阿基米德三角形及其性质
双曲线阿基米德三角形的性质补充
双曲线阿基米德三角形的性质补充
双曲线阿基米德三角形是指一类具有特殊性质的三角形，它的两个顶点在双曲线上，第三个顶点在双曲线的渐近线上。
关于双曲线阿基米德三角形的一些性质补充如下：
●双曲线阿基米德三角形的两条角平分线交于双曲线的焦
点。
●双曲线阿基米德三角形的内心在双曲线的渐近线上。
●双曲线阿基米德三角形的边长和角度均为双曲线的函数。
●双曲线阿基米德三角形的外接圆和内接圆均为双曲线的
渐近线的圆。
阿基米德三角形及其性质
阿基米德三角形及其性质一、阿基米德三角形的概念过圆锥曲线上任意两点作两条切线交于点Q ，则称△QAB 为阿基米德三角形．二、抛物线的阿基米德三角形的性质：（以抛物线22y px =为例） 性质1 阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴．证明：设112200(,),(,)(,)A x y B x y Q x y ，，弦AB 的中点为(,)M M M x y ， 则过A 的切线方程为11()y y p x x =+，过B 的切线方程为22()y y p x x =+， 联立两切线方程，解得1212,22y y y y x y p +==，所以1202y y y +=， 又122M y y y +=，所以0M y y =，即QM 平行于x 轴． 性质2 底边长为a 的阿基米德三角形的面积的最大值为38a p． 证明：Q 到AB 的距离为2121212()224x x y y y y d QM p p+-≤=-=，设AB 方程为x my n =+， 则23222221211(1)()()428a a AB a m y y y y a d S ad p p ==+-⇒-≤⇒≤⇒=≤． 性质3 若阿基米德三角形底边AB 过抛物线内定点00(,)C x y ，则顶点Q 的轨迹方程为00()y y p x x =+．证明：设(,)Q x y ，则由性质1有1212,22y y y y x y p +==， 由AB AC k k =10122221210222y y y y y y y x p p p--⇒=--，化简得1201202()y y px y y y +=+， 即0000222()px px yy yy p x x +=⇒=+为Q 点的轨迹方程．推论 若阿基米德三角形底边AB 过焦点，则Q 点的轨迹为准线，且QA QB ⊥．性质4 阿基米德三角形底边的中线QM 的中点P 在抛物线上，且O 处的切线与AB 平行．证明：由性质1得12121212,,,2222y y y y x x y y Q M p p ⎛⎫+++⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，QM 中点21212(),82y y y y P p ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 显然P 在抛物线上，过P 的斜率为122AB p k y y =+，故P 处的切线与AB 平行．性质5 在阿基米德三角形中，QFA QFB ∠=∠．证明：作','AA BB 垂直于准线，垂足分别为','A B ，如图，对22y px =两边求导得12'2'QA p p yy p y k y y =⇒=⇒=， 又1'FA y k p-=，所以'1'QA FA k k QA FA ⋅=-⇒⊥，又'AA AF =，设'A F 与QA 交于C ， 则'''','ACA ACF QAA QAF QAA QAF QA QF QA A QFA ∆≅∆⇒∠=∠⇒∆≅∆⇒=∠=∠， 同理可证'''90''90'QA A QA B QB A QB B QFA QFB ∠=∠+=∠+=∠⇒∠=∠ 性质6 在阿基米德三角形中有2AF BF QF ⋅=．证明：222221212121212()()()()2224244y y y y p p p p p AF BF x x x x x x p +⋅=++=+++=++， 2221212()()222y y y y p QF p p +=-+=22221212()244y y y y p p +++，所以2AF BF QF ⋅=． 三．阿基米德焦点三角形的性质把底边过焦点的阿基米德三角形称之为阿基米德焦点三角形．性质1 AB 过焦点F ，则PA ⊥PB ，PF ⊥AB ，△PAB 面积的最小值为2p ．性质2 P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>过右焦点F 的弦在两端点处切线的交点，则P 在椭圆右准线上，且PF ⊥AB ,△PAB 面积的最小值为4b ac． 性质3 P 是双曲线22221x y a b-=过右焦点F 的弦在两端点处切线的交点，则P 在双曲线右准线上，且PF⊥AB,△PAB面积的最小值为4bac．【拓展】当阿基米德三角形的顶角为直角时，有如下性质：对于圆222x y r+=，其阿基米德三角形顶点Q的轨迹为2222x y r+=对于椭圆22221(0)x ya ba b+=>>，其阿基米德三角形顶点Q的轨迹为2222x y a b+=+；对于双曲线22221(0)x ya ba b-=>>，其阿基米德三角形顶点Q的轨迹为2222x y a b+=-．。
阿基米德三角形及其性质课件-学年高三数学一轮复习
阿基米德三角形的性质
性质 6 若直线 l 与抛物线没有公共点，以 l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边
过定点．
证明：如上图，设 l 方程为 ax by c 0 ，且 l
A(x1, y1) ，B(x2 , y2 ) ，弦 AB 过点 C (x0 , y0 ) ，由性
弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的 2 ；设 BI 3
与抛物线所围面积为 S1 ，AI 与抛物线所围面积为 S2 ，AB 与抛物线所围面积
为S
，则 S
ABI
S
QAB
S
QST
3 2
S1
3 2
S2
=
3 2
S
S
QST
3 2
S1
3 2
S2
=
3 2
(S
S1
S2 )
S
QST
=3S 2
ABI
特别地，若阿基米德三角形的底边AB过焦点F，则QFAB.
阿基米德三角形的性质
性质 10 |AF|·|BF|=|QF|2．
证明：|AF|·|BF|= (x1
p 2
)
(
x2
p) 2
=
2 )
p2 4
= ( y1 y2 )2 + y12 y22 + p2 ，
2p
44
而|QF|2= ( y1 y2 p )2 ( y1 y2 )2
德三角形面积的最小值为 p2 ．
p
p
证明（2）：若底边过焦点，则 x0 2 , y0 0 ，Q 点轨迹方程为 x 2 即为准线；易验证
kQA kQB 1 ，即 QA⊥QB，故阿基米德三角形为直角三角形，且 Q 为直角顶点； ∴|QM|
阿基米德三角形常用结论及证明
阿基米德三角形常用结论及证明嘿，伙计们！今天我们要聊聊一个超级有趣的数学问题——阿基米德三角形！你们知道吗？这个名字来源于古希腊的伟大科学家阿基米德，他可是解决了无数难题呢！那么，阿基米德三角形到底是个啥东西呢？别着急，我们一起来揭开它的神秘面纱吧！咱们来简单介绍一下阿基米德三角形。
它是一个特殊的三角形，每条边上的三个顶点都在一个圆上。
这个圆心就是三角形的重心。
你们可能听过一个成语叫做“百折不挠”，其实就是形容阿基米德三角形的特点。
因为无论你怎么旋转这个三角形，它的形状都不会改变，永远都是一个特殊的三角形。
现在，我们来说说阿基米德三角形的一些常用结论。
第一个结论是：阿基米德三角形的内切圆半径等于外接圆半径。
这个结论有点儿难理解，我们来举个例子说明一下。
假设我们有一个阿基米德三角形ABC,其中AB=AC=3,BC=4。
我们可以用勾股定理求出这个三角形的高AD=√(AC^2-CD^2)=√5。
接下来，我们用正弦定理求出外接圆的半径R:R=√(AD^2+BD^2)/2=(√5+2)/2。
然后，我们用面积公式求出内切圆的半径r:S=1/2(BC+AC+AB)*r=1/2*9*r,解得r=(4-√5)/2。
所以，阿基米德三角形的内切圆半径等于外接圆半径，都等于(4-√5)/2。
第二个结论是：阿基米德三角形的周长等于三条边的和。
这个结论很简单，因为周长就是三条边的长度之和嘛！所以，如果我们知道一条边AB的长度，那么另外两条边的长度之和就等于AB。
这就像我们在生活中遇到的一些问题一样，只要知道了一部分信息，就能推导出其他的信息。
接下来，我们来说说阿基米德三角形的一个重要性质：当一个角的对边与另一个角的邻边成比例时，这两个角相等。
这个性质有时候在解决几何问题时非常有用。
比如，我们知道一个角的对边与另一个角的邻边成比例，那么我们就可以用正弦定理求出这两个角的大小。
具体方法是：设这两个角分别为A和B,那么根据正弦定理，有sin(A)/sin(B)=对边/邻边。
2025数学大一轮复习讲义苏教版 第八章 培优点11 阿基米德三角形
√A.若弦AB过焦点，则△PAB为直角三角形且∠APB
＝90° B.点P的坐标是 x1＋2 x2，x12x2
√C.弦AB所在直线的方程为(x1＋x2)x－2py－x1x2＝0 √D.△PAB的边AB上的中线与y轴平行(或重合)
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设 N 为弦 AB 的中点，N 的横坐标为 xN＝x1＋2 x2， 因此直线PN平行于y轴(或与y轴重合)，即平
行于抛物线的对称轴(或与对称轴重合)，故D
正确； 设直线
AB
的斜率为
k＝xy22－－xy11＝2xxp222－－x2x1p21 ＝x12＋px2，
故弦 AB 所在直线的方程为 y－2xp21 ＝x1＋2px2(x－x1)，
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∴S△PAB＝12AB·d＝12×8×|2k12＋＋2kb2 |＝4×
12＋k2·1＋4 k2＝
32
3
(1 k 2 )2
，
当k＝0时，(S△PAB)max＝32.
方法二 由阿基米德三角形的性质知(S△PAB)max＝A8Bp3＝8×83 2＝32.
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4.(多选)(2024·廊坊模拟)如图，△PAB为阿基米德三角形 .抛物线x2＝
联立yy＝＝xx2212xx－－xx442122，，
则x＝x1＋2 x2＝2k， y＝x14x2＝－b，
即P(2k，－b).
因为点P在圆M上，
所以4k2＋(4－b)2＝1，
①
且－1≤2k≤1，－5≤－b≤－3，
即－12≤k≤12，3≤b≤5，满足(※). 设点 P 到直线 AB 的距离为 d，则 d＝|2k12＋＋2kb2 |， 所以 S△PAB＝12AB·d＝4 k2＋b3.
专题4 阿基米德三角形
专题4 阿基米德三角形专题3 阿基米德三角形 微点1 阿基米德三角形 【微点综述】在近几年全国各地高考的解析几何试题中可以发现许多试题涉及到与一个特殊的三角形——由抛物线的弦及过弦的端点的两条切线所围成的三角形有关的问题，这个三角形常被称为阿基米德三角形. 阿基米德三角形包含了直线与圆锥曲线相交、相切两种位置关系，聚焦了轨迹方程、定值、定点、弦长、面积等解析几何的核心问题，“坐标法”的解题思想和数形结合方法的优势体现得淋漓尽致，能很好的提升学生解决圆锥曲线问题的能力，落实逻辑推理、数学抽象、数学运算等核心素养.鉴于此，微点研究阿基米德三角形。
一、预备知识——抛物线上一点的切线方程（1）过抛物线()220y px p =>上一点()00,M x y 的切线方程为：()00y y p x x =+；（2）过抛物线()220y px p =−>上一点()00,M x y 的切线方程为：()00y y p x x =−+；（3）过抛物线()220x py p =>上一点()00,M x y 的切线方程为：()00x x p y y =+； （4）过抛物线()220x py p =−>上一点()00,M x y 的切线方程为：()00x x p y y =−+．下面仅以情形（3）为例给出证明，同理可证其余三种情形。
证法1：设抛物线()220x py p =>上一点()00,M x y 的切线方程为：()00y y k x x −=−，代入22x py =，整理得2002220x pkx py pkx −−+=，由0x ∆=，得()222000044220,220,p k py pkx pk x k y +−=∴−+=抛物线上一点处的切线唯一，∴ 关于k 的一元二次方程200220pk x k y −+=有两个相等的实数根，0,x k p∴=∴所求的切线方程为()000x y y x x p−=−，即2000x x x py py =+−，又2002x py =，∴过抛物线()220x py p =>上一点()00,M x y 的切线方程为：()00x x p y y =+。
抛物线——阿基米德三角形
解析几何——阿基米德三角形知识点：抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形。
因为阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的2/3预备知识：1.过抛物线px y 22=上一点),(00y x M 的切线方程为：)(00x x p y y +=2.过抛物线px y 22-=上一点),(00y x M 的切线方程为：)(00x x p y y +-=3.过抛物线py x 22=上一点),(00y x M 的切线方程为：)(00y y p x x +=4.过抛物线py x 22-=上一点),(00y x M 的切线方程为：)(00y y p x x +-=阿基米德三角形有一些有趣的性质：性质1：阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴.证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，M 为弦AB 中点，则过A 的切线方程为11()y y p x x =+，过B 的切线方程为22()y y p x x =+，联立方程组得1122211222()()22y y p x x y y p x x y px y px =+⎧⎪=+⎪⎨=⎪⎪=⎩解得两切线交点Q (122y y p ，122y y +)，进而可知QM ∥x 轴.性质2：QM 的中点P 在抛物线上，且P 处的切线与AB 平行．证明：由性质1知Q (122y y p ，122y y +)，M 1212(,22x x y y ++，易得P 点坐标为21212()(,82y y y y p ++，此点显然在抛物线上；过P 的切线的斜率为121222p p y y y y =++=ABk ，结论得证．性质3如图，连接AI 、BI ，则△ABI 的面积是△QST 面积的2倍．证明：如图，这里出现了三个阿基米德三角形，即△QAB 、△TBI 、△SAI ；应用阿基米德三角形的性质：弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的23；设BI 与抛物线所围面积为1S ，AI 与抛物线所围面积为2S ，AB 与抛物线所围面积为S ，则123322ABI QAB QST S S S S S =--- =12333222QST S S S S --- =123()2QST S S S S --- =32ABI QST S S - ，∴ABI S = 2QST S ．性质4：若阿基米德三角形的底边即弦AB 过抛物线内的定点C ，则另一顶点Q 的轨迹为一条直线证明：设Q (x ，y )，由性质1，x =122y y p ，y =122y y +，∴122y y px=由A 、B 、C 三点共线知10122221210222y y y y y y y x p p p--=--，即21121020y y y y x y x +--2102y py =-，将y =122y y +，122y y px =代入得00()y y p x x =+，即为Q 点的轨迹方程.性质5：抛物线以C 点为中点的弦平行于Q 点的轨迹．利用两式相减法易求得以C 点为中点的弦的斜率为0p y ，因此该弦与Q 点的轨迹即直线l 平行．性质6若直线l 与抛物线没有公共点，以l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点．证明：如上图，设l 方程为0ax by c ++=，且11(,)A x y ，22(,)B x y ，弦AB 过点C 00(,)x y ，由性质2可知Q 点的轨迹方程00()y y p x x =+，该方程与0ax by c ++=表示同一条直线，对照可得00,c bp x y a a ==-，即弦AB 过定点C （c a ，bp a-）.性质7（1）若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q 的轨迹为准线；反之，若阿基米德三角形的顶点Q 在准线上，则底边过焦点．（2）若阿基米德三角形的底边过焦点，则阿基米德三角形的底边所对的角为直角，且阿基米德三角形面积的最小值为2p ．证明（2）：若底边过焦点，则00,02p x y ==，Q 点轨迹方程为2p x =-即为准线；易验证1QA QB k k ⋅=-，即QA ⊥QB ，故阿基米德三角形为直角三角形，且Q 为直角顶点；∴|QM |=122x x ++2p =22124y y p++2p ≥122||4y y p +2p =224p p +2p =p ，而121||()2QAB S QM y y =- ≥12||||QM y y ⋅≥2p性质8底边长为a 的阿基米德三角形的面积的最大值为38a p．证明：|AB |=a ，设Q 到AB 的距离为d ，由性质1知1212||22x x y y d QM p +≤=-221212244y y y y p p +=-=212()4y y p-，设直线AB 方程为：x my n =+，则2221(1)()a m y y =+-∴221()y y -≤2a ，∴d ≤24a p ，即S =12ad ≤38a p.性质9在阿基米德三角形中，∠QFA =∠QFB ．证明：如图，作AA '⊥准线，BB '⊥准线，连接QA '、QB '、QF 、AF 、BF ，则1'FA y k p=-，显然'1FA QA k k ⋅=-，∴FA '⊥QA ，又∵|AA '|=|AF |，由三角形全等可得∠QAA '=∠QAF ，∴△QAA '≅△QAF ，∴|QA '|=|QF |，∠QA 'A =∠QFA ，同理可证|QB '|=|QF |，∠QB 'B =∠QFB ，∴|QA '|=|QB '|，即∠QA 'B '=∠QB 'A '∴∠QA 'A =∠QA 'B '+900=∠QB 'A '+900=∠QB 'B ,∴∠QFA =∠QFB ，结论得证．特别地，若阿基米德三角形的底边AB 过焦点F ，则QF ⊥AB.性质10|AF |·|BF |=|QF |2．证明：|AF |·|BF |=12(()22p p x x +⋅+=21212()24p p x x x x +++=212(2y y p +22124y y ++24p ，而|QF |2=221212()()222y y y y p p +-+=212()2y y p +22124y y ++24p =|AF |性质11在抛物线上任取一点I （不与A 、B 重合），过I 作抛物线切线交QA 、QB 于S 、T ，则△QST 的垂心在准线上．证明：设211(2,2)A pt pt 、222(2,2)B pt pt 、233(2,2)I pt pt ，易求得过B 、I 的切线交点T 2323(2,())pt t p t t +，过T 向QA 引垂线，其方程为1231232()4t x y p t t pt t t +=++，它和抛物线准线的交点纵坐标123123()4y p t t t pt t t =+++，显然这个纵坐标是关于123,,t t t 对称的，因此从S 点向QB 引垂线，从Q 点向ST 引垂线，它们与准线的交点也是上述点，故结论得证．例1：（2019年台州高三期末21）设点P 为抛物线2:y x Γ=外一点，过点P 作抛物线Γ的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ．（Ⅰ）若点P 为(1,0)-，求直线AB 的方程；（Ⅱ）若点P 为圆22(2)1x y ++=上的点，记两切线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，求1211||k k -的取值范围．解：（Ⅰ）设直线PA 方程为11x m y =-，直线PB 方程为21x m y =-.由121,,x m y y x =-⎧⎨=⎩可得2110y m y -+=.因为PA 与抛物线相切，所以21=40m ∆-=，取12m =，则1A y =，1A x =.即(1,1)A .同理可得(1,1)B -.所以AB ：1x =.（Ⅱ）设00(,)P x y ，则直线PA 方程为1100y k x k x y =-+，直线PB 方程为2200y k x k x y =-+.由11002,,y k x k x y y x =-+⎧⎨=⎩可得211000k y y k x y --+=.因为直线PA 与抛物线相切，所以1100=14()k k x y ∆--+20101=441=0x k y k -+.同理可得20202441=0x k y k -+,所以1k ，2k 时方程200441=0x k y k -+的两根.所以0120y k k x +=，12014k k x =.则12k k -==.又因为2200(2)1x y ++=，则031x -≤≤-，所以1211||=k k -1212=k k k k-4,⎡∈⎣.P A B Oxy例2：已知点H (0,-8),点P 在x 轴上,动点F 满足PF ⊥PH ,且PF 与y 轴交于点Q ,Q 是线段PF 的中点.(1)求动点F 的轨迹E 的方程;(2)点D 是直线l :x-y-2=0上任意一点,过点D 作E 的两条切线,切点分别为A ,B ,证明:直线AB 过定点.解:(1)设F (x ,y ),y ≠0,P (m ,0),Q (0,n ),则 =(-m ,-8), =(-m ,n ),∵PF ⊥PH ,∴m 2-8n=0,即m 2=8n ,=0, ,∴ =− , = 2,代入m 2=8n ,得x 2=4y (y ≠0).故轨迹E 的方程为x 2=4y (y ≠0).(2)证明:设D (x 0,x 0-2),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),∵直线DA 与抛物线相切,且y'= 2,∴k DA = 12,∴直线DA 的方程为y= 12x-y 1,∵点D 在DA 上,∴x 0-2= 12x 0-y 1,化简得x 0x 1-2y 1-2x 0+4=0.同理,可得B 点的坐标满足x 0x 2-2y 2-2x 0+4=0.故直线AB 的方程为x 0x-2y-2x 0+4=0,即x 0(x-2)-2(y-2)=0,∴直线AB 过定点(2,2).练习1.已知点A（﹣4，4）、B（4，4），直线AM 与BM 相交于点M，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率之差为﹣2，点M 的轨迹为曲线C．（1）求曲线C 的轨迹方程；（2）Q 为直线y=﹣1上的动点，过Q 做曲线C 的切线，切点分别为D、E，求△QDE 的面积S 的最小值．练习2．如图，点F 是抛物线τ：22x py =（0p >）的焦点，点A 是抛物线上的定点，且()2,0AF = ，点B ，C 是抛物线上的动点，直线AB ，AC 斜率分别为1k ，2k ．（1）求抛物线τ的方程；（2）若212k k -=，点D 是抛物线在点B ，C 处切线的交点，记BCD ∆的面积为S ，证明S 为定值．欢迎扫码关注公众号“数学HOME”，获取本文（包括练习详解）及更多资料的WORD版。
高考与阿基米德三角形_可与圆锥曲线结合!
数学高考中的阿基米德三角形一、主要概念及性质1、定义：圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形。
它的一些基本性质有：2、主要性质：性质1 阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线上的轴。
证明：设1122(,),(,)A x y B x y ，M 为弦AB 中点，则过A 的切线方程为11()y y p x x =+，过B 的切线方程为：22()y y p x x =+，联立方程组得：1122211222()()22y y p x x y y p x x y px y px =+⎧⎪=+⎪⎨=⎪⎪=⎩ 解得两切线交点1212,22y y y y Q p⎛⎫+⎪⎝⎭，进而可知QM x 轴。
性质2：若阿基米德三角形的底边即弦AB 过抛物线内定点C ，则另一顶点Q 的轨迹为一条直线。
证明：设(,)Q x y ，由性质1，1212,22y y y y x y p +==，所以有 122y y px =。
由 ,,A B C 三点共线知10122221210222y y y y y y y x p p p--=-- 即 221121020102y y y y x y x y py +--=-将 1212,22y y y y y px +== 代入得 00()y y p x x =+，即为Q 点的轨迹方程。
性质3：抛物线以C 点为中点的弦平行于Q 点的轨迹。
性质4：若直线l 与抛物线没有公共点，以l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点。
证明：设l 方程为0ax by c ++=，且1122(,),(,)A x y B x y ，弦AB 过点00(,)C x y ，由性质2可知Q 点的轨迹方程为00()y y p x x =+，该方程与0ax by c ++=表示同一条直线，对照可得00,c bp x y a a ==-，即弦AB 过定点,c bp C aa ⎛⎫- ⎪⎝⎭。
性质5：底边长为a 的阿基米德三角形的面积的最大值为38a p。
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易求得过 B、I 的切线交点 T (2 pt t , p(t t )) ，
23
2
3
过 T 向 QA 引垂线，其方程为
2t x y p(t t ) 4 pt t t ，
1
2
3
123
它和抛物线准线的交点纵坐标
y p(t t t ) 4 pt t t ，
123
123
显然这个纵坐标是关于 t , t , t 对称的，因此从 S 点向 Q 123
2p
2
M ( x1 x2 , y1 y2 ) ，易得 P 点坐标为
2
2
( ( y1 y2 )2 , y1 y2 ) ，此点显然在抛
8p
2
物线上；过 P 的切线的斜率为
p y1 y2
2p y1 y2
= kAB ，结论得证．
2
阿基米德三角形的性质
性质 3 如图，连接 AI、BI，则△ABI 的面积是△QST 面积的 2 倍． 证明：如图，这里出现了三个阿基米德三角形，即△QAB、△TBI、△SAI； 应用阿基米德三角形的性质：
t－ 2＝8t， 2＝16t2，
B
A
OQ
E
D
F
P
解得 t＝－1，此时SS△△QPDAEB＝2， 故存在 t＝－1，使△QAB 与△PDE 的面积之比是常数 2.
阿基米德三角形的性质
性质 4 若阿基米德三角形的底边即弦 AB 过抛物线内定点 C，则另一顶点
Q 的轨迹为一条直线．
证明：设 Q(x，y)，由性质 1，x= y1 y2 ，y= y1 y2 ，
F
（1）求△APB 的重心 G 的轨迹方程. A
Bl
x
（2）证明∠PFA=∠PFB.
O
P
2006全国卷II理21题
已知抛物线 x2＝4y 的焦点为 F，A、B 是抛物线上的两动 点，且→ AF ＝λ→ FB（λ＞0）．过 A、B 两点分别作抛物线的
切线，设其交点为Ｍ．
（Ⅰ）证明→ FM·→ AB 为定值； （Ⅱ）设△ABM 的面积为 S，写出 S＝f(λ)的表达式，并 求 S 的最小值．
，
显然 kFA' kQA 1 ，∴FA'⊥QA，又∵|AA'|=|AF|，
由三角形全等可得∠QAA'=∠QAF，
∴△QAA' △QAF，
∴|QA'|=|QF|，∠QA'A=∠QFA， 同理可证|QB'|=|QF|，∠QB'B=∠QFB， ∴|QA'|=|QB'|， 即∠QA'B'=∠QB'A' ∴∠QA'A=∠QA'B'+900=∠QB'A'+900=∠QB'B, ∴∠QFA=∠QFB，结论得证．
y1 y p(x x1)
y2
y
p(x
x2 )
y12
2 px1
y22 2 px2
解得两切线交点 Q( y1 y2 ， y1 y2 )，
2p
2
进而可知 QM ∥x 轴.
阿基米德三角形的性质
性质 2 QM 的中点 P 在抛物线上，且 P 处的切线与 AB 平行．
证明：由性质 1 知 Q( y1 y2 ， y1 y2 )，
B 引垂线，从 Q 点向 ST 引垂线，它们与准线的交点也 是上述点，故结论得证．
谢谢！
2p 2
2
= ( y1 y2 )2 + y12 y22 + p2 =|AF|·|BF|.
2p
44
阿基米德三角形的性质
正确云--朱苗苗18911584247
性质 11 在抛物线上任取一点 I（不与 A、B 重合），过 I 作抛物线切线交 QA、
QB 于 S、T，则△QST 的垂心在准线上．
证明：设 A(2 pt 2 , 2 pt ) 、 B(2 pt 2 , 2 pt ) 、 I (2 pt 2 , 2 pt ) ，
性质 7 （1）若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点 Q 的轨迹为准线；反之，若阿基米德三 角形的顶点 Q 在准线上，则底边过焦点． （2）若阿基米德三角形的底边过焦点，则阿基米德三角形的底边所对的角为直角，且阿基米
德三角形面积的最小值为 p2 ．
p
p
证明（2）：若底边过焦点，则 x0 2 , y0 0 ，Q 点轨迹方程为 x 2 即为准线；易验证
阿基米德三角形的性质
性质 10 |AF|·|BF|=|QF|2．
证明：|AF|·|BF|= (x1
p 2
)
(
x2
p) 2
=
x1x2
p 2
( x1
x2 )
p2 4
= ( y1 y2 )2 + y12 y22 + p2 ，
2p
44
而|QF|2= ( y1 y2 p )2 ( y1 y2 )2
2p
2
∴ y1 y2 2 px
由 A、B、C 三点共线知
y1 y2 y12 y22 2p 2p
y1 y0
y12 2p
x0
，
l
即 y12 y1 y2 y1x0 y2 x0 y12 2 py0 ，
将
y=
y1
2
y2
，
y1 y2
2 px
代入得
y0 y
p(x
x0 ) ，即为 Q
点的轨迹方程.
阿基米德三角形的性质
性质 5 抛物线以 C 点为中点的弦平行于 Q 点的轨迹．
利用两式相减法易求得以 C 点为中点的弦的斜率为 p ，因此该 y0
弦与 Q 点的轨迹即直线 l 平行．
阿基米德三角形的性质
性质 6 若直线 l 与抛物线没有公共点，以 l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边
过定点．
证明：如上图，设 l 方程为 ax by c 0 ，且 l
阿基米德三角形及其性质
阿基米德三角形名称的由来
抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围的三 角形，因为阿基米德最早利用逼近的思想证明 了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的
面积等于阿基米德三角形面积的2/3．
B A
称这个三角形为阿基米德三角形
P
引理
引理1：AB与CD是抛物线的两条平行弦，且AB=2CD， AB、CD的中点分别是M、N。P为抛物线的AB弧（含 顶点的部分）上一点，且P与AB的距离最远。求证：P、 N、M三点共线，且PM=4PN。
2007年江苏卷理19题
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，过 y 轴正方向上一点 C(0，c) 任作一直线，与抛
物线 y x2 相交于 A，B 两点．一条垂直于 x 轴的直线，分别与线段 AB 和直线
y
l : y c 交于点 P，Q ．
（1）若 OA OB 2 ，求 c 的值；
（2）若 P 为线段 AB 的中点，求证： QA 为此抛物线 的切线； （3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由．
又 S△QAB＝12·4·1－x420＝4－2 x20，
于是SS△△QPDAEB＝1－4 t· x20－
x02－ t－ x20＋4t 2
2]
＝1－4 t·x04－[4＋
t－ 2]x20＋ x40＋8tx02＋16t2
t－
2
.
对任意 x0∈(－2,2)，要使SS△△QPDAEB为常数，则 t 要满足－4－ t－
特别地，若阿基米德三角形的底边AB过焦点F，则QFAB.
2005年江西理22题
正确云--朱苗苗18911584247
如图，设抛物线 C : y x2 的焦点为 F，动点 P 在直线
l : x y 2 0上运动，过 P 作抛物线 C 的两条切线
PA、PB，且与抛物线 C 分别相切
y
于 A、B 两点.
a
Hale Waihona Puke (1 m2 )( yy )2
，∴ ( y
y )2 ≤ a2 ，∴ d
a2
1
a3
，即 S= ad≤
.
2
1
2
1
4p
2 8p
阿基米德三角形的性质
性质 9 在阿基米德三角形中，∠QFA=∠QFB．
证明：如图，作 AA'⊥准线，BB'⊥准线，连接
QA'、QB'、QF、AF、BF，则 kFA'
y1 p
kQA kQB 1 ，即 QA⊥QB，故阿基米德三角形为直角三角形，且 Q 为直角顶点； ∴|QM|
= x1 x2 p = y12 y22 + p 2 2 4p 2
2|
≥
y1 y2
|
+
p 2p2
=
+
p
=
p，
4p 2 4p 2
而
S
QAB
1 2
|
QM
| ( y1
y2 )
≥| QM
|
| y1y2 | ≥ p2
CP B AO
x
Q
l
阿基米德三角形的性质
a3
性质 8 底边长为 a 的阿基米德三角形的面积的最大值为 ．
8p
证明：|AB|=a，设 Q 到 AB 的距离为 d，
x x yy
由性质 1 知 d | QM | 1
2
12
2
2p
y2 y2 2y y (y y )2
1
2
= 1 2
1
2，
4p
4p
4p
设直线 AB 方程为： x my n ，则
弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的 2 ；设 BI 3