第四讲：二次型及其标准型

1 0 1
故矩阵A 的特征值为 1 2 2,3 0,
所以，矩阵 B 的特征值为 1 2 k 2 2 ,3 k 2,
另一方面，因A为实对称矩阵，故矩阵B 也为实对称矩阵，从而B 必与对角阵相似，
且相似对角矩阵为
k 22
0
0


0 k 22 0
综上，二次型在正交变换下的标准形为 3y12 6 y22
例2、若二次型 f x1, x2, x3 x12 3x22 x32 2x1x2 2x1x3 2x2x3
则，其正惯性指数是多少？
解：由已知，二次型的矩阵为 1 1 1
A 11
3 1
11
上述定理称为惯性定理，二次型的标准型中正系数的个数称为二次型的正 惯性指数，通常用 表示.负系数的个数称为二次型的负惯性指数.
设有二次型 f(x1, x2,…, x n )=xTAx ，如果对于任意的非零向量 x，都有 xTAx>0，则称二次型 f 为正定二次型，并且称矩阵为正定矩阵；反之，如果 对于任意的非零向量 x ，都有 xTAx<0 ，则称二次型 为负定二次型，并且称
其中 λ1, λ 2, …, λ n是二次型f 的矩阵的特征值. 将二次型f(x1, x2,…, x n )=xTAx 化为标准型的方法 （1）写出二次型的矩阵 A （对称矩阵）；
（2）将矩阵A 正交相似于对角阵，求出正交矩阵P ，使得 P-1AP=PTAP=Λ， Λ中的对角元为矩阵A 的特征值；
（3）作正交变换 x=Py ，此时 f 1 y12 2 y22 n yn2.

0
0
k
2

另一方面，因A 为实对称矩阵，故矩阵B 也为实对称矩阵，从而B 必与对角阵相似，
且相似对角矩阵为
k 22
0
0


0 k 22 0

0
0
k
2

当 k 2且 k 0 时，矩阵B 的特征值全为正数，此时B 为正定矩阵.

则其对角元全为负数；
（3） 若矩阵A，B 是正定矩阵，则矩阵 AB 未必是正定矩阵； （4）对称矩阵A 正定的充分必要条件是存在可逆矩阵U，使得 A=UTU ，即 A 合同于单位矩阵.
二、教学要求
1、掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解合同变换 与合同矩阵的概念，了解二次型的标准形、规范形概念以及惯性定理；
对于二次型 f(x1, x2,…, x n )=xTAx ，我们讨论的主要问题是找到可逆线性变 换 x=Cy，使得变换后的二次型只含有平方项（称为二次型 f 的标准型），
即
f k1 y12 k2 y22 kn yn2
进一步，如果标准型中的系数 k1, k2,…, kn在 0,1,-1三个数中取，即
2 /2
6 / 6
0
6 / 3 ,
2 / 2 6 / 6
作正交变换
x1

x2

x3



3/3 3/3 3/3
2 /2 0 2 /2

6/6 6/3 6/6





y1
y2

,
y3
所以 二次型 f 的标准形为 2 y12 y22 y32.
2 b 2 21
解得
a b 2, 1 3.
另一方面， r( A) 2, A 0
于是
2 0 必为矩阵A 的特征值
结合特征值的性质： aii i
有 1 (5) 1 3 0 3 解得
3 6
所以矩阵 的特征值为 0，3，-6.
一、知识要点
1、二次型
定义:含有n 个变量x1, x2,…, x n 的二次齐次函数
f (x1, x2, , xn ) a11x12 a22x22 annxn2 2a12x1x2 2a13x1x3 2an1.nxn1xn
称为二次型.若取aij=aji ，则
n
f ( x1, x2, , xn ) aij xi x j.
经过正交变换后可以化为 y12 4z12 4 则，常数 a 是多少？
解：将曲面方程的左边看成二次型，其矩阵为
0
Байду номын сангаас a 1
A

a 1
3 1
11
由题意， 其正交相似于对角矩阵 故矩阵A 的特征值为0,1,4，所以
1
4
1 a1
A a 3 1 a 12 0, a 1.
用正交变换化二次型为标准型具有保持几何形状不变的优点，但是如果不局限 于正交变换，只需要可逆线性变换时，我们可以通过拉格朗日配方法化二次型为标 准型. （2）正交变换法
定理 给定二次型 f(x1, x2,…, x n )=xTAx ，总存在正交变换 x=Py ，使得二 次型 f 化为标准型
f 1 y12 2 y22 n yn2
i, j1
记
a11 a12
A


a21
a22

a1n
x1
a2n

,
x


x2


则

an1
an2
ann


xn

f ( x1, x2 , , xn ) xT Ax
此时，矩阵A （对称矩阵）唯一确定；反之，若矩阵A 给定，则可以确定唯一的
二次型 f(x1, x2,…, x n )=xTAx，因此我们称矩阵A 为二次型 f 的矩阵，也称二次 型 f 是矩阵A 的二次型，称矩阵A 的秩为二次型f 的的秩.
矩阵为负定矩阵.
定理 n 元二次型 f(x1, x2,…, x n )=xTAx 正定的充分必要条件是它的标准型中平 方项系数全为正，即正惯性指数为 n .
定理 对称矩阵 A 正定的充分必要条件是它的特征值全正.
定理 对称矩阵 A 正定的充分必要条件是它的各阶主子式全正，即
a 0, a11
11
p1 3 / 3 , p2
3 / 3

2 / 2
6 / 6


0 , p3 6 / 3
2
/
2

6 / 6
3/3
记正交矩阵 P p1, p2, p3 3 / 3
3 / 3
解：由已知，二次型的矩阵为
A

1 a
a 5
1
b


1
b
1
因为(2,1,2)T是矩阵A 的特征向量，则有
1 b 12 2
a
5
b

1


1
1


1
b
1


2


2

即为
2 a 2 21 2a 5 2b 1
2
2

,
先求特征值
2 0 2
2 2 4
AT A E 0 2 2 2 6 0
则，其正惯性指数是多少？ 解法二：由于
f x1, x2, x3 x12 3x22 x32 2x1x2 2x1x3 2x2x3 x1 x2 x3 2 2x22
故二次型 的正惯性指数为2。
例3、若二次曲面的方程 x2 3y2 z2 2axy 2xz 2 yz 4
第四讲：二次型及其标准形
主讲人：同济大学 殷俊锋
相似矩阵以及二次型是线性代数的重要组成部分
包含正交矩阵、矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵、 二次型及其矩阵表示、合同变换与合同矩阵、二次型的标 准形和规范形、正定矩阵等基本概念.
也包含矩阵可相似对角化的充分必要条件、实对称矩 阵的特征值、特征向量的性质、惯性定理、用正交变换化 二次型为标准型等基本定理.
1 11
例4、求一个正交变换 x Py, 把二次型 f x12 x32 2x1x2 2x2 x3 化
为标准形，并写出标准形.
1 1 0
解：二次型的矩阵为 A 11
0 1
11 ,
1 1 0
其特征多项式 A E 1 1 2 1 1,
f y12 y22
yp2

y2 p1

yr2
则，称上式为二次型f 的规范形. 注意，二次型f 的标准形不唯一，而规范形是唯一的.
2、合同矩阵
定义: 设 A 和 B 是两个 n 阶方阵，如果存在可逆矩阵 P 满足 B=PTAP，则 称矩阵 A 和 B 是合同的.
矩阵的合同关系是一种等价关系，具有自反性、对称性和传递性.
另一方面
1 0 1 1 0 1
A


0
1
1



0
1
1

1 0 a 0 0 a 1

0
a 1

0
0
0

所以 ， a 1 0, a 1.
2 0 2
（ 2）由（1）， a 1 ，此时二次型的矩阵
AT
A


0
1 1 1
故矩阵A 的特征值为 2, 1, -1 .
当 2
时，特征向量为
1

1，
1
1
当 1 时，特征向量为

2
，
1
当 1 时，特征向量为
1
10

，
将它们单位化得，
3 / 3



4、正定二次型及其判别法
定理 设有二次型 f(x1, x2,…, x n )=xTAx ，其秩为 r，有两个可 逆线性变换 x=Cy， x=Pz，使得
f k1 y12 k2 y22 kr yr2
以及
f 1 y12 2 y22 r yr2
则 k1, k2,…, k r中正数的个数与 λ1, λ 2, …, λ r中正数的个数相同.
2、掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，会用配方法化二次型 为标准形； 3、理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法.
三、例题精讲
例1、已知二次型 f
x1, x2, x3
xTAx
x12

5x
2 2

x
2 3

2ax1x2
2x1x3
2bx2x3
的秩为2，
且(2,1,2)T是矩阵A 的特征向量，那么在正交变换下该二次型的标准形是
1 0 1
例5、设矩阵
A


0
2
0

,
矩阵 B kE A2 , 其中 k
为实数,
E 为单位矩阵。
1 0 1
求对角阵 , 使得 B 与 相似，并求当 k 为何值时矩阵 B 为正定矩阵.
解：矩阵 A的特征方程为 1 0 AE 0 2
1
0 22 0
其特征多项式为
1 1 1
A E 1 3 1 1 2 3 11 3 2 1 1 4
1 1 1
所以特征值为0,1,4，故二次型 的正惯性指数为2。
例2、若二次型 f x1, x2, x3 x12 3x22 x32 2x1x2 2x1x3 2x2x3


1
例6、已知 A 0

1
0 1 0
1

1 ，二次型 f
a

x1, x2, x3
xT
AT A x 的秩为2，
0 a 1
（1）求实数 a 的值；
（2）用正交变换化二次型 f 为标准型
解：（1） 二次型 f 的秩为2，即 r AT A 2，故 r A 2；
给定二次型f(x1, x2,…, x n )=xTAx ，经过可逆线性变换 x=Cy 后，所得二次 型的矩阵变为与A 合同的矩阵 CTAC，且二次型的秩保持不变.
注：（1）任一实对称矩阵必合同于一个对角阵； （2） 两个同阶实对称矩阵合同的充分必要条件是它们具有相同的正、负 惯性指数.
3、化二次形为标准形 （1）配方法
a21
a12 0, a22
a11 , an1
a1n 0
ann
对称矩阵A 负定的充分必要条件是它奇数阶主子式为负，偶数阶子式为正，即
a11
1 r
ar1
a1r
0 r 1,2, , n
arr
注
（1）若矩阵 A 是正定矩阵，则 A-1， AT， A* 也是正定矩阵； （2） 若矩阵A 是正定矩阵，则其对角元全为正数；若矩阵A 是负定矩阵，