幂函数的图像与性质优秀课件

3
y=x
1
y=x 2
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
-2 当a为奇数时,幂函数为奇函数, 当a为偶数时,幂函数为偶函数.
-3
-4
0< <1
>1
<0
图
y
y
y
象
特
1
1
1
点
o1
x o1
x
o1
x
性
都经过定点（1，1）
质 在[0，+∞)为 在[0，+∞)为 在（0，+∞)为
1
y x2… \ \ \ 0 1
8 27 …
2 3…
y x 1 … -1/3
1/2
-1
\
1
1/2
1/ 3
…
4
3
2
1
(1,1)
-6
-4
-2
-1
(-1,-1)
-2
2
4
6
-3
-4
x -3 -2 -1 0 1 2 4
3
3
y=x
y=x 9 4 1 0 1 4
2
2
9
1
(1,1)
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
源自文库
边长为ｙ，这里ｙ是关于ｘ的函数;
1
(5)如果某人ｘ秒内骑车行驶了１ｋｍ,他骑y车 x的2 平
均速度是ｙ，这里ｙ是关于ｘ的函数. 以上各题目的函数关系分别是什么？
y
1
x
yx
归纳 概括
1
y x2 y x3 y x2
y x1
5个函数式的共同特征： (1) 指数是常数； (2) 底数是自变量； (3) 函数式前的系数都是1；
幂函数的图像与性质优秀课件
问题引入 我们先看几个具体问题:
(1) 如果回收旧报纸每公斤１元,某班每年卖旧报纸
ｘ公斤,所得价钱ｙ是关于ｘ的函数
yx
(2) 如果正方形的边长为ｘ，面积ｙ,这里ｙ是关于
ｘ的函数;
y x2
(3) 如果正方体的边长为ｘ, 正方体的体积为ｙ,
这里ｙ是关于ｘ函数;
y
3
x
(4)如果一个正方形场地的面积为ｘ, 这个正方形的
-2
-3
-4
(-2,4)
4
3
2
(2,4) y=x
1
(-1,1)
(1,1)
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
(-2,4 4 )
3
(2,4) y x 2 =
y=x
2
(-1 1 ,1 (1 ) ,1)
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
x -2 -3 -2 -1 0 1 2 3
-3y=x -27 -8 -1 0 1 8
1
x2
(5)
y x1
几何画板
作出下列函数的图象: 1
y=x y x 2 y x 3 y x 2 y x 1 y= x0
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
yx
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
y x 3 … -27 -8 -1 0 1
单调增函数. 单调增函数. 单调减函数.
（慢增） （快增） (慢减)
幂函数在第一象限的图像
幂函数图象在第一象限的分布情况：
★所有的幂函数在(0,+∞)都有定
1
义,并且函数图象都通过点(1,1). ＝1 ★如果a>0,则幂函数的图象过 点(0,0),(1,1)并在[0,+∞) 上为增
0
01
函数.
-1
(-
-2
-3
-4
( 4 y x 3 ( y x 2
3
y 1 y x 2
2
(
( 1 ( y x - y- = x0
- - 6 - 4 2 2 4 6
-1
(-
-2
-3
-4
二、新课讲解
y=x
y=x2
y=x3 y=x1/2
y=x-1
定义域 R
R
R ［0,+∞) {x|x≠0}
值域 R ［0,+∞)
奇偶性 奇
3
27
-4
( 4 y x 3 ( y x 2
3
y
2
( 1 ( -
- - 6 - 4 2 2 4 6
-1
( x 0 1 2 4 -
-2
1
- y x 2 0
122
3
-4
( 4 y x 3 ( y x 2
3
y
2
( ( 1 ( -
- - 6 - 4 2 2 4 6
-1
(-
-2
-3
-4
( 4 y x 3 ( y x 2
3
y 1 y x 2
2
(
( 1 ( -
- - 6 - 4 2 2 4 6
-1
(-
x -3 -2 - 1 2 3
-2
y x1
1
- -1/3 - 3 - 1 1/ 1/
- 1/4 2 1 2 3
( 4 y x 3 ( y x 2
3
y 1 y x 2
2
(
( 1 ( y x - -
- - 6 - 4 2 2 4 6
(4)y x2 1;
(5)y 1;
(6)y 1 ； x
(7)y (x1)2 (8)y x0 (9)y x3
答案（2）（6）（8）
联系旧知 形成区别
指数函数与幂函数的对比
自变量在指 数位置
指 数 函 数 ： y = a （ xa > 0 且 a 1 )
幂 函 数 ： y=x(R)
自变量在 底数位置
★ 如果a<0,则幂函数的图象过 点(1,1),并在(0,+∞)上为减函数，
一定不过点（0,0）.
★一般地，幂函数的图象在直 线x=1的右侧，a越大图像越在 上方，在Y轴与直线x =1之间正 好相反。
提高训练 练习 如图所示，曲线是幂函数 y = xa 在第一象限内 的图象，已知 a分别取 1 , 1 , 1 , 2四个值，则相
快速反应
y 0.2x
（指数函数）
y x1
（幂函数）
y 3x
（指数函数）
1
y x2
（幂函数）
y 5x
（指数函数）
y5 x
（幂函数）
例题讲解
例1：已知幂y函 f(数 x)的图象(过 2, 点 2), 试求出这个函式 数. 的解析
解:设所求的幂函数y为 x
函数的图像过点 (2, 2)
这种方法 叫待定 系数法
2 2, 即212 2
1
2
所求的幂函数y为 x12.
范例讲解
例2.如果函数 f(x)(m 2m 1)xm 22m 3 是幂函数，求满足条件的实数m的值.
解：由题意有 m2m11
m2m20 m2或 m1
三、五个常用幂函数的 图象和性质
(1)yx (2) y x2 (3) y x3
(4) y
偶
单调性
增
x∈[0,+∞)时,增 x∈(-∞,0]时,减
公共点
(1,1) (0,0)
(1,1) (0,0)
R ［0,+∞) {y|y≠0}
奇 非奇非偶
奇
增
(1,1) (0,0)
增
(1,1) (0,0)
x∈[0,+∞)时,减 x∈(-∞,0]时,减
(1,1)
(-2,4)
4
y=x3 (2,4)
y=x2
(4) 形式都是 y x ，其中 是常数.
二、新课讲解
幂函数定义：
一般地，函数 yx(R)叫做幂函数，
其中 x是自变量， 是常数．
(1) 指数是常数； (2) 底数是自变量； (3) 函数式前的系数都是1；
(4) 形式都是 y x ，其中 是常数.
练习：判断下列函数哪几个是幂函数？
（1）y 3x; (2)y 1 ; (3)y 2x2; x2