第二讲实数

6.(2012²烟台中考) 4的值是( (A)4 (B)2 (C)-2
) (D)±2
【解析】选B.∵22=4,∴ 4 =2.故选B.
实数的混合运算 ◆中考指数：★★★★☆
在实数的运算中需要注意的三个方面
1.运算方法：在实数的运算中，正确理解算术平方根、绝 知 识 点 睛 对值、零指数幂、负指数幂的相应概念，依据相应的法则
知 识 点 睛
◆中考指数：★★★★☆ 特 别 提 醒
1.明确 a， a， a 的不同意义， 表示a的算术平方根， a － a 表示a的算术平方根的相反数，± 表示a的平方根. 2 2.明确 与 2 的不同， 2 ＝a(a≥0)， 2 =|a|，即 a a a a 当a≥0时， 2 ＝a，当a＜0时， 2 ＝－a.
a


a
aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【例2】(2012²义乌中考)一个正方形的面积是15,估计它的边 长大小在( (A)2与3之间 (C)4与5之间 ) (B)3与4之间 (D)5与6之间
【思路点拨】先由题意得边长即为15的算术平方根，再由算术
平方根的意义估算.
【自主解答】选B.∵一个正方形的面积是15,
∴该正方形的边长为 15， ∵9＜15＜16，∴3＜ 15＜4.
得出结果.
【规范解答】33=27,27-3=24,24÷2=12. 答案：12
【名师点评】通过对程序运算的分析和总结，我们可以得到以 下该类型题目的创新点拨和解题启示.
创 新 点 拨
解 题 启 示
1.程序运算题目中的运算都是以我们学过的加、减、乘、 除、乘方、开方等运算为基础,规定运算顺序的一类计算 题. 2.程序运算是阅读理解问题的一种形式，主要考查阅读 理解能力和新知识的学习能力.
±3 1.± 9 的值等于____.
2. 4的算术平方根为___. 2
-3 3. 3 27=_____.
三、实数的运算 1.实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方 运算，而且有理数的运算法则和运算律对实数仍然适用. 2.无理数的计算
ab a b =____(a≥0,b≥0)； a a b ____ a 0, b 0 . b a b ab =______(a≥0,b≥0)； a a b ____ a 0,b 0 . b
计算.
2.运算律：包括加法交换律、结合律、乘法的交换律、结 合律、分配律，要注意减法和除法没有运算律，需要先将
减法转换为加法，除法转换为乘法，才能应用运算律.
3.乘方运算：乘方运算要分清底数和指数，特别注意负底 数和负指数这两种情况.
1.实数运算要注意运算顺序和符号问题，运用运算律简化 特 运算时，一定要正确使用运算律. 别 提 2.如果有零指数幂或负整数指数幂时，一定要记住公式： 醒 (1)零指数幂：a0=1(a≠0), (2)负整数指数幂：a-p=
二、开方
平方 a 1.平方根：如果一个数的_____等于a,那么这个数叫做__的平
二次方根 方根或__________.数a的平方根记作____(a≥0). a 2.立方根：如果一个数的立方等于a, 那么这个数叫做a 的立
3 三次方根 方根或_________.数a的立方根记作___. a
【即时应用】
4.每一个数都有立方根，且只有一个.
实数的分类及有关概念
◆中考指数：★★★★★
1.无理数的相反数、绝对值、倒数 可以类比有理数中的方法求一个无理数的相反数、绝对 值、倒数. 2.无理数常见的四种类型 3 (1)开不尽的方根，如 2，3，5 等； (2)像循环但是不循环的无限小数，如 0.303 003 000 300 00„(两个3之间依次多一个0)； (3)含有π 的绝大部分数，如2π ; (4)某些三角函数,如sin 20°，tan 40°.
2.(2012²湘潭中考)文文设计了一个关于实数运算的程序，按
此程序，输入一个数后，输出的数比输入的数的平方小1，若
输入 7 ，则输出的结果为( )
(A)5
(B)6
(C)7
(D)8
【解析】选B.设输入的数据为x, 根据题意得，输出的数据为 x2-1，把 7 代入得结果为6.
9.(2011²本溪中考)计算：2-2+|-1.25|-(-π )0 1 . 【解析】原式= 1 1.25 1 1 1.
4 2
4
【创新命题】程序计算题 【例】(2011²东莞中考)按下面程序计算：输入x=3，则输出 的答案是________. 输入x → 立方 → -x → ÷2 → 答案 【解题导引】理解所给程序的运算，确定出运算顺序，计算并
第二讲 实 数
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1.了解：平方根、算术平方根、立方根、无理数与实数的概念； 实数与数轴上的点一一对应；开方与乘方互为逆运算. 2.掌握：求某些非负数的平方根、算术平方根；求某些数的立 方根；用计算器求平方根和立方根；估计一个无理数的大致范 围.
3.会：实数的混合运算.
一、实数的分类及有关概念 整数 分数
1 ap
(a≠0,p是正整数).
【例3】(2011²荆州中考)计算： 12 ( 1 ) 1 2 2 3 .
2
【思路点拨】
分别求值 → 合并 → 结果
【自主解答】
原式 2 3 2 (2 3 2) = 2 3 2 2 3 2 0.
【对点训练】
7.(2011²常德中考)下列计算错误的是( )
知 识 点 睛
◆中考指数：★★★★☆
1.在求实数的相反数、绝对值、倒数的过程中需要注意：
特 (1)对原数(或式)进行化简；(2)符号问题，尤其是去掉 别 绝对值符号后的符号确定，要保证结果是非负数. 提 2.无理数并不都是带根号的数，如π 等；带根号的数也 醒 不都是无理数，如 4，16 等.
【例1】(2011²十堰中考)下列实数中是无理数的是( (A) 2 (B) 4 (C) 1
1.解答此类问题时,先要将程序流程翻译成数学的标准形 态——代数式,再把输入值代入计算,即可得到输出结果. 2.解答此类问题的关键是弄清运算顺序.
1.(2011²铜仁中考)按照如图所示的操作步骤，若输入x的值
为3，则输出的值为________. 输入x → 减去5 → 平方 → 加上3 → 输出 【解析】根据程序图列出代数式：(x-5)2+3,把3代入可得结果 为7. 答案：7
3
)
(D)3.14
【思路点拨】对于带根号的数先化简，再根据无理数的概念作 出判断. 【自主解答】选A.根据有理数和无理数的概念，选项B可化为 有限小数,所以B，D是有理数；选项C是无限循环小数，是有理 数；选项A是无限不循环小数，是无理数，故选A.
【对点训练】
1.(2012²温州中考)给出四个数,-1,0,0.5, 7 ，其中为无理数 的是( (A)-1 ) (B)0 (C)0.5 (D) 7
【解析】选D.由无理数的概念可知 7 是无理数.
2.(2011²六盘水中考)下列实数中，无理数是(
)
(A)-2
(B)0
(C)π
(D) 4
【解析】选C.A项中-2是负整数，B项中0是整数，D项中 4 =2
是正整数，它们都不是无理数；C项中π是一个无限不循环小
数，是无理数.
3.(2011²襄阳中考)下列说法正确的是(
)
(A) ( )0 是无理数
2
(B) 3 是有理数
3
(C) 4 是无理数
(D) 3 8 是有理数
【解析】选D.选项A可化简为1，是有理数；选项B是无理数；
选项C可化简为2，是有理数；选项D可化简为-2，是有理数， 故选D.
平方根和立方根
◆中考指数：★★★☆☆
平方根与立方根的区别与联系 1.三点区别 (1)表示方法不同：平方根用“ ”表示，根指数2省略不 写；立方根用“ 3 ”表示，根指数3不能省略，更不能写 成“ 3 ”. (2)被开方数的取值范围不同：平方根中被开方数必须为非 负数；立方根中被开方数可以为任何实数. (3)结果不同：平方根的结果除0之外，有两个结果，它们 互为相反数；立方根的结果只有一个. 2.两点联系 (1)都与相应的乘方运算互为逆运算； (2)0的平方根与立方根都是0.
【对点训练】 4.(2012²安顺中考)计算 (A) 3 3 (B)3 3
3
27 的结果是(
)
(C)±3
(D)3
【解析】选D.由开立方的意义可得 3 27 3.
5.(2011²泉州中考)(-2)2的算术平方根是( (A)2 (B)±2 (C)-2 (D)4
)
【解析】选A.(-2)2=4，4的算术平方根为2.
无限不循环
2.无理数的相反数、绝对值、倒数与有理数的相反数、绝对值、 相同 倒数的意义是_____的.
【即时应用】 无理数 1. 是_______(填“有理数”或“无理数”).
3
2.
2 2 2 2 的相反数是____，绝对值是___，倒数是____. 2
-2 3.在0， 2，1，-2这四个数中，负整数是___.
3.无理数的化简
【即时应用】 1. 12 3 _________ ___. 3 2 3 3 2. 1 27 ___ __. 9 3
3
3. 3 6 2 ____. 2 2
【核心点拨】 1.实数包括有理数和无理数，一个实数不是有理数就是无理数. 2.实数与数轴上的点一一对应. 3.只有非负数才有平方根，一个非负数的算术平方根仍是非负 数.
(A)2 0110=1
(C)( 1 ) 1 =3
3
(B) 81 =±9
(D)24=16
【解析】选B.不等于0的数的0次幂等于1，选项A正确；
1 1 ( ) =(3-1)-1=31=3，选项C正确；24=2×2×2×2=16，选项D正确； 3
而
是指81的算术平方根，值为9.故选B. 81
8.(2012²青岛中考)计算：3)0 12 3 ____. ( 【解析】原式 1 12 3 1 36 1 6 7. 答案：7