线性变换矩阵表示法.
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线性变换矩阵表示法
(The Matrix of a Linear Transformation)
若 f : VW 为一线性变换，且 V 与 W 均为有限度的 矢量空间时，我们将得到一个对应的矩阵，而且这个 线性变换 f 可以用一矩阵乘法来表示。正如我们在前 言中所提过的： 当 V = Rn , W = Rm ，而且把 Rn , Rm 中的矢量以行矢量
1
範例
f : R3R2 , f (x,y,z) = (2x – y + z , 3x + 2y – 5z) , 則
f
1
0 0
2 3
f
0
1 0
1 2
f
0
0 1
1 5
故
A
2 3
1 2
1 5
而可以用矩陣乘法表示如下：
x
x
f
:
源自文库
y
z
2
3
1 2
1 5
y
z
2x y 3x 2 y
z 5z
即 f ( X ) AX , X R3
20050612
5-3
2
練習
用矩陣乘法表示下列線性變換 f : R4R3
f (x,y,z,w) = (x – y + z + w , x + 2z – w , x + y + 3z – 3w)
解：
f
x
y
z
w
1
1 1
1 0 1
1 2 3
113wxzy
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3
表示时，则 f : RnRm可以用一个矩阵乘法来表示： f ( X ) AX，此处 X Rn，而 A 为一 mn 的矩阵，
且 A = [ f (E1), f (E2),…, f (En)]，此处{E1,E2,…,En}为 Rn 中的一组基底(Standard Basis)。
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(The Matrix of a Linear Transformation)
若 f : VW 为一线性变换，且 V 与 W 均为有限度的 矢量空间时，我们将得到一个对应的矩阵，而且这个 线性变换 f 可以用一矩阵乘法来表示。正如我们在前 言中所提过的： 当 V = Rn , W = Rm ，而且把 Rn , Rm 中的矢量以行矢量
1
範例
f : R3R2 , f (x,y,z) = (2x – y + z , 3x + 2y – 5z) , 則
f
1
0 0
2 3
f
0
1 0
1 2
f
0
0 1
1 5
故
A
2 3
1 2
1 5
而可以用矩陣乘法表示如下：
x
x
f
:
源自文库
y
z
2
3
1 2
1 5
y
z
2x y 3x 2 y
z 5z
即 f ( X ) AX , X R3
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練習
用矩陣乘法表示下列線性變換 f : R4R3
f (x,y,z,w) = (x – y + z + w , x + 2z – w , x + y + 3z – 3w)
解：
f
x
y
z
w
1
1 1
1 0 1
1 2 3
113wxzy
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表示时，则 f : RnRm可以用一个矩阵乘法来表示： f ( X ) AX，此处 X Rn，而 A 为一 mn 的矩阵，
且 A = [ f (E1), f (E2),…, f (En)]，此处{E1,E2,…,En}为 Rn 中的一组基底(Standard Basis)。
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