M 2 | cos | a | cos
az | M1 M 2 | cos | a | cos
2
向量也可用粗体字母表示, 如 a , i , v , F 等等, 向量还可用在上面 加箭头的书写体字母 表示, 如a , i , v , F 等等.
向量的大小叫做向 量的模.向量 M1 M 2、a、a 的模依次记作 M1 M 2 、 a、 a.
向量的模
单位向量
模等于1 的向量叫做单位向量 , 用ea 表示与 非零向量a同方向的单位向量.
§2 向量及其运算
向量及其线性运算
向量及线性运算
(a)
0.
[2]
减法
a
b
a
(b)
a
b
b
a
三角不等式
a
b
(1)
|
a
b
||
a
(2)
|
a
b
||
a
| |
| |
b b c
c a
a
b|
b|
a
(b ) b
b
2、向量与数的乘法
设 是一个数，向量a 与 的乘积a 规定为
（2）分配律：( )a a a
(a
b)
a
b
例1
化简
a
b
5
1
b
b
3a
解
a
b
5
1
b
2 b
3a
5
2
5
(1
3)a
1
5 2
1 5
5
b
2a
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
解 M1M2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14, M2M3 2 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M3M1 2 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6, M2M3 M3M1 , 原结论成立.
平面向量及其运算
平面向量及其运算平面向量是指在平面上用箭头表示的量，具有大小和方向。
在数学中，平面向量的运算包括加法、减法、数量乘法和向量点积。
一、向量的表示平面向量通常用有箭头的字母表示，例如a、b等。
向量的起点为初始点，箭头的指向表示向量的方向。
向量的大小可以用线段的长度来表示。
二、向量的加法向量的加法是指将两个向量首尾相接，然后连接起点和终点的线段就是它们的和向量。
加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。
三、向量的减法向量的减法是指将被减向量反向后与减向量相加。
减法可以转化为加法的形式，即a - b = a + (-b)。
四、数量乘法向量与一个实数相乘，称为数量乘法。
数量乘法改变向量的大小和方向。
当实数为正数时，向量与实数的乘积与向量的方向相同；当实数为负数时，向量与实数的乘积与向量的方向相反。
五、向量的点积向量的点积是指相互垂直的两个非零向量的数量积。
点积的结果是一个实数。
设a = (a1, a2)和b = (b1, b2)，则a·b = a1 * b1 + a2 * b2。
六、向量的运算性质1. 向量加法满足交换律和结合律。
2. 数量乘法满足结合律和分配律。
3. a·b = b·a，a·(kb) = k(a·b)，(a + b)·c = a·c + b·c。
七、平面向量的应用平面向量在几何、物理等学科中有着广泛的应用。
以下是一些应用场景：1. 平面向量可以用来描述物体在平面上的位移和速度。
2. 平面向量可以用来表示力的大小和方向，从而研究物体在平面上的受力情况。
3. 平面向量可以用来解决几何问题，如判断线段是否平行、垂直等。
总结：平面向量是具有大小和方向的量，在数学中有着广泛的应用。
平面向量的运算包括加法、减法、数量乘法和向量点积。
通过理解和掌握向量的运算法则，我们可以更好地应用平面向量解决问题，在几何、物理等领域中有着重要的作用。
向量的概念及其运算
坐标,记为 OA = x, y .
注:向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具.
3.相等向量:长度相等且方向相同的向量. 向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量
a 与 b 相等,记为 a b .
课堂练习:
4.正方形 PQRS 对角线交点为 M，坐标原点 O 不在正方形内部，
A 且
OP
=（0，3），
OS
=（4，0），则
RM
=(
)
(A)（ 7 , 1 ） (B)（ 7 , 1 ） (C)（7，4） (D)（ 7 , 7 ）
22
22
22
5.已 知 a (1，2)，b x，1 ,且 a 2b 与 2a b 平 行,则 x 等 于
OA AB OB
实数与 向量的 乘积
三角形法则
两个向 量的数 量积
AB =λ a
λ ∈R
记 a =(x,y)
则 a =(λ x,λ y)
ab a b cos a,b 记 a (x1, y1),b (x2, y2)
则 a · b =x1x2+y1y2
向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量 的数量积运算.
当基底 i, j 是两个互相垂直的单位向量时,
就建立了平面直角坐标系.如图
a xi y j 一一对应(x, y)
⑴当向量起点在原点时,定义向量坐标
为终点坐标,即若 A(x，y),则 OA =（x,y）;
⑵当向量起点不在原点时,向量 AB 坐标为终点坐标减
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解: 设 M 的坐标为
A M B
AM MB AM OM OA MB OB OM
OM O A ( OB OM )
得 即
o
A
B
OM 1 ( OA OB 1 1 (x x , y y , z z ) 1 2 1 2 1 2 1
2 ( 2 z ) 3 5
2
2
故所求点为 M (0 , 0 , 14 ) .
9
思考: (1) 如何求在 xOy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?
(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?
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提示:
(1) 设动点为 M ( x , y , 0) , 利用 M A M B , 得 且 (2) 设动点为 M ( x , y , z ) , 利用 M A M B , 得 例5. 已知两点 解:
两向量共线 .
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
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二、向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:
(a b) c a (b c )
abc
c
bc b
b ab
三角形法则:
a
ab b
ab
a
运算规律 : 交换律
z
坐标轴 :
O
y
x
坐标面 :
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2. 向量的坐标表示
以 i , j , k 分别表示 x , y , z 轴上的单位向量 , 设点 M z 的坐标为 M ( x , y , z ) , 则 C M OM ON NM OA OB OC k j r B O y i 记 A r x i y j z k (x , y , z ) x N
x
y
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x cos r y cos r z cos r
x x2 y2 z 2 y x y z z
2 2 2
z
O
r
x
y
x2 y2 z 2
方向余弦的性质:
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例6. 已知两点
和
计算向量
的模 、方向余弦和方向角 .
第7章
向量代数与空间解析几何
第一部分 向量代数
第二部分
空间解析几何
在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 数量关系 — 坐标, 方程（组） 基本方法 — 坐标法; 向量法
第一节 向量及其线性运算
一、向量的概念
第七章
二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系
四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影
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若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等,
记作 a＝b ;
若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, 记作
a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ;
与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量,
记作－a ; 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称
1) 2) (为实数)
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例7. 设立方体的一条对角线为OM, 一条棱为 OA, 且
OA a , 求OA 在 OM 方向上的投影.
解: 如图所示, 记 ∠MOA = ,
M
OA 1 cos 3 OM
Prj OM
a OA OA cos 3
O a A
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此式称为向量 r 的坐标分解式 , 沿三个坐标轴方向的分向量,
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在空间直角坐标系下, 任意向量 r 可用向径 OM 表示.
四、利用坐标作向量的线性运算
设 a ( a x , a y , a z ), b (bx , b y , bz ) , 为实数， 则
a b ( a x bx , a y b y , a z bz )
中点公式:
M B
o
A
B
x1 x2 , 2
y1 y 2 , 2
z1 z 2 2
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M
结束
五、向量的模、方向角、投影
1. 向量的模与两点间的距离公式
则有 设 r ( x , y , z ), 作 OM r ,
R
O
z
M Q y N
OP OQ r OM ON NM OR 由勾股定理得
设 a 与 u 轴正向的夹角为 , 则 a 在轴 u 上的投影为 a cos
M
a
O M
u
记作 Prj u a 或 ( a )u , 即
M
M
O
( a )u a cos
u
例如, a ( a x , a y , a z ) 在坐标轴上的投影分别为 a x , a y , a z 投影的性质
三角不等式
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3. 向量与数的乘法
是一个数 , 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 a .
规定 :
总之:
a a
运算律 : 结合律 ( a ) ( a ) a 分配律
可见 1a a 1a a ;
( a b ) a b
求AB的单位向量 e .
AB 3 面上与 1 2 (1) 如何求在 xOy A , , , B 等距离之点的轨迹方程? 14 14 14
(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?
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e
AB
1 (3 ,1, 2) 14
2. 方向角与方向余弦
b a BD
MC 1 (a b) 2
2 MA 2 MB
MD 1 (b a ) 2
D
C
b
1 (b a ) A MB MA 1 ( a b ) 2 2
M
a
B
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三、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念 过空间一定点 O ,由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系.
a ( a x , a y , a z )
平行向量对应坐标成比例:
当 a 0 时,
bx a x by a y
bx b y bz ax a y az
bz a z
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例2. 已知两点 在AB所在直线上求一点 M , 使
及实数 1 , 如图所示
z
z 轴(竖轴)
• 坐标原点
Ⅲ Ⅳ
yOz 面
Ⅱ
• 坐标轴 • 坐标面
Ⅰ
• 卦限(八个) Ⅶ
O xOy面
x轴(横轴)
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
x
Ⅷ
Ⅴ
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在直角坐标系下
向径 r 有序数组 ( x , y , z ) 点 M (称为点 M 的坐标) 特殊点的坐标 :
设有两非零向量 任取空间一点 O , 称 =∠AOB (0≤ ≤ ) 为向量
a , b 的夹角.
类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . 与三坐标轴的夹角 , , 为其方向角. 方向角的余弦称为其方向余弦. x x cos r x2 y2 z 2
z
r O
则有单位向量 ea
1 a
a. 因此 a a ea
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定理1. 设 a 为非零向量 , 则 a∥b ( 为唯一实数)
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例1. 设 M 为
ABCD 对角线的交点,
试用 a 与 b 表示 MA , MB , MC , MD .
解:
a b AC
原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C
R ( 0,0, z )
C ( x , 0, z )
1 1
1 1
z
B ( 0, y , z )
r
M
O x P ( x ,0,0 )
Q ( 0 , y ,0 )
y
A ( x , y ,0 )
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ab ba 结合律 ( a b ) c a ( b c ) a b c
a
三角形法则可推广到多个向量相加 .
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s a1 a 2 a3 a 4 a5 a4 a3 a5
s
a2 a1
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2. 向量的减法
a
解:
M 1M 2 ( 1 2 , 3 2 , 0 2 )
( 1 , 1 , 2 )
( 1) 2 12 ( 2 ) 2 2
1 cos , 2 π , 3
2 cos 2 3π 4
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2πห้องสมุดไป่ตู้, 3
3. 向量在轴上的投影
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