第一课数学史ppt
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黎曼进入哥根廷大学学习哲学和神学。在此期间他去听了一些数学讲座，包 括高斯的最小二乘法的讲座。在得到父亲的允许后，他改学数学。 • 1847年春，黎曼转到柏林大学，投入雅戈比、狄利克雷和Steiner门下。两年 后他回到哥廷根。
• 1854年他初次登台作了题为“论作为几何基础的假设”的演讲，开
创了黎曼几何，并为爱因斯坦的广义相对论提供了数学基础。他在 1857年升为哥廷根大学的编外教授，并在1859年狄利克雷去世后成 为正教授。 • 1862年，他与爱丽丝·科赫（Elise Koch）结婚。 • 1866年，他在第三次去意大利的的途中因肺结核在塞拉斯卡 （Selasca）去世 。
• 1901年Helge von Koch指出，黎曼猜想与强条件的素数定理 等价。 现在已经验证了最初的1,500,000,000个素数对这个定理都成立。但 是是否所有的解对此定理都成立，至今尚无人给出证明。
• 黎曼猜想所以被认为是当代数学中一个重要的问题，主要是因为很多 深入和重要的数学和物理结果都能在它成立的大前提下被证明。大部 份数学家也相信黎曼猜想是正确的（约翰.恩瑟.李特尔伍德与赛尔伯 格曾提出怀疑。塞尔伯格于晚年部分改变了他的怀疑立场。在1989年 的一篇论文中，他猜测黎曼猜想对更广泛的一类函数也应当成立。） 克雷数学研究所设立了$1,000,000美元的奖金给予第一个得出正确证 明的人。
黎曼猜想证明历史
• 黎曼1859年在他的论文Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe' 中提及了这个著名的猜想， 但它并非该论文的中心目的，他也没有试图给出证明。黎 曼知道ζ函数的不平凡零点对称地分布在直线s = ½ + it上， 以及他知道它所有的不平凡零点一定位于区域0 ≤ Re(s) ≤ 1中。
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黎曼生平
• 1826年，他出生于汉诺威王国（今德国）的小镇布列斯伦茨（Breselenz）。 他的父亲弗雷德里希·波恩哈德·黎曼是当地的路德会牧师。他在六个孩子中排 行第二。
• 1840年，黎曼搬到汉诺威和祖母生活并进入中学学习。 • 1842年祖母去世后，他搬到吕内堡的约翰纽姆。1846年，按照父亲的意愿，
学研究所的千禧年大奖数学难 题的。
大卫.希尔伯特
• 1914年，高德菲哈罗德哈代证明了有无限个零点 在直线Re(s) = ½上。然而仍然有可能有无限个不 平凡零点位于其它地方（而且有可能是最主要的 零点）。后来哈代与约翰恩瑟李特尔伍德在1921 年及塞尔伯格在1942年的工作（临界线定理）也 就是计算零点在临界线Re(s) = ½上的平均密度。
黎曼ζ函数在临界线Re(s) = 1/2上的实部（红色）和虚 部（蓝色）。我们可以看到最起初的几个非平凡零点 就位于Im(s) = ±14.135, ±21.022和± 25.011上 。
黎曼ζ函数实部与虚部的数值比较图， 也就是Re(ζ(s)) vs. Im(ζ(s))，沿着 临界线s = it + 1/2，t 由 0到34.
• 1900年，大卫.希尔伯特将黎曼 猜想包括在他著名的23条问题 中，黎曼猜想与哥德巴赫猜想 一起组成了希尔伯特名单上第8 号问题。当被问及若他一觉醒
来已是五百年后他将做什么时，
希尔伯特有名地说过他的第一
个问题将是黎曼猜想有否被证 明。(Derbyshire 2003:197;
Sabbagh 2003:69; Bollobas 1986:16).黎曼猜想是希尔伯特 问题中唯一一个被收入克雷数
黎曼猜想的提出
黎曼函数非平凡零点的实数部份是½
• 即所有的非平凡零点都应该位于直线½ + ti（“临界线”）上。t为一 实数，而i为虚数的基本单位。沿临界线的黎曼ζ函数有时通过Z-函数 进行研究。它的实零点对应于ζ函数在临界线上的零点。
• 素数在自然数中的分布问题在纯粹数学和应用数学上都很重要。素数 在自然数中的分布并没有简单的规律。黎曼（1826--1866）发现素数 出现的频率与黎曼ζ函数紧密相关。
• 1896年，雅克.阿达马和Charles Jean de la ValléePoussin分别独立地证明了在直线Re(s) = 1上没有零点。 连同了黎曼对于不非凡零点已经证明了的其他特性，这显 示了所有不平凡零点一定处于区域0 < Re(s) < 1上。这是 素数定理第一个完整证明中很关键的一步。
• 近来的工作集中于清楚的计算大量零点的位置 （希望借此能找到一个反例）以及对处于临界线 以外零点数目的比例置一上界（希望能把上界降 至零）
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102号周执政
黎曼简介
• 黎曼(Riemann，George Friedrich Bernhard， 1826-1866)是黎曼几何的 创始人。他在读博士学位 期间，研究的是复变函数。 他把通常的函数概念推广 到多值函数，并引进了多 叶李曼曲面的直观概念。 他的博士论文受到了 GAUSS的赞扬，也是他此 后十年工作的基础，包括： 复变函数在Abel积分和 theta函数中的应用，函数 的三角级数表示，微分几 何基础等
黎曼ζ函数
• 黎曼猜想（RH）是关于黎曼ζ函数 ζ(s)的零点分布的猜想。黎曼ζ函数 在任何复数s ≠ 1上有定义。它在负 偶数上也有零点（例如，当s = −2, s = −4, s = −6, ...）。这些零点是
“平凡零点”。黎曼猜想关心的是 非平凡零点。
黎曼ζ函数：
（非平凡零点(在此情况下是指 s不为-2、-4、-6‧‧‧等点的值) 的实数部份是½ 。）
• 1854年他初次登台作了题为“论作为几何基础的假设”的演讲，开
创了黎曼几何，并为爱因斯坦的广义相对论提供了数学基础。他在 1857年升为哥廷根大学的编外教授，并在1859年狄利克雷去世后成 为正教授。 • 1862年，他与爱丽丝·科赫（Elise Koch）结婚。 • 1866年，他在第三次去意大利的的途中因肺结核在塞拉斯卡 （Selasca）去世 。
• 1901年Helge von Koch指出，黎曼猜想与强条件的素数定理 等价。 现在已经验证了最初的1,500,000,000个素数对这个定理都成立。但 是是否所有的解对此定理都成立，至今尚无人给出证明。
• 黎曼猜想所以被认为是当代数学中一个重要的问题，主要是因为很多 深入和重要的数学和物理结果都能在它成立的大前提下被证明。大部 份数学家也相信黎曼猜想是正确的（约翰.恩瑟.李特尔伍德与赛尔伯 格曾提出怀疑。塞尔伯格于晚年部分改变了他的怀疑立场。在1989年 的一篇论文中，他猜测黎曼猜想对更广泛的一类函数也应当成立。） 克雷数学研究所设立了$1,000,000美元的奖金给予第一个得出正确证 明的人。
黎曼猜想证明历史
• 黎曼1859年在他的论文Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe' 中提及了这个著名的猜想， 但它并非该论文的中心目的，他也没有试图给出证明。黎 曼知道ζ函数的不平凡零点对称地分布在直线s = ½ + it上， 以及他知道它所有的不平凡零点一定位于区域0 ≤ Re(s) ≤ 1中。
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黎曼生平
• 1826年，他出生于汉诺威王国（今德国）的小镇布列斯伦茨（Breselenz）。 他的父亲弗雷德里希·波恩哈德·黎曼是当地的路德会牧师。他在六个孩子中排 行第二。
• 1840年，黎曼搬到汉诺威和祖母生活并进入中学学习。 • 1842年祖母去世后，他搬到吕内堡的约翰纽姆。1846年，按照父亲的意愿，
学研究所的千禧年大奖数学难 题的。
大卫.希尔伯特
• 1914年，高德菲哈罗德哈代证明了有无限个零点 在直线Re(s) = ½上。然而仍然有可能有无限个不 平凡零点位于其它地方（而且有可能是最主要的 零点）。后来哈代与约翰恩瑟李特尔伍德在1921 年及塞尔伯格在1942年的工作（临界线定理）也 就是计算零点在临界线Re(s) = ½上的平均密度。
黎曼ζ函数在临界线Re(s) = 1/2上的实部（红色）和虚 部（蓝色）。我们可以看到最起初的几个非平凡零点 就位于Im(s) = ±14.135, ±21.022和± 25.011上 。
黎曼ζ函数实部与虚部的数值比较图， 也就是Re(ζ(s)) vs. Im(ζ(s))，沿着 临界线s = it + 1/2，t 由 0到34.
• 1900年，大卫.希尔伯特将黎曼 猜想包括在他著名的23条问题 中，黎曼猜想与哥德巴赫猜想 一起组成了希尔伯特名单上第8 号问题。当被问及若他一觉醒
来已是五百年后他将做什么时，
希尔伯特有名地说过他的第一
个问题将是黎曼猜想有否被证 明。(Derbyshire 2003:197;
Sabbagh 2003:69; Bollobas 1986:16).黎曼猜想是希尔伯特 问题中唯一一个被收入克雷数
黎曼猜想的提出
黎曼函数非平凡零点的实数部份是½
• 即所有的非平凡零点都应该位于直线½ + ti（“临界线”）上。t为一 实数，而i为虚数的基本单位。沿临界线的黎曼ζ函数有时通过Z-函数 进行研究。它的实零点对应于ζ函数在临界线上的零点。
• 素数在自然数中的分布问题在纯粹数学和应用数学上都很重要。素数 在自然数中的分布并没有简单的规律。黎曼（1826--1866）发现素数 出现的频率与黎曼ζ函数紧密相关。
• 1896年，雅克.阿达马和Charles Jean de la ValléePoussin分别独立地证明了在直线Re(s) = 1上没有零点。 连同了黎曼对于不非凡零点已经证明了的其他特性，这显 示了所有不平凡零点一定处于区域0 < Re(s) < 1上。这是 素数定理第一个完整证明中很关键的一步。
• 近来的工作集中于清楚的计算大量零点的位置 （希望借此能找到一个反例）以及对处于临界线 以外零点数目的比例置一上界（希望能把上界降 至零）
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黎曼简介
• 黎曼(Riemann，George Friedrich Bernhard， 1826-1866)是黎曼几何的 创始人。他在读博士学位 期间，研究的是复变函数。 他把通常的函数概念推广 到多值函数，并引进了多 叶李曼曲面的直观概念。 他的博士论文受到了 GAUSS的赞扬，也是他此 后十年工作的基础，包括： 复变函数在Abel积分和 theta函数中的应用，函数 的三角级数表示，微分几 何基础等
黎曼ζ函数
• 黎曼猜想（RH）是关于黎曼ζ函数 ζ(s)的零点分布的猜想。黎曼ζ函数 在任何复数s ≠ 1上有定义。它在负 偶数上也有零点（例如，当s = −2, s = −4, s = −6, ...）。这些零点是
“平凡零点”。黎曼猜想关心的是 非平凡零点。
黎曼ζ函数：
（非平凡零点(在此情况下是指 s不为-2、-4、-6‧‧‧等点的值) 的实数部份是½ 。）