不动点定理研究

前言
不动点理论的研究兴起于20世纪初,荷兰数学家布劳维在1909年创立了不动点理论[1].在此基础上,不动点定理有了进一步的发展,并产生了用迭代法求不动点的迭代思想.美国数学家莱布尼茨在1923年发现了更为深刻的不动点理论,称为莱布尼茨不动点理论[2].1927年,丹麦数学家尼尔森研究不动点个数问题,并提出了尼尔森数的概念[3].
我国数学家江泽涵、姜伯驹、石根华等人则大大推广了可计算尼森数的情形,并得出了莱布尼茨不动点理论的逆定理[4].最后给出结果的就是波兰数学家巴拿赫(Bananch)[6],她于1922年提出的压缩映像(俗称收缩映射)原理发展了迭代思想,并给出了Banach不动点定理[6].这一定理有着及其广泛的应用,像代数方程、微分方程、
许多著名的数学家为不动点理论的证明及应用作出了贡献、例如,荷兰数学家布劳威尔在1910年发表的《关于流形的映射》[2]一文中就证明了经典的不动点定理的一维形式、即,设连续函数()fx()fx把单位闭区间[0,1]映到[0,1][0,1]中,则有0[0,1]x,使00()fxx、波利亚曾经说过:“在问题解决中,如果您不能解答所提的问题,那么就去考虑一个适当的与之相关联的辅助问题”、“不动点”就就是一个有效的可供选择的辅助问题。

作为Brouwer不动点定理从有限维到无穷维空间的推广,1927年Schauder证明了下面不动点定理,我们称其为Sehauder不动点定理I:定理2 设E就是Banach空间,X为E中非空紧凸集,XXf:就是连续自映射,则f在X中必有不动点、 Sehauder不动点定理的另一表述形式就是将映射的条件加强为紧映射(即对任意Xx,xf就是紧的),这时映射的定义域可不必就是紧集,甚至不必就是闭集。

1935年,Tyehonoff进一步将Sehauder不动点定理I推广到局部凸线性拓扑空间,得到了下面的不动点定理,我们称其为Tyehonoff不动点定理(吉洪诺夫不动点定理)。

1950年,Hukuhara将Schauder不动点定理II与Tyehonoff不动点定理结合起来得到面的定理,我们称其为Sehauder--Tychonoff不动点定理:
1941年,kllcIltani把Bmuwer不动点定理推广到集值映射的情形,得到下面的不动点定理,我们称其为Kakutani不动点定理:(克莱尼)
1950年,Botmenblust,Karlin把Sehauder不动点定理I推广到集值映射的情形:
1952年,Fan,Glicksberg分别把Tyehonoff不动点定理推广到集值映射的情形,成为
Kakutani-Fan-Glicksberg不动点定理或K-F—G不动点定理、即
1968年,Browder又证明了另一种形式的关于集值映射的不动点定理,本文称此定理为Fan-Browder不动点定理:
布劳德不动点定理: 由布劳德(Browder,F、E、)提出的带边界条件的集值映射不动点定理、设X就是局部凸拓扑线性空间,C为X中非空紧凸集,F:C→2X具非空闭凸值且上半连续、记δ(C)={x∈C|存在X的有限维线性子空间E,使得x属于C∩E在E中的边界}、若F满
足下述两边界条件之一,则F有不动点:
角谷静夫(1911年8月28日- 2004年8月17日),日本著名数学家。

耶鲁大学教授。

毕业于东北帝国大学理学部数学科。

大阪府出生。

1941年发表了不动点定理。

角谷的不动点定理将布劳威尔的不动点定理一般化。

在经济学与博弈论中,角谷的不动点定理现在被频繁使用。

莱夫谢茨证明,L(f)就是整数,且如L(f)≠0,则f至少有一个不动点.
其后莱夫谢茨对她的不动点定理进行一系列推广,先就是推广到有边界流形(1926),在H.霍普夫(Hopf)推广到n维复形的特殊情形(1928)之后,莱夫谢茨又在1930年推广到具有有限贝蒂数的有限维紧度量空间,在1933年对有限维复形给出简单而漂亮的证明,最后她推广到所谓广义流形及局部连通空间.
以不动点定理为中心,莱夫谢茨把代数拓扑学推进到一个新阶段.对于交截、乘积与上同调,对于对偶定理、相对同调与奇异同调以及局部连通集都做出系统的发展.
原始的莱夫谢茨不动点定理不能包括布劳威尔不动点定理.为了把不动点定理推广到有边界流形(相对流形),她引入了相对同调群,并把庞加莱对偶定理推广到相对情形,得出莱夫谢茨对偶1374 定理.这不仅就是一种推广,而且把以前两个互不相关的庞加莱对偶定理与亚力山大对偶定理统一在一起.
不动点定理在数学中占有重要地位,它在无穷维空间被推广成为分析的重要工具,M.F 阿蒂亚(Atiyah)及R.鲍特(Bott)把莱夫谢茨不动点定理推广到椭圆复形.江泽涵与姜伯驹等对不动点理论亦有重大发展.
代数拓扑的莱夫谢茨不动点定理(与尼尔森不动点定理)值得注意,它在某种意义上给出了一种计算不动点的方法。

存在对博拉奇空间的概括与一般化,适用于偏微分方程理论
一、不动点算法
又称固定点算法。

所谓不动点,就是指将一个给定的区域A,经某种变换ƒ(x),映射到A 时,使得x=ƒ(x)成立的那种点。

最早出现的不动点理论就是布劳威尔定理(1912):设A为R n中的一紧致凸集, ƒ为将A映射到A的一连续函数,则在A中至少存在一点x,使得x=ƒ(x)。

其后,角谷静夫于1941年将此定理推广到点到集映射上去。

设对每一x∈A,ƒ(x)为A的一子集。

若ƒ(x)具有性质:对A上的任一收敛序列x i→x0,若y i∈ƒ(x i)且y i→y0,则有y0∈ƒ(x0),如此的ƒ(x)称为在A上半连续,角谷静夫定理:设A为R n中的一紧致凸集,对于任何x∈A,若ƒ(x)为A的一
非空凸集,且ƒ(x)在A上为上半连续,则必存在x∈A,使x∈ƒ(x)。

J、P、绍德尔与J、勒雷
又将布劳威尔定理推广到巴拿赫空间。

不动点定理在代数方程、微分方程、积分方程、数理经济学等学科中皆有广泛的应用。

例如,关于代数方程的基本定理,要证明ƒ(x)=0必有一根,只须证明在适当大的圆│x│≤R内函数ƒ(x)+x有一不动点即可;在运筹学中,不动点定理的用途至少有二:一为对策论中用来证明非合作对策的平衡点的存在与求出平衡点;一为数学规划中用来寻求数学规划的最优解。

对于一个给定的凸规划问题:min{ƒ(x)│g i(x)≤0,i=1,2,…,m},在此,ƒ与g1,g2,…,g m皆为R n中的凸函数。

通过适当定义一个函数φ,可以证明:若上述问题的可行区域非空,则φ的不动点即为该问题的解。

在1964年以前,所有不动点定理的证明都就是存在性的证明,即只证明有此种点存在。

1964年,C、E、莱姆基与J、T、Jr、豪森对双矩阵对策的平衡点提出了一个构造性证明。

1967年,H、斯卡夫将此证法应用到数学规划中去。

其后,不动点定理的构造性证明有了大的发展与改进。

H、斯卡夫的证明就是基于一种所谓本原集,后来的各种发展皆基于某种意义下的三角剖分。

现以n维单纯形S n为例来说明这一概念,在此,。

对每一i, 将区间0≤x i≤1依次分为m1,m2…等分,m1<m2<…,m i→,
就是给定的一列正整数。

对于固定的i,过分点依次作平行于x i=0的平面。

这些平面将S n分成若干同样大小的n维三角形。

它们的全体作成的集G i,称为S n的一三角剖分。

设ƒ(x)为S n→S n的一连续函数,x＝(x1,x2,…,x n+1),ƒ(x)=(ƒ1(x),ƒ2(x),…,ƒn+1(x))。

定义。

由于ƒ(x)与x皆在S n上,若有则显然有ƒ(x)=x,即x为ƒ(x)的一不动点。

对每一点y∈S n赋与标号l(y)=k=min{j│y∈C j,且y j>0}。

由著名的施佩纳引理,在G i中必存在一三角形σi,它的n+1个顶点y i(k)的标号分别为k(k=1,2,…,n+1)于就是可得一列正数
i j(j→),使得(k)→y k,k=1,2,…,n+1。

根据σi的作法,当i j→时,收敛成一个点x。

故
y k=x,k=1,2,…,n+1。

因(k)的标号为k,故y k∈C k,因而即x为所求的不动点。

因此,求ƒ(x):S n→S n的不动点问题就化为求σi(i=1,2,…) 的问题。

为了计算上的效果,除了上述的标号法之外,还有标准整数标号法、向量标号法等等。

关于如何求σi,有变维算法、三明治法、同伦算法、变维重始法等等,通过适当定义,可将上之S n改为R n或R n中之一凸集。

求一凸函数在一凸集上的极值问题也可化为求不动点问题。

一般说来,这条途径适用于维数不高但问题中出现的函数较为复杂的情况。

参考书目
A、J、J、Talman Variable Dimension Fixed Point Algorithms and Triangulations, Mathematisch Centrum, Amsterdam, 1980、
二、Prof、Yuguang Xu (徐裕光教授)( Kunming University, China (雲南省昆明學院))
Fixed point theory and its applications(在台湾成功大学所作的报告)
不动点理论研究的内容属于数学的非线性泛函分析与一般拓扑学范畴。

研究出的结果被广泛应用于分析数学,力学,微分方程,控制理论,最优化理论,非线性规划,数理经济学与博弈论等应用性学科。

(一).不动点理论的发展进程
• 一个简单的不动点问题(微积分中);
• 1909 年, Brouwer 的著名的不动点定理及一系列的论文创立了不动点理论;
• 1922 年, 波兰著名数学家S、Banach 给出了一个既简单又实用的压缩映射原理, 它也就是一个不动点定理。

在简单的条件下, Banach 压缩映射原理不仅指出了映射不动点的存在性与唯一性,还提供了一种逼近不动点的方法;
• 1967 年,美国数学家H、E、Scarf 找到了计算单纯形连续映射不动点的组合拓扑有限算法,这也就就是Brouwer 不动点定理的构造性证明;
• 1941 年,日本数学家角谷静夫( Kakutani )的集值不动点定理为博弈论建立在数学基础上作了理论准备;
• 1968 年的Fan －Browder 不动点定理, 1972 年的Himmelberg 不动点定理以及Tarafdar 在1987 年与1992 年分别在拓扑线性空间与H －空间建立的不动点定理;
• 美国数学家Michael ( 1956 年), Deutsch 与Kenderov ( 1983 年),应用集值分析中的连续选择原理在拓扑空间建立集值不动点定理与几乎不动点定理;
• 1990 年以后,关于不动点理论的研究达到一个高潮,在各种映射或空间条件下,讨论不动点,随机不动点,几乎不动点等,每年有上百篇论文发表,新的不动点定理与各种迭代逼近方法不断涌现。

(二).不动点理论的四个研究方向
1、在拓扑空间研究“不动点性质”(使用同伦群),不动点的有限算法(组合拓扑);
2 、丹麦数学家Nielsen 研究不动点的个数( Nielsen 数),开创不动点类理论的研究,大陆数学家的工作;
4、应用集值分析中的连续选择原理在拓扑空间建立集值不动点定理与几乎不动点定理并应用于博弈论研究。

(三). 不动点理论主流方向的研究现状,及研究前沿期待解决的问题
“ 一般度量空间或拓扑向量空间映射的不动点问题”就是研究的主流。

近20 年来的研究发展主线:
• 迭代逼近算法的研究(从Mann 迭代到杂交迭代等);
• 强伪压缩映射的不动点,强增生算子方程的迭代解(两者的联系);
• 迭代误差分析与稳定性研究;
• 有待解决的几个问题(一般情况下的收敛性问题, 迭代收敛的等价性问题,不动点存在性与迭代逼近的条件的协调性问题,关于Schauder 猜想)。

其次为“应用连续选择原理建立集值不动点定理与几乎不动点定理”的研究。

现有的最好结果与需要解决的问题:
a ) 上(下)半连续集值映射与其不动点存在性的拓扑同伦关系;
b) 具备弱于上(下)半连续性的集值映射与其不动点的存在唯一性的充要条件;
c) 探索几乎均衡解与几乎不动点存在性的关系。

三、维基百科中关于Kakutani fixed point theorem
应用领域之一:博弈论
Mathematician John Nash used the Kakutani fixed point theorem to prove a major result in game theory、Stated informally, the theorem implies the existence of a Nash equilibrium in every finite game with mixed strategies for any number of players、This work would later earn him a Nobel Prize in Economics、
In this case, S is the set of tuples of mixed strategies chosen by each player in a game、The function φ(x) gives a new tuple where each player's strategy is her best response to other players' strategies in x、Since there may be a number of responses which are equally good, φ is set-valued rather than single-valued、Then the Nash equilibrium of the game is defined as a fixed point of φ, i、e、a tuple of strategies where each player's strategy is a best response to the strategies of the other players、Kakutani's theorem ensures that this fixed point exists、翻译:数学家约翰、纳什应用角谷静夫不动点理论证明了博弈论中的大量的结论。

可以说角谷静夫不动点理论意味着在每个具有任意数量玩家的混合策略有限博弈中纳什均衡就是存在的！此项工作将在未来(1994年)为她赢得诺贝尔经济学奖。

在这种情况下,S就是博弈中每个玩家所选择的混合策略元组的集合。

方程φ(x)给出一个新的元组,其中每个玩家的策略就是在X中她对其她玩家所选策略的最优选择。

由于可能有许多选择就是不相上下的,所以φ就是集值而不就是单值。

博弈中的纳什均衡被定义为φ的不动点,比如,一个策略元组,其中针对其她玩家的策略每个玩家的策略都就是最优的。

角谷静夫的理论确保了此不动点就是存在的！
四、我的理解
角谷静夫不动点理论的重要性在与将布劳威尔定理中的存在某一个点x∈A,使得x=f(x)在A范围中成立扩展到存在A上的一个子集X*使得x=f(x),x∈X*。

(数学表达不准确,大概就是这个意思。

O(∩_∩)O~)
这个理论正好为纳什证明“所有有限博弈至少有一个纳什均衡”提供了有力的理论工具！
五、有趣的地方
在《纳什博弈论论文集》序言部分第七页最下边的注释,序言作者Ken Binmore讲了一个小故事,有次角谷静夫做演讲,演讲结束后,角谷静夫问Kin Binmore为啥这么多人来听演讲,Ken Binmore解释说:今天来的许多经济学家就是来瞧
创造出如此重要的角谷静夫不动点理论的作者的。

角谷静夫却回答说:“什么就是角谷静夫不动点理论”。

瞧完这里,我笑半天,角谷静夫都不知道自己的理论被别人叫啥了,也许可能太谦虚了,也许故意为之！想不明白！。