数学分析优秀论文：中值定理的讨论

毕业论文

题目积分中值定理在数学分析中的应用

学生姓名 xxx 学号xxx

所在院(系) 数学系

专业班级数学与应用数学专业2006级5班指导教师xxxx

完成地点陕西理工学院

2010年 5月 30日

数学分析优秀论文之中值定理的讨论

xxx

（云南师范大学学院数学系数学与应用数学专业2011级5班,云南 昆明 084080034）

指导老师：xxx

[摘 要] 本文主要介绍了积分中值定理在数学分析中应用时的注意事项及几点主要应用,这些应用主要是：

一.求函数在一个区间上的平均值;二.估计定积分的值;三.求含有定积分的极限;四.确定积分的符号;五.证明中值

ξ的存在性命题;六.证明积分不等式;七.证明函数的单调性.

[关键词] 积分;中值;定理;应用

1 引言

积分中值定理是数学分析中的主要定理之一,同时也是定积分的一个主要性质,它建立了积分和被积函数之间的关系,从而我们可以通过被积函数的性质来研究部分的性质,有较高的理论价值和广泛应用.本文就其在解题中的应用进行讨论.

2 预备知识

定理 2.1[1]

(积分第一中值定理) 若()x f 在区间[a,b]上连续,则在[a,b]上至少存在一点ξ使得

()()()b a a b f dx x f b

≤≤-=⎰ξξ,a

.

证明 由于()x f 在区间[a,b]上连续,因此存在最大值M 和最小值m .由

()],[,b a x M x f m ∈≤≤,

使用积分不等式性质得到

()()()a b M dx x f a b m b

a

-≤≤-⎰,

或

()()M dx x f a b m b a

≤-≤

⎰1

.

再由连续函数的介值性,至少存在一点[]b a ,∈ξ,使得

()().1dx x f a b f b

a

⎰-=ξ

定理 2.2[1]

(推广的积分第一中值定理) 若()()x g x f ,在闭区间[]b a ,上连续,且()x g 在[]

b a ,上不变号,则在[]b a ,至少存在一点ξ,使得

()()()().

,b a dx x g f dx x g x f b

a

b

a

≤≤=⎰⎰

ξξ

证明 推广的第一中值积分定理

不妨设在[]b a ,上()0≥x g 则在[]b a ,上有

()()()()，x Mg x g x f x mg ≤≤

其中m ,M 分别为()x f 在[]b a ,上的最小值和最大值,则有

()()()(),dx x g M dx x g x f dx x g m b

a

b a

b a

⎰⎰⎰≤≤

若()0=⎰

dx x g b

a ,则由上式知()()0=⎰dx x g x f b

a

,从而对[]b a ,上任何一点,定理都成立.

若

()0≠⎰dx x g b

a

则由上式得

()()(),M dx

x g dx x g x f m b a

b

a

≤≤⎰⎰

则在[]b a ,上至少存在一点ξ,使得

()()()(),⎰⎰=b a

b

a

dx

x g dx x g x f f ξ 即

()()()().

,b a dx x g f dx x g x f b

a

b a

≤≤=⎰⎰ξξ

显然,当()1≡x g 时,推广的积分第一中值定理就是积分中值定理

3 积分中值定理的应用

由于积分中值定理可以使积分号去掉,从而使问题简化,对于证明包含函数积分和某个函数值之间关系的等式和不等式,也可以考虑使用积分中值定理.

在使用积分中值定理时要注意以下几点：

(1)

在应用中要注意被积函数在区间[]b a ,上连续这一条件,否则,结论不一定成立.

例如

显然()x f 在0=x 处间断.

由于

()()()()⎰

⎰⎰⎰⎰=+-=+=--40

4

40

4

44

,0cos cos π

ππ

ππ

πxdx dx x dx x f dx x f dx x f

但⎥⎦⎤⎢⎣⎡-

4,4ππ在上,()0≠x f ,所以,对任何⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-4,4ππ都不能使 ()()ξπ

πf dx x f 244

=⎰-.

(2) 定理中的在区间上不变号这个条件也不能去掉. 例如 令

()(),2,2,sin ,sin ⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-∈==ππx x x g x x f

由于

()()()0|cos sin 21

sin 22

222

22

=-==---

⎰⎰π

ππ

ππ

π

x x x xdx dx x g x f ,

但

()⎰⎰--==2

2

2

2

,0sin π

πππxdx dx x g

所以,不存在

⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡-

∈2,2ππξ, 使

()()()().2

2

2

2

dx x g f dx x g x f ⎰⎰--=π

ππ

πξ

(3) 定理中所指出的ξ并不一定是唯一的,也不一定必须是[]b a ,的内点.

例如

令()[]b a x x f ,,1∈=,则对[],,b a ∈∀ξ都有

()()()a b f dx x f b

a

-=⎰ξ,

这也说明了ξ未必在区间[]b a ,的内点. 下面就就其应用进行讨论.

3.1 求函数在一个区间上的平均值

例1 试()x f sin x =求在[]π,0上的平均值. 解 平均值().2

|cos 1

sin 1

00

π

π

πξππ

=

-

==

⎰

x xdx f

例2 试求心形线()πθθ20,cos 1≤≤+=a r 上各点极经的平均值.