5.2 矩阵相似对角化

(2)C A 3A1的特征值;
(3) A 5I
21
2 0 0 07-08（10分）设1是矩阵 A 1 2 1
1 t 1
t 的特征值，求：（1）
（2）问在（1）的条件下，矩阵 A 能否对角化？若能，求一个可逆矩阵 P
使得 P 1 AP .
22
2 1 2 (2) A 5 3 3
1 0 2
若能对角化，求出可逆矩阵 P使得 P 1 AP为对角阵。
解:
1 2 2
| I A | 2 2 4
2 4 2
22 7 0
得 1 2 2,3 7
12
将 1 2 2代入I A X 0,得方程组
x1 2x2 2x3 0 2x1 4x2 4x3 0
2x1 4x2 4x3 0
解之得基础解系
2
2
p1 1 , p2 0.
0
1
同理, 对3 7,由I A x 0,
求得基础解系 p3 1,2,2 T 则 p1, p2 , p3线性无关.
即A有3个线性无关的特征向量,因而A可对角化.
13
令
P
p1
,
p2
,
p3
2 1
说明：如果 A 的特征方程有重根，此时不一定有 n 个线性
无关的特征向量，从而矩阵 A不一定能对角化．
推论2: n 阶方阵 A 相似于对角阵的充要条件是 A的 每一个 ti 重特征值对应 ti个线性无关的特征向量．
11
例1: 判断下列实矩阵能否化为对角阵？
1 2 2
(1)
A
2 2
2 4
42
3
3
求得
P 1
1 2
0
1 2
,
1 6
1 3
1 6
17
A PP1
1 1 1
1 1 1 0
3
3
3
1 1
0 1
2 1
1 1 0
1
1
3
2 1 6
0 1
3
1 2
1 6
1 0
2 1
1 1
A20 PP1PP1 PP1
P20P 1
18
3. 求行列式
例4：设 A 是 n 阶方阵，2,4, ,2n 是A 的 n个特征值， 计算 A 3E .
即 A p1 , p2 ,, pn p1 , p2 ,, pn
2
n
Ap1 , Ap2 ,, Apn 1 p1, 2 p2 ,, n pn
于是有 Api i pi i 1,2,, n.
又由于P可逆,所以p1, p2 ,, pn线性无关.
即若A能对角化，则A有n个线性无关的特征向量.
解：
令 f (x) x3 3x 1 B f ( A) A3 3A E, B 的特征值为 f (1) 1
f (2) 3 f (3) 19 3阶矩阵 B 有3个不同的特征值，所以 B可以对角化。
20
思考题
1 1 2
已知
A
0
2
1
0 2 3
求 (1) B=A2 3A 4I的特征值及 B ;
反之结论也成立.
9
定理2： n 阶矩阵 A可对角化（与对角阵相似） A 有 n个线性无关的特征向量。
1
若 有 可 逆 阵P ,
使P 1 AP
2
n
则 1,2 , ,n 是 A 的n个特征值，
而P的n个列向量是A的对应于这些特征值的 n个线性无关的特征向量
10
推论1 :若 n 阶方阵 A 有 n个互不相同的特征值, 则 A 可对角化。（与对角阵相似） (逆命题不成立)
解： 设 f ( x) x 3
A 的特征值是 2,4, ,2n 即 i 2i, A 3E 的特征值是 f (i ) 2i 3
n
A 3E 2i 3 (1) 1 3 (2n 3) i 1
19
4. 判断矩阵是否相似
例5：已知3阶矩阵 A 的特征值为1，2，3， 设 B A2 3A E, 问矩阵 B能否与对角阵相似？
问题:
(1)任意矩阵 A是否都能对角化？ 若不是，什么条件下矩阵 A可以对角化？
(2)若 A能对角化，可逆矩阵P怎样找？ 此时对角矩阵式什么形式？
8
假设存在可逆阵P, 使P 1 AP 为对角阵,
由P1 AP ,得AP P,
把 P 用其列向量表示为 P p1 , p2 ,, pn .
1
注：1 矩阵相似是一种等价关系
（1）反身性： A ~ A
（2）对称性：若 A ~ B 则 B ~ A
（3）传递性：若 A ~ B, B ~ C 则 A ~ C
3
定理1: n 阶方阵 A ~ B 相似,则有
P1AP B
1 rA rB
2 A B
3 A 和 B 的特征多项式相同,即 I A I B
其中 k1, k2 是任意常数.
分析: P1 k1A1 k2 A2 P k1P1A1P k2P1A2P
7
二、方阵对角化
对 n 阶 方 阵 A ,若 可 找 到 可 逆 矩 阵P ,使 P 1 AP 为 对 角 阵,这 就 称A相 似 于 对 角 矩 阵 ， 也 称 方 阵A可 相 似 对 角 化.
相应的特征向量是
1
1 1
,2
0 1
,3
2 1
,
求矩阵 A及A20
16
解：因为特征向量是3维向量，所以矩阵 A 是3 阶方阵。
因为 A有 3 个不同的特征值，所以 A 可以对角化。
即存在可逆矩阵 P , 使得 P1AP
1 1 1
0
其中
P
1 1
0 1
2 1
,
1
3
,
1 1
1
3
2 0
1 2
0 1 2
2 0 0
则有
P 1 AP 0 2 0 .
0 0 7
14
2 1 2 (2) A 5 3 3
解
1 0 2
2 1
I A 5 3
2
3 ( 1)3 0
1 0 2
所以A的特征值为 1 2 3 1.
解齐次线性方程组 (I Aபைடு நூலகம்x 0
再利用tr(A) tr(), 得到 2 x y 1.
6
2.若 A 与 B 相似, 则 Am与 Bm 相似( 为正整数).
分析: A ~ B ,则存在可逆矩阵 P ,使 P1AP B
P1AAP P1AP P1AP B2
3.若 A1 ~ B1 , A2 ~ B2 ,则 k1A1 k2 A2 ~ k1B1 k2B2
第5.2节 矩阵相似对角化
1
主要内容 一、矩阵相似的概念 二、矩阵相似对角形 三、小结 四、思考与练习
2
一. 相似矩阵的概念
定义: 设 A, B 都是 n 阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得 P1AP B
则称矩阵 B是矩阵A 的相似矩阵，
或称矩阵 A 与矩阵B 相似，记作 A ~ B
对 A进行运算 P－1 AP 称为对 A 进行相似变换， 可逆矩阵 P 称为把矩阵 A 变成矩阵 B 的相似变换矩阵。
3 IA 5
1
1 2 0
2 3 1
1 0 0
0 1 0
1
1 0
解之得基础解系 (1,1,1)T , 故A不能化为对角矩阵. 15
可对角化的矩阵主要有以下几种应用：
1. 由特征值、特征向量反求矩阵
2. 求方阵的幂
例3：已知方阵 A 的特征值是 1 0,2 1,3 3,
1 1 1
从而 A和 B 的特征值相同
注: 满足(1),(2),(3)时A和B不一定相似．
4
1
推论1：若矩阵 Ann
与对角阵
2
则 1,2 , ,n 是 A 的n个特征值。
相似，
n
5
例:设矩阵
1 A 2
2 x
4
2 与
5
y
相似,
4 2 1
4
求 x , y.
解:利用 A 得到方程 3x 4y 8 0 ,