毕业论文行列式的求法汇总

1 行列式的概念及性质

1.1 行列式的概念

n 级行列式

nn

n n n

n a a a a a a a a a 21

222

2111211

等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积n

nj

j j a a a 2

1

21的代数和，这里的n j j j 21是1，

2，…，n 的一个排列，每一项都按下列规则带有符号：当n j j j 21是偶排列时，带有正号；当n j j j 21是奇排列时，带有负号。这一定义可写成

，

这里

∑

n

j j j 21表示对所有n 级排列的求和。

1.2 行列式的性质[1]

性质1 行列互换，行列式值不变，即

=nn n n n n

a a a a a a a a a

2

1

2222111211nn

n n n n a a a a a a a a a 212

22121

2111

性质2 行列式中某一行（列）元素有公因子k ，则k 可以提到行列式记号之外，

即

=nn

n n in i i n

a a a ka ka ka a a a

21

2111211nn

n n in i i n

a a a a a a a a a k 212

1

112

11

这就是说，一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘以行列式的一行就相当于用这个

n

n n

nj j j j j j r j j j nn

n n n

n a a a a a a a a a a a a

21212121)

(21

22221

11211)

1(∑-=

数乘以此行列式。 事实上，

nn

n n in i i n a a a ka ka ka a a a

212111211=11i i A ka +22i i A ka +in in A ka + =21(i i A a k +22i i A a +)in in A a +

nn

n n in i i n a a a a a a a a a k

2121

11211= ， 令k =0，如果行列式中任一行为零，那么行列式值为零。

性质3 如果行列式中某列（或行）中各元素均为两项之和，即

),,2,1(n i c b a ij ij ij =+=，则这个行列式等于另两个行列式之和。

即

nn

nj

n n

j

n j

nn nj

n n j

n j nn nj

nj n n j j n j j a c a a c a a c a a b a a b a a b a a c b a a c b a a c b a

12221111112221111112222111111+=+++ 这就是说，如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而 这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样。

性质4 如果行列式中有两行（列）相同，则行列式等于零。所谓的两行相同就是 说两行的对应元素都相等。

性质5 如果行列式中两行（列）成比例，则行列式等于零。

性质6 如果行列式中的某一行（列）的各元素同乘数k 后加到另一行（列）的对 应元素上去，则行列式不变。

性质7 对换行列式中两行（列）的位置，行列式反号。

技巧6:分块行列式的值等于其主对角线上两个子块行列式的值的乘积

11111111

111111111

1

1

1

0000m m n

m mm m n m mm n nn

n nm

n nn

a a a a

b b a a

c c b b a a b b c c b b =

技巧7:[拉普拉斯按一行(列)展开定理] 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和

1

1

(1,2,

,)(1,2,

,)n

n

ik ik kj kj k k D a A i n a A j n ======∑∑

技巧1:行列式与它的转置行列式的值相等,即D=D

T

1112111211212221222212

12n n n n n n nn

n

n

nn

a a a a a a a a a a a a a a a a a a =

2 行列式的计算方法

行列式的计算灵活多变，需要有较强的技巧。当然，任何一个n 阶行列式都可以由它的定义去计算其值。但由定义可知，n 阶行列式的展开式有n ！项，计算量很大，一般情况下不用此法，但如果行列式中有许多零元素，可考虑此法。值的注意的是：在应用定义法求非零元素乘积项时，不一定从第1行开始，哪行非零元素最少就从哪行开始。接下来要介绍计算行列式的两种最基本方法――化三角形法和按行（列）展开法。

:对于4阶以上的行列式,若行列式中有很多元素为零,则根据定义进行计算较为方便,否则较为复杂(常见于计算机程序和数学软件)

定义:

12

1212

1112121222()

1212

(1)n n n

n n p p p p p np p p p n n nn

a a a a a a a a a a a a τ=

-∑

运用数学软件Matlab 按定义计算4阶行列式: >> syms a b c d e f g h i j k l m n o p >> A=[a,b,c,d;e,f,g,h;i,j,k,l;m,n,o,p] A =