材料力学内力
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第二篇 材料力学
1
习题：1、试求图示梁的支座反力。已知q=2kN/m，M=2kN· m。
解（1）取梁AB画受力图如图所示。因无水平主 动力存在，A铰无水平反力。 （2）建直角坐标系，列平衡方程：
∑Fy＝0， FA-q×2m+FB＝0 ∑MA(F)＝0， -q×2m×2m+FB×3m+M＝0
（3）求解未知量。将已知条件q=2kN/m， M=2kN· m代入平衡方程，解得： FA＝2kN（↑）；FB＝2kN（↑）。
内力分析-轴力、轴力图
对于一端固定的杆件，既可以 先求出固定端的约束反力，再求各 段的内力，也可从杆件的自由端开 始，逐一求得各段的内力。
（1）先研究BC段，假想2-2截面将杆 件分为两部分，取右端为研究对象， 画受力图，列方程：
FN A FN A FN1
1 1 1 FN1 1 1 1
B B
F1
2 2 2 2 2 FN2 ′ 2
x
FR A
F1
F2
1 1
B
2
C
F2
FR A
FN1
FN2
2 2
1
C
F
x
0 FN1-FR=0 FN1=FR=30kN
30 kN
再研究BC段，假想2-2截面将杆件分为两部分， 取右端为研究对象，画受力图，列方程：
F
x
0 -FN2-F2=0 FN2=-F2=-20kN
20 kN
5
（3）根据上述轴力值，画出活塞的轴力图。
F
F
内力分析-轴力、轴力图
计算轴力时通常按正向假设（设正法），若得负号则表明杆件受压。 若沿杆件轴线作用有多少个力，则杆件不同部分横截面上的轴力不尽 相同，为形象地表示轴力随横截面位置的变化情况，通常画出轴力图。
例1：如图所示拉、压杆。试用截面法求各杆指定截面的轴力，并画出 各杆的轴力图。 解：（1）分段计算轴力 杆件分为2段。用截面法取图 示研究对象画受力图如图，列平衡 方程分别求得： FN1=F（拉）；FN2=-F（压） （2）画轴力图。根据所求轴力 画出轴力图如图所示。
内力分析-轴力、轴力图 例2 如图所示左端固定杆，已知F1=50kN，F2=20kN，试画出该 杆的轴力图。 2 1
解：（1）求约束力。列杆的平 衡方程： F 0
+ F2 F1 0 -F R FR=F2-F1=50-20=30kN
（2）计算各段轴力，研究AB段，假想 1-1截面将杆件分为两部分，取左端为研 究对象，画受力图，列方程：
BC段 Fx 0
F FN 2 F 1 2 10 20 10kN CD段 Fx 0
1 F2
2
F3 3 F4 FN2
FN1 F2
FN 2 + F2 F1 0
FN3
10
+
F4
25
FN 3 F4 25kN
FN kN
+
2、绘制轴力图。
10
x
7
内力分析-轴力、轴力图
2.扭转内力、扭矩及扭矩图
在工程实际和日常生活中，广泛存在着承受扭转的构件。 1）螺丝刀杆工作时受扭。
Me
阻抗力偶 主动力偶
2）汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
8
内力分析-轴力、轴力图
3）机器中的传动轴工作时受扭。
受力特点： 杆两端作用着大小相等、方向相反的力偶，且力偶作用面垂 直于杆的轴线。
3）由于外力的作用线沿杆的轴线，同二力平衡公理，FN的作用线 也必定沿杆的作用线。 4）FN 为杆件在横截面 m-m 上的轴力。取左半部分为研究对象图b。
Fx 0
FN F 0 FN F 图a F
图b
图c
m m
F
FN FN
3
同样取右半部分为研究对象图c。 列平衡方程同样可得：FN F 当轴力方向与截面外的法 线方向一致时，杆件受拉，轴 力为正，反之轴力为负 。
x
0 FR=FN1=30kN
（4）根据上述轴力值，画出活塞的轴力图。
内力分析-轴力、轴力图
例3：如图，已知:F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN；F4=25kN;试画出图示 杆件的轴力图。 解：1、计算各段的轴力。
A F1 F1 F1
1
B
2Leabharlann Baidu
C
3
D
AB段
Fx 0
FN1 F1 10kN
F2
C
F2
FN2
Fx 0
C
-FN2-F2=0 FN2=-F2=-20kN
（2）再研究1-1、2-2截面段，将杆件分为 三部分，取中端为研究对象，画受力图，列 方程： F 0
x
F1
C
FN1′-F1+FN2′=0 FN1=30kN
（3）求约束力。列杆的平衡方程：
30 kN 206 kN
F
Me
mA
阻抗力偶 主动力偶
me
变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。
当杆件受到力偶的作用，即使发生轴线转动，杆件也会发生扭转变形。 9
内力分析-轴力、轴力图
扭转变形——在一对大小相等、转向相反的外力偶矩作用下，杆的各横 截面产生相对转动的变形形式，简称扭转。 以扭转变形为主要变形的受力构件——轴。 工程上,出于支承和加工的方便，轴的横截面通常采用圆形截面，即为 圆轴。 根据以上受扭分析，都可视为圆轴扭转，其破坏形式为断裂、过度扭 曲变形。因此，必须考虑圆轴扭转时的强度和刚度问题。 研究轴的强度和刚度问题，必须分析作用在轴上的外力偶矩。 工程实际中，作用在传动轴上的外力偶矩往往是未知的，已知的往往是 轴的转速经及该轴的传递功率。为此需把其换算成外力偶矩。
2、 边长为a的立方体上，沿对角线AB作用一力F，则此力在y轴上
的投影为
2
内力分析-轴力、轴力图
1.轴向拉（压）时横截面上的内力
杆件在外力的作用下,横截面上将产生轴力、扭矩、剪力、弯矩等，研 究构件的强度与刚度，必须研究构件的内力及应力。 截面法求内力：是求杆件内力的基本方法，杆件的内力图就是表示内 力沿杆件长度方向的变化图形。 1）假想沿 m-m 横截面将杆切开，如图a。 2）杆件横截面 m-m 上的内力是一个分布的力系，其合力为 FN
Me 9549
P ( Nm ) n
功率P的单位为Kw（千瓦），角速度ω=2πn，转速n的单位为r/min（转/ 分），力偶矩Me的单位为Nm（牛顿米）
10
内力分析-轴力、轴力图
对于传动轴，外力偶矩的方向可根据以下原则确定：主动轮（输入功
率的轮）所承受的外力偶矩的方向与轴的转向一致，从动轮（输出功率的 轮）所承受的外力偶矩的方向与轴的转向相反。 2、扭矩与扭矩图 求出作用于轴上的所有外力偶矩后，即可用截面法研究横截面上的内 力。如图所示的圆轴。用横截面m-m将轴分成两部分，并研究其1部分。 m 因整个轴是平衡的所以1部分也
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习题：1、试求图示梁的支座反力。已知q=2kN/m，M=2kN· m。
解（1）取梁AB画受力图如图所示。因无水平主 动力存在，A铰无水平反力。 （2）建直角坐标系，列平衡方程：
∑Fy＝0， FA-q×2m+FB＝0 ∑MA(F)＝0， -q×2m×2m+FB×3m+M＝0
（3）求解未知量。将已知条件q=2kN/m， M=2kN· m代入平衡方程，解得： FA＝2kN（↑）；FB＝2kN（↑）。
内力分析-轴力、轴力图
对于一端固定的杆件，既可以 先求出固定端的约束反力，再求各 段的内力，也可从杆件的自由端开 始，逐一求得各段的内力。
（1）先研究BC段，假想2-2截面将杆 件分为两部分，取右端为研究对象， 画受力图，列方程：
FN A FN A FN1
1 1 1 FN1 1 1 1
B B
F1
2 2 2 2 2 FN2 ′ 2
x
FR A
F1
F2
1 1
B
2
C
F2
FR A
FN1
FN2
2 2
1
C
F
x
0 FN1-FR=0 FN1=FR=30kN
30 kN
再研究BC段，假想2-2截面将杆件分为两部分， 取右端为研究对象，画受力图，列方程：
F
x
0 -FN2-F2=0 FN2=-F2=-20kN
20 kN
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（3）根据上述轴力值，画出活塞的轴力图。
F
F
内力分析-轴力、轴力图
计算轴力时通常按正向假设（设正法），若得负号则表明杆件受压。 若沿杆件轴线作用有多少个力，则杆件不同部分横截面上的轴力不尽 相同，为形象地表示轴力随横截面位置的变化情况，通常画出轴力图。
例1：如图所示拉、压杆。试用截面法求各杆指定截面的轴力，并画出 各杆的轴力图。 解：（1）分段计算轴力 杆件分为2段。用截面法取图 示研究对象画受力图如图，列平衡 方程分别求得： FN1=F（拉）；FN2=-F（压） （2）画轴力图。根据所求轴力 画出轴力图如图所示。
内力分析-轴力、轴力图 例2 如图所示左端固定杆，已知F1=50kN，F2=20kN，试画出该 杆的轴力图。 2 1
解：（1）求约束力。列杆的平 衡方程： F 0
+ F2 F1 0 -F R FR=F2-F1=50-20=30kN
（2）计算各段轴力，研究AB段，假想 1-1截面将杆件分为两部分，取左端为研 究对象，画受力图，列方程：
BC段 Fx 0
F FN 2 F 1 2 10 20 10kN CD段 Fx 0
1 F2
2
F3 3 F4 FN2
FN1 F2
FN 2 + F2 F1 0
FN3
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+
F4
25
FN 3 F4 25kN
FN kN
+
2、绘制轴力图。
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内力分析-轴力、轴力图
2.扭转内力、扭矩及扭矩图
在工程实际和日常生活中，广泛存在着承受扭转的构件。 1）螺丝刀杆工作时受扭。
Me
阻抗力偶 主动力偶
2）汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
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内力分析-轴力、轴力图
3）机器中的传动轴工作时受扭。
受力特点： 杆两端作用着大小相等、方向相反的力偶，且力偶作用面垂 直于杆的轴线。
3）由于外力的作用线沿杆的轴线，同二力平衡公理，FN的作用线 也必定沿杆的作用线。 4）FN 为杆件在横截面 m-m 上的轴力。取左半部分为研究对象图b。
Fx 0
FN F 0 FN F 图a F
图b
图c
m m
F
FN FN
3
同样取右半部分为研究对象图c。 列平衡方程同样可得：FN F 当轴力方向与截面外的法 线方向一致时，杆件受拉，轴 力为正，反之轴力为负 。
x
0 FR=FN1=30kN
（4）根据上述轴力值，画出活塞的轴力图。
内力分析-轴力、轴力图
例3：如图，已知:F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN；F4=25kN;试画出图示 杆件的轴力图。 解：1、计算各段的轴力。
A F1 F1 F1
1
B
2Leabharlann Baidu
C
3
D
AB段
Fx 0
FN1 F1 10kN
F2
C
F2
FN2
Fx 0
C
-FN2-F2=0 FN2=-F2=-20kN
（2）再研究1-1、2-2截面段，将杆件分为 三部分，取中端为研究对象，画受力图，列 方程： F 0
x
F1
C
FN1′-F1+FN2′=0 FN1=30kN
（3）求约束力。列杆的平衡方程：
30 kN 206 kN
F
Me
mA
阻抗力偶 主动力偶
me
变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。
当杆件受到力偶的作用，即使发生轴线转动，杆件也会发生扭转变形。 9
内力分析-轴力、轴力图
扭转变形——在一对大小相等、转向相反的外力偶矩作用下，杆的各横 截面产生相对转动的变形形式，简称扭转。 以扭转变形为主要变形的受力构件——轴。 工程上,出于支承和加工的方便，轴的横截面通常采用圆形截面，即为 圆轴。 根据以上受扭分析，都可视为圆轴扭转，其破坏形式为断裂、过度扭 曲变形。因此，必须考虑圆轴扭转时的强度和刚度问题。 研究轴的强度和刚度问题，必须分析作用在轴上的外力偶矩。 工程实际中，作用在传动轴上的外力偶矩往往是未知的，已知的往往是 轴的转速经及该轴的传递功率。为此需把其换算成外力偶矩。
2、 边长为a的立方体上，沿对角线AB作用一力F，则此力在y轴上
的投影为
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内力分析-轴力、轴力图
1.轴向拉（压）时横截面上的内力
杆件在外力的作用下,横截面上将产生轴力、扭矩、剪力、弯矩等，研 究构件的强度与刚度，必须研究构件的内力及应力。 截面法求内力：是求杆件内力的基本方法，杆件的内力图就是表示内 力沿杆件长度方向的变化图形。 1）假想沿 m-m 横截面将杆切开，如图a。 2）杆件横截面 m-m 上的内力是一个分布的力系，其合力为 FN
Me 9549
P ( Nm ) n
功率P的单位为Kw（千瓦），角速度ω=2πn，转速n的单位为r/min（转/ 分），力偶矩Me的单位为Nm（牛顿米）
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内力分析-轴力、轴力图
对于传动轴，外力偶矩的方向可根据以下原则确定：主动轮（输入功
率的轮）所承受的外力偶矩的方向与轴的转向一致，从动轮（输出功率的 轮）所承受的外力偶矩的方向与轴的转向相反。 2、扭矩与扭矩图 求出作用于轴上的所有外力偶矩后，即可用截面法研究横截面上的内 力。如图所示的圆轴。用横截面m-m将轴分成两部分，并研究其1部分。 m 因整个轴是平衡的所以1部分也