阿基米德三角形及其性质
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阿基米德三角形及其性质
阿基米德三角形名称的由来
抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围的三 角形，因为阿基米德最早利用逼近的思想证明 了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的
面积等于阿基米德三角形面积的2/3．
B A
称这个三角形为阿基米德三角形
P
引理
引理1：AB与CD是抛物线的两条平行弦，且AB=2CD， AB、CD的中点分别是M、N。P为抛物线的AB弧（含 顶点的部分）上一点，且P与AB的距离最远。求证：P、 N、M三点共线，且PM=4PN。
y1 y p(x x1)
y2
y
p(x
x2 )
y12
2 px1
y22 2 px2
解得两切线交点 Q( y1 y2 ， y1 y2 )，
2p
2
进而可知 QM ∥x 轴.
阿基米德三角形的性质
性质 2 QM 的中点 P 在抛物线上，且 P 处的切线与 AB 平行．
证明：由性质 1 知 Q( y1 y2 ， y1 y2 )，
在点 Q 处的切线为 l．问：是否存在定点 P（0，t）（t＜0）， 使得 l 与 PA，PB 都相交，交点分别为 D，E，且△QAB 与 △PDE 的面积之比是常数？若存在，求 t 的值;若不存在， 说明理由．
解：(1)由M→A＝(－2－x,1－y)，M→B＝(2－x,1－y)，得
|M→A＋M→B|＝ －2x 2＋ －2y 2，
1
1
2
2
3
3
易求得过 B、I 的切线交点 T (2 pt t , p(t t )) ，
23
2
3
过 T 向 QA 引垂线，其方程为
2t x y p(t t ) 4 pt t t ，
1
2
3
123
它和抛物线准线的交点纵坐标
y p(t t t ) 4 pt t t ，
123
123
显然这个纵坐标是关于 t , t , t 对称的，因此从 S 点向 Q 123
，
显然 kFA' kQA 1 ，∴FA'⊥QA，又∵|AA'|=|AF|，
由三角形全等可得∠QAA'=∠QAF，
∴△QAA' △QAF，
∴|QA'|=|QF|，∠QA'A=∠QFA， 同理可证|QB'|=|QF|，∠QB'B=∠QFB， ∴|QA'|=|QB'|， 即∠QA'B'=∠QB'A' ∴∠QA'A=∠QA'B'+900=∠QB'A'+900=∠QB'B, ∴∠QFA=∠QFB，结论得证．
分别联立方程组yy＝＝xt2－02x1－x＋x420，t，
yy＝ ＝1x2－ 02x－tx＋x402，t，
解得 D，E 的横坐标分别是
xD＝
x02＋4t x0＋1－t
，xE＝
x02＋4t x0＋t－
，
则 xE－xD＝(1－t)x20－x02＋t－4t 2.
又Fra Baidu bibliotekFP|＝－x402－t，有 S△PDE＝12·|FP|·|xE－xD|＝1－8 t· t－x20＋42t－2x20.
kQA kQB 1 ，即 QA⊥QB，故阿基米德三角形为直角三角形，且 Q 为直角顶点； ∴|QM|
= x1 x2 p = y12 y22 + p 2 2 4p 2
2|
≥
y1 y2
|
+
p 2p2
=
+
p
=
p，
4p 2 4p 2
而
S
QAB
1 2
|
QM
| ( y1
y2 )
≥| QM
|
| y1y2 | ≥ p2
CP B AO
x
Q
l
阿基米德三角形的性质
a3
性质 8 底边长为 a 的阿基米德三角形的面积的最大值为 ．
8p
证明：|AB|=a，设 Q 到 AB 的距离为 d，
x x yy
由性质 1 知 d | QM | 1
2
12
2
2p
y2 y2 2y y (y y )2
1
2
= 1 2
1
2，
4p
4p
4p
设直线 AB 方程为： x my n ，则
阿基米德三角形的性质
性质 5 抛物线以 C 点为中点的弦平行于 Q 点的轨迹．
利用两式相减法易求得以 C 点为中点的弦的斜率为 p ，因此该 y0
弦与 Q 点的轨迹即直线 l 平行．
阿基米德三角形的性质
性质 6 若直线 l 与抛物线没有公共点，以 l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边
过定点．
证明：如上图，设 l 方程为 ax by c 0 ，且 l
B
O→M·(O→A＋O→B)＝(x，y)·(0,2)＝2y， 由已知得 －2x 2＋ －2y 2＝2y＋2， 化简得曲线 C 的方程：x2＝4y. (2)假设存在点 P(0，t)(t<0)满足条件，
A
OQ
E
D
F
P
则直线 PA 的方程是 y＝t－2 1x＋t，PB 的方程是 y＝1－2 tx＋t. 曲线 C 在 Q 处的切线 l 的方程是 y＝x20x－x402，它与 y 轴交点为 F0，－x420.
阿基米德三角形的性质
性质 10 |AF|·|BF|=|QF|2．
证明：|AF|·|BF|= (x1
p 2
)
(
x2
p) 2
=
x1x2
p 2
( x1
x2 )
p2 4
= ( y1 y2 )2 + y12 y22 + p2 ，
2p
44
而|QF|2= ( y1 y2 p )2 ( y1 y2 )2
F
（1）求△APB 的重心 G 的轨迹方程. A
Bl
x
（2）证明∠PFA=∠PFB.
O
P
2006全国卷II理21题
已知抛物线 x2＝4y 的焦点为 F，A、B 是抛物线上的两动 点，且→ AF ＝λ→ FB（λ＞0）．过 A、B 两点分别作抛物线的
切线，设其交点为Ｍ．
（Ⅰ）证明→ FM·→ AB 为定值； （Ⅱ）设△ABM 的面积为 S，写出 S＝f(λ)的表达式，并 求 S 的最小值．
2p
2
∴ y1 y2 2 px
由 A、B、C 三点共线知
y1 y2 y12 y22 2p 2p
y1 y0
y12 2p
x0
，
l
即 y12 y1 y2 y1x0 y2 x0 y12 2 py0 ，
将
y=
y1
2
y2
，
y1 y2
2 px
代入得
y0 y
p(x
x0 ) ，即为 Q
点的轨迹方程.
B 引垂线，从 Q 点向 ST 引垂线，它们与准线的交点也 是上述点，故结论得证．
谢谢！
2p 2
2
= ( y1 y2 )2 + y12 y22 + p2 =|AF|·|BF|.
2p
44
阿基米德三角形的性质
正确云--朱苗苗18911584247
性质 11 在抛物线上任取一点 I（不与 A、B 重合），过 I 作抛物线切线交 QA、
QB 于 S、T，则△QST 的垂心在准线上．
证明：设 A(2 pt 2 , 2 pt ) 、 B(2 pt 2 , 2 pt ) 、 I (2 pt 2 , 2 pt ) ，
特别地，若阿基米德三角形的底边AB过焦点F，则QFAB.
2005年江西理22题
正确云--朱苗苗18911584247
如图，设抛物线 C : y x2 的焦点为 F，动点 P 在直线
l : x y 2 0上运动，过 P 作抛物线 C 的两条切线
PA、PB，且与抛物线 C 分别相切
y
于 A、B 两点.
2p
2
M ( x1 x2 , y1 y2 ) ，易得 P 点坐标为
2
2
( ( y1 y2 )2 , y1 y2 ) ，此点显然在抛
8p
2
物线上；过 P 的切线的斜率为
p y1 y2
2p y1 y2
= kAB ，结论得证．
2
阿基米德三角形的性质
性质 3 如图，连接 AI、BI，则△ABI 的面积是△QST 面积的 2 倍． 证明：如图，这里出现了三个阿基米德三角形，即△QAB、△TBI、△SAI； 应用阿基米德三角形的性质：
a
(1 m2 )( y
y )2
，∴ ( y
y )2 ≤ a2 ，∴ d
a2
1
a3
，即 S= ad≤
.
2
1
2
1
4p
2 8p
阿基米德三角形的性质
性质 9 在阿基米德三角形中，∠QFA=∠QFB．
证明：如图，作 AA'⊥准线，BB'⊥准线，连接
QA'、QB'、QF、AF、BF，则 kFA'
y1 p
2007年江苏卷理19题
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，过 y 轴正方向上一点 C(0，c) 任作一直线，与抛
物线 y x2 相交于 A，B 两点．一条垂直于 x 轴的直线，分别与线段 AB 和直线
y
l : y c 交于点 P，Q ．
（1）若 OA OB 2 ，求 c 的值；
（2）若 P 为线段 AB 的中点，求证： QA 为此抛物线 的切线； （3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由．
S
QST
，∴ S
ABI
2S
QST
．
2012年江西卷理20题
已知三点 O(0, 0), A(2,1), B(2,1) ，曲线 C 上任意一点
M（x，y）满足 | MA MB | OM (OA OB) 2 ． （1）求曲线 C 的方程；
（2）动点 Q(x0 , y0 ) （ 2 x0 2 ）在曲线 C 上，曲线 C
C
D
引理
引理2：弓形APB的面积是△APB面积的4/3倍。
引理3：P为线段QM的中点。
C
M1
N
D
阿基米德三角形的性质
性质 1 阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴．
证明：设 A(x1, y1) ， B(x2 , y2 ) ，M 为弦 AB 中点，则过 A 的切线方程为
y1 y p(x x1) ，过 B 的切线方程为 y2 y p(x x2 ) ，联立方程组得
又 S△QAB＝12·4·1－x420＝4－2 x20，
于是SS△△QPDAEB＝1－4 t· x20－
x02－ t－ x20＋4t 2
2]
＝1－4 t·x04－[4＋
t－ 2]x20＋ x40＋8tx02＋16t2
t－
2
.
对任意 x0∈(－2,2)，要使SS△△QPDAEB为常数，则 t 要满足－4－ t－
由于－2<x0<2，因此－1<x20<1. ①当－1<t<0 时，－1<t－2 1<－12，存在 x0∈(－2,2)使得x20＝t－2 1， 即 l 与直线 PA 平行，故当－1<t<0 时不符合题意．
②当 t≤－1 时，t－2 1≤－1<x20，1－2 t≥1>x20，所以 l 与直线 PA，PB 一定相交．
t－ 2＝8t， 2＝16t2，
B
A
OQ
E
D
F
P
解得 t＝－1，此时SS△△QPDAEB＝2， 故存在 t＝－1，使△QAB 与△PDE 的面积之比是常数 2.
阿基米德三角形的性质
性质 4 若阿基米德三角形的底边即弦 AB 过抛物线内定点 C，则另一顶点
Q 的轨迹为一条直线．
证明：设 Q(x，y)，由性质 1，x= y1 y2 ，y= y1 y2 ，
弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的 2 ；设 BI 3
与抛物线所围面积为 S1 ，AI 与抛物线所围面积为 S2 ，AB 与抛物线所围面积
为S
，则 S
ABI
S
QAB
S
QST
3 2
S1
3 2
S2
=
3 2
S
S
QST
3 2
S1
3 2
S2
=
3 2
(S
S1
S2 )
S
QST
=3S 2
ABI
性质 7 （1）若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点 Q 的轨迹为准线；反之，若阿基米德三 角形的顶点 Q 在准线上，则底边过焦点． （2）若阿基米德三角形的底边过焦点，则阿基米德三角形的底边所对的角为直角，且阿基米
德三角形面积的最小值为 p2 ．
p
p
证明（2）：若底边过焦点，则 x0 2 , y0 0 ，Q 点轨迹方程为 x 2 即为准线；易验证
A(x1, y1) ，B(x2 , y2 ) ，弦 AB 过点 C (x0 , y0 ) ，由性
质 2 可知 Q 点的轨迹方程， y0 y p(x x0 )
该方程与 ax by c 0 表示同一条直线，对照可得
x0
c a
,
y0
bp a
，即弦
AB
过定点
C（
c a
，
bp a
）.
阿基米德三角形的性质
阿基米德三角形名称的由来
抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围的三 角形，因为阿基米德最早利用逼近的思想证明 了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的
面积等于阿基米德三角形面积的2/3．
B A
称这个三角形为阿基米德三角形
P
引理
引理1：AB与CD是抛物线的两条平行弦，且AB=2CD， AB、CD的中点分别是M、N。P为抛物线的AB弧（含 顶点的部分）上一点，且P与AB的距离最远。求证：P、 N、M三点共线，且PM=4PN。
y1 y p(x x1)
y2
y
p(x
x2 )
y12
2 px1
y22 2 px2
解得两切线交点 Q( y1 y2 ， y1 y2 )，
2p
2
进而可知 QM ∥x 轴.
阿基米德三角形的性质
性质 2 QM 的中点 P 在抛物线上，且 P 处的切线与 AB 平行．
证明：由性质 1 知 Q( y1 y2 ， y1 y2 )，
在点 Q 处的切线为 l．问：是否存在定点 P（0，t）（t＜0）， 使得 l 与 PA，PB 都相交，交点分别为 D，E，且△QAB 与 △PDE 的面积之比是常数？若存在，求 t 的值;若不存在， 说明理由．
解：(1)由M→A＝(－2－x,1－y)，M→B＝(2－x,1－y)，得
|M→A＋M→B|＝ －2x 2＋ －2y 2，
1
1
2
2
3
3
易求得过 B、I 的切线交点 T (2 pt t , p(t t )) ，
23
2
3
过 T 向 QA 引垂线，其方程为
2t x y p(t t ) 4 pt t t ，
1
2
3
123
它和抛物线准线的交点纵坐标
y p(t t t ) 4 pt t t ，
123
123
显然这个纵坐标是关于 t , t , t 对称的，因此从 S 点向 Q 123
，
显然 kFA' kQA 1 ，∴FA'⊥QA，又∵|AA'|=|AF|，
由三角形全等可得∠QAA'=∠QAF，
∴△QAA' △QAF，
∴|QA'|=|QF|，∠QA'A=∠QFA， 同理可证|QB'|=|QF|，∠QB'B=∠QFB， ∴|QA'|=|QB'|， 即∠QA'B'=∠QB'A' ∴∠QA'A=∠QA'B'+900=∠QB'A'+900=∠QB'B, ∴∠QFA=∠QFB，结论得证．
分别联立方程组yy＝＝xt2－02x1－x＋x420，t，
yy＝ ＝1x2－ 02x－tx＋x402，t，
解得 D，E 的横坐标分别是
xD＝
x02＋4t x0＋1－t
，xE＝
x02＋4t x0＋t－
，
则 xE－xD＝(1－t)x20－x02＋t－4t 2.
又Fra Baidu bibliotekFP|＝－x402－t，有 S△PDE＝12·|FP|·|xE－xD|＝1－8 t· t－x20＋42t－2x20.
kQA kQB 1 ，即 QA⊥QB，故阿基米德三角形为直角三角形，且 Q 为直角顶点； ∴|QM|
= x1 x2 p = y12 y22 + p 2 2 4p 2
2|
≥
y1 y2
|
+
p 2p2
=
+
p
=
p，
4p 2 4p 2
而
S
QAB
1 2
|
QM
| ( y1
y2 )
≥| QM
|
| y1y2 | ≥ p2
CP B AO
x
Q
l
阿基米德三角形的性质
a3
性质 8 底边长为 a 的阿基米德三角形的面积的最大值为 ．
8p
证明：|AB|=a，设 Q 到 AB 的距离为 d，
x x yy
由性质 1 知 d | QM | 1
2
12
2
2p
y2 y2 2y y (y y )2
1
2
= 1 2
1
2，
4p
4p
4p
设直线 AB 方程为： x my n ，则
阿基米德三角形的性质
性质 5 抛物线以 C 点为中点的弦平行于 Q 点的轨迹．
利用两式相减法易求得以 C 点为中点的弦的斜率为 p ，因此该 y0
弦与 Q 点的轨迹即直线 l 平行．
阿基米德三角形的性质
性质 6 若直线 l 与抛物线没有公共点，以 l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边
过定点．
证明：如上图，设 l 方程为 ax by c 0 ，且 l
B
O→M·(O→A＋O→B)＝(x，y)·(0,2)＝2y， 由已知得 －2x 2＋ －2y 2＝2y＋2， 化简得曲线 C 的方程：x2＝4y. (2)假设存在点 P(0，t)(t<0)满足条件，
A
OQ
E
D
F
P
则直线 PA 的方程是 y＝t－2 1x＋t，PB 的方程是 y＝1－2 tx＋t. 曲线 C 在 Q 处的切线 l 的方程是 y＝x20x－x402，它与 y 轴交点为 F0，－x420.
阿基米德三角形的性质
性质 10 |AF|·|BF|=|QF|2．
证明：|AF|·|BF|= (x1
p 2
)
(
x2
p) 2
=
x1x2
p 2
( x1
x2 )
p2 4
= ( y1 y2 )2 + y12 y22 + p2 ，
2p
44
而|QF|2= ( y1 y2 p )2 ( y1 y2 )2
F
（1）求△APB 的重心 G 的轨迹方程. A
Bl
x
（2）证明∠PFA=∠PFB.
O
P
2006全国卷II理21题
已知抛物线 x2＝4y 的焦点为 F，A、B 是抛物线上的两动 点，且→ AF ＝λ→ FB（λ＞0）．过 A、B 两点分别作抛物线的
切线，设其交点为Ｍ．
（Ⅰ）证明→ FM·→ AB 为定值； （Ⅱ）设△ABM 的面积为 S，写出 S＝f(λ)的表达式，并 求 S 的最小值．
2p
2
∴ y1 y2 2 px
由 A、B、C 三点共线知
y1 y2 y12 y22 2p 2p
y1 y0
y12 2p
x0
，
l
即 y12 y1 y2 y1x0 y2 x0 y12 2 py0 ，
将
y=
y1
2
y2
，
y1 y2
2 px
代入得
y0 y
p(x
x0 ) ，即为 Q
点的轨迹方程.
B 引垂线，从 Q 点向 ST 引垂线，它们与准线的交点也 是上述点，故结论得证．
谢谢！
2p 2
2
= ( y1 y2 )2 + y12 y22 + p2 =|AF|·|BF|.
2p
44
阿基米德三角形的性质
正确云--朱苗苗18911584247
性质 11 在抛物线上任取一点 I（不与 A、B 重合），过 I 作抛物线切线交 QA、
QB 于 S、T，则△QST 的垂心在准线上．
证明：设 A(2 pt 2 , 2 pt ) 、 B(2 pt 2 , 2 pt ) 、 I (2 pt 2 , 2 pt ) ，
特别地，若阿基米德三角形的底边AB过焦点F，则QFAB.
2005年江西理22题
正确云--朱苗苗18911584247
如图，设抛物线 C : y x2 的焦点为 F，动点 P 在直线
l : x y 2 0上运动，过 P 作抛物线 C 的两条切线
PA、PB，且与抛物线 C 分别相切
y
于 A、B 两点.
2p
2
M ( x1 x2 , y1 y2 ) ，易得 P 点坐标为
2
2
( ( y1 y2 )2 , y1 y2 ) ，此点显然在抛
8p
2
物线上；过 P 的切线的斜率为
p y1 y2
2p y1 y2
= kAB ，结论得证．
2
阿基米德三角形的性质
性质 3 如图，连接 AI、BI，则△ABI 的面积是△QST 面积的 2 倍． 证明：如图，这里出现了三个阿基米德三角形，即△QAB、△TBI、△SAI； 应用阿基米德三角形的性质：
a
(1 m2 )( y
y )2
，∴ ( y
y )2 ≤ a2 ，∴ d
a2
1
a3
，即 S= ad≤
.
2
1
2
1
4p
2 8p
阿基米德三角形的性质
性质 9 在阿基米德三角形中，∠QFA=∠QFB．
证明：如图，作 AA'⊥准线，BB'⊥准线，连接
QA'、QB'、QF、AF、BF，则 kFA'
y1 p
2007年江苏卷理19题
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，过 y 轴正方向上一点 C(0，c) 任作一直线，与抛
物线 y x2 相交于 A，B 两点．一条垂直于 x 轴的直线，分别与线段 AB 和直线
y
l : y c 交于点 P，Q ．
（1）若 OA OB 2 ，求 c 的值；
（2）若 P 为线段 AB 的中点，求证： QA 为此抛物线 的切线； （3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由．
S
QST
，∴ S
ABI
2S
QST
．
2012年江西卷理20题
已知三点 O(0, 0), A(2,1), B(2,1) ，曲线 C 上任意一点
M（x，y）满足 | MA MB | OM (OA OB) 2 ． （1）求曲线 C 的方程；
（2）动点 Q(x0 , y0 ) （ 2 x0 2 ）在曲线 C 上，曲线 C
C
D
引理
引理2：弓形APB的面积是△APB面积的4/3倍。
引理3：P为线段QM的中点。
C
M1
N
D
阿基米德三角形的性质
性质 1 阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴．
证明：设 A(x1, y1) ， B(x2 , y2 ) ，M 为弦 AB 中点，则过 A 的切线方程为
y1 y p(x x1) ，过 B 的切线方程为 y2 y p(x x2 ) ，联立方程组得
又 S△QAB＝12·4·1－x420＝4－2 x20，
于是SS△△QPDAEB＝1－4 t· x20－
x02－ t－ x20＋4t 2
2]
＝1－4 t·x04－[4＋
t－ 2]x20＋ x40＋8tx02＋16t2
t－
2
.
对任意 x0∈(－2,2)，要使SS△△QPDAEB为常数，则 t 要满足－4－ t－
由于－2<x0<2，因此－1<x20<1. ①当－1<t<0 时，－1<t－2 1<－12，存在 x0∈(－2,2)使得x20＝t－2 1， 即 l 与直线 PA 平行，故当－1<t<0 时不符合题意．
②当 t≤－1 时，t－2 1≤－1<x20，1－2 t≥1>x20，所以 l 与直线 PA，PB 一定相交．
t－ 2＝8t， 2＝16t2，
B
A
OQ
E
D
F
P
解得 t＝－1，此时SS△△QPDAEB＝2， 故存在 t＝－1，使△QAB 与△PDE 的面积之比是常数 2.
阿基米德三角形的性质
性质 4 若阿基米德三角形的底边即弦 AB 过抛物线内定点 C，则另一顶点
Q 的轨迹为一条直线．
证明：设 Q(x，y)，由性质 1，x= y1 y2 ，y= y1 y2 ，
弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的 2 ；设 BI 3
与抛物线所围面积为 S1 ，AI 与抛物线所围面积为 S2 ，AB 与抛物线所围面积
为S
，则 S
ABI
S
QAB
S
QST
3 2
S1
3 2
S2
=
3 2
S
S
QST
3 2
S1
3 2
S2
=
3 2
(S
S1
S2 )
S
QST
=3S 2
ABI
性质 7 （1）若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点 Q 的轨迹为准线；反之，若阿基米德三 角形的顶点 Q 在准线上，则底边过焦点． （2）若阿基米德三角形的底边过焦点，则阿基米德三角形的底边所对的角为直角，且阿基米
德三角形面积的最小值为 p2 ．
p
p
证明（2）：若底边过焦点，则 x0 2 , y0 0 ，Q 点轨迹方程为 x 2 即为准线；易验证
A(x1, y1) ，B(x2 , y2 ) ，弦 AB 过点 C (x0 , y0 ) ，由性
质 2 可知 Q 点的轨迹方程， y0 y p(x x0 )
该方程与 ax by c 0 表示同一条直线，对照可得
x0
c a
,
y0
bp a
，即弦
AB
过定点
C（
c a
，
bp a
）.
阿基米德三角形的性质