函数型不等式的解法

函数型不等式的解法

在数学学习中“等”与“不等”是建立各种量之间关系的桥梁，在函数中，常常利用函数的性质（单调性）来解不等式。下面举例从三个角度进行简单的分析。 一．直接法

例1.[2014年I15]设函数f(x)=

;则使得f(x)≤2成立的x 的取值范围是______.

解析：由 或 解得 。

所以使得f(x)≤2成立的x 的取值范围是 .

你能否作出f(x)的图象，观察图象得出f(x)≤2的解集了？ 由图象可知f(x)是R 上的增函数，有f(8)=2, 所以使得f(x)≤2成立的x 的取值范围是

点评：在解不等式的过程中，应用到了基本初等函数y= 与

的单调性,说明解决函数类不等式问题一般都需要研究函数的单调性。 二．图像与性质法

例2．(1)(2018全国卷Ⅰ)设函数2,0

()1,0-⎧=⎨>⎩≤x x f x x ，则满足(1)(2)+

取值范围是（ ） A ．(,1]-∞-

B ．(0,)+∞

C ．(1,0)-

D ．(,0)-∞

(2)[2015年Ⅱ12]设函数f(x)=ln(1+|x|)-

，则使得f(x)>f(2x-1)成立的x 的取值范围是( )

A ．(

) B ．(-∞

)∪(1,+∞) C ．(

) D ．(-∞

)∪(

,+∞)

解析：（1）由基本初等图象与性质可知f(x)在（ ]上递减，

在（0， ）恒为1.

所以f(x+1)

,解得x<0

（2）因为f(-x)=ln(1+|x|)- =f(x),所以f(x)是偶函数，又y=ln(1+|x|)与y=-

都在[0，+∞)上递增。

所以f(x)>f(2x-1)等价于|x|>|2x-1|,解得 .所以x 的取值范围是(

) 点评：借助函数图象与性质(单调性)，利用单调性的定义，去掉对应关系f 来解不等式，在解题过程中作出图象更直观，有助于辅助分析。

三．图象法

例3.[2012年Ⅰ11]当0

2时， 1时， >log a x 恒成立，不符合题意，所以0

时，

解析：经分析0

,解得

点评：画画图象有助于解题哟！！！ 四．分类讨论

例4．（2017新课标Ⅲ）设函数1,0()2,0x x x f x x +⎧=⎨>⎩≤，则满足1

()()12f x f x +->的x

的取值范围是____．

分析：由于这里1

()()12

f x f x +->有常数1的存在，利用单调性去f 不是很合适，

所以根据分段函数的处理方式讨论：根据x ，

与0的大小关系进行讨论，也就是x 与0、

的大小关系讨论。

解析：(1)当 时，

，原不等式等价于

解得

(2) 当

时，

, 原不等式等价于

解得

2

(3) 当 时，

, 原不等式等价于

解得 所以1()()12f x f x +->的解集为（

， ）

点评：对上面解法分析，第(2)(3)两种情况的解集 就是讨论的范围，说明(2)(3)两种情况下原不等式

是恒成立的。我们也可以结合f(x)的图象对不等式 进行分析求解。 结合图形可知x>0时不等式成立，x ≤0时，有 ，解得

，所以()2f x +-（

， ）

通过以上几题的分析研究，我们在研究函数类不等式的时候一定要作出函数的图象，并研究函数的基本性质（单调性，奇偶性，周期性等）。利用图象与性质去解决函数不等式问题

巩固反馈

1. [2013年Ⅱ12]若存在正数x 使2x (x-a)＜1成立，则a 的取值范围是_____

2. [2013年Ⅰ12]已知函数f(x)=

,若|f(x)|≥ax ，则a 的取值范围是

___

3.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12

a )≤2f (1)，则a 的取值范围是_____