知识讲解行星的运动与万有引力定律(提高)

物理总复习：行星的运动与万有引力定律

编稿：李传安审稿：张金虎

【考纲要求】

1、了解开普勒关于行星运动的描述；

2、知道引力常数的数值、单位及其测量装置；

3、掌握万有引力定律并能应用；

4、理解三种宇宙速度及其区别。

【知识络】

【考点梳理】

考点一、开普勒行星运动定律

1、开普勒第一定律

所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。这就是开普勒第一定律，又称椭圆轨道定律。

2、开普勒第二定律

对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积。这就是开普勒第二定律，又称面积定律。

3、开普勒第三定律

所以行星轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。这就是开普勒第

三定律，又称周期定律。若用a表示椭圆轨道的半长轴，T表示公转周期，则32akT?（k是一个与行星无关的常量）。

要点诠释：由第一定律出发，行星运动时，轨道上出现了近日点和远日点。由第二定律可以知道，从近日点向远日点运动时，速率变小，从远日点向近日点运动时速率变大。

由第三定律知道32akT?，而k值只与太阳有关，与行星无关。

开普勒定律的应用

（1）行星的轨道都近似为圆，计算时可认为行星做匀速圆周运动，这时太阳在圆心上，第三定律为

32rkT?；（2）开普勒定律不仅适用于行星，也适用于卫星，若把卫星轨道近似看作圆，第三定律公式为

32rkT??，这时k?由行星决定，与卫星无关。当天体绕不同的中心星球运行时，

32akT?中的k值是不同的。（3）对于椭圆轨道问题只能用开普勒定律解决。卫星变轨问题，可结合提供的向心力和需要的向心力的关系来解决。

例、关于行星绕太阳运动的下列说法中正确的是：（）

A．所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动

B．行星绕太阳运动时太阳位于行星轨道的中心处

C．离太阳越近的行星的运动周期越长

D．所有行星的轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等

【答案】D

【解析】所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳在一个焦点上，但并非在同一个椭圆上，故A、B错。由第三定律知离太阳越近的行星运动周期越小，故C错、D正确。

考点二、万有引力定律

1、公式：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体质量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比。

122mmFGr?，G为万有引力常量，11226.6710/GNmkg????。

2、适用条件：公式适用于质点间万有引力大小的计算。当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。另外，公式也适用于均匀球体间万有引力大小的计算，只不过r应是两球心间的距离。

3、万有引力的特点（1）普适性：（2）相互性：（3）宏观性：

要点诠释：重力和万有引力的联系和区别

重力是地面附近的物体受到地球的万有引力而产生的；万有引力是物体随地球自转所需向心力和重力的合力。如图所示，F引产生两个效果：一是提供物体随地球自转所需

的向心力；二是产生物体的重力。由于2=Fmr?向，随纬度的增大而减小，所以

物体的重力随纬度的增大而增大，即重力加速度从赤道到两极逐渐增大；

但F向一般很小，在一般情况下可认为重力和万有引力近似相等，

即2MmGmgR?2GMgR?常用来计算星球表面的重力加速度。

在地球同一纬度处，g随物体离地面高度的增加而减小，因为物体所受万有引力随物体离地面高度的增加而减小，即2()GMgRh???。

例、对于质量为1m和2m的两个物体间的万有引力的表达式122mmFGr?，下

列说法正确的是：（）

A．公式中的G是引力常量，它是由实验得出的，而不是人为规定的

B．当两物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大

C．1m和2m所受引力大小总是相等的

D．两个物体间的引力总是大小相等，方向相反的，是一对平衡力

【答案】AC

【解析】由基本概念、万有引力定律及其适用条件逐项判断。引力常量G值是由英国物理学家卡文迪许运用构思巧妙的“精密”扭秤实验第一次测定出来的，所以选项A正确。万有引力表达式只适用于质点间的作用，当r趋于零时任何物体都不能再视为质点，公式不成立，此时两物体间的作用力并非无穷大，故B错误。两个物体之间的万有引力是一对作用力与反作用力，它们总是大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上，所以选项C正确、D错误。

考点三、应用万有引力定律分析天体的运动

1、基本方法

把天体（或人造卫星）的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供。公式为2222224(2)MmvFGmmrmrmfrrrT????????

解决问题时可根据情况选择公式分析、计算。

2、天体质量M、密度?的计算

测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T，由

222()MmGmrrT??

得224rMGT??323300343MMrVGTRR?????? (0R为中心天体的半径）

当卫星沿中心天体表面绕天体运动时，0rR?，则23GT???。

3、天体（如卫星）运动的线速度、角速度、周期与轨道半径r的关系

（1）由22MmvGmrr?得GMvr?，所以r越大，v越小；（2）由22MmGmrr??得3GMr??，所以r越大，?越小；

（3）由222()MmGmrrT??得234rTGM??，所以r越大，T

越大。

4、黄金代换式2GMgR?

在地球表面的物体所受重力和地球对该物体的万有引力差别很小，在一般讨论和计算时，可以认为2MmGmgR?，且有2GMgR?。对其它行星也适用，不过g是行星表面的重力加速度，R是行星的半径，M是行星的质量。

例、如图，卫星从远地点B向近地点A运动,则下列说法正确的是（）

A. 卫星的速度越来越大

B. 卫星的机械能越来越大

C. 卫星受到的万有引力越来越大

D. 卫星与地球连线单位时间扫过的面积越来越大

【答案】

A C

【解析】卫星从远地点B向近地点A运动，轨道半径变小，因此速度越来越大，A对。卫星与地球组成的系统，只有引力做功，机械能守恒，B错。由万有引力公式，万有引力越来越大，C对。由开普勒第二定律知，在相等的时间内扫过相等的面积，D错。故选A C。

5、天体质量的几种计算方法（以地球质量M为例）

（1）若已知卫星绕地球做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r。

由224Mm GmrrT??得2324rMGT??。

（2）若已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和半径r。

由22MmvGmrr?得2vrMG?。

（3）若已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T。

由22()MmGmvrT??及2vTr??得32vTMG??。

（4）若已知地球半径R及表面的重力加速度g。

由2Mm GmgR?得2gR MG?。

【典型例题】

类型一、天体质量、密度的计算

例1、从地球上观测到太阳的直径对地球的张角为0.5，引力恒量

116.6710G???

22/Nmkg?，每年按365天计算，试求：

（1）估算出太阳的平均密度；